فئة التوزيعات ( أ ، ب ، ٠)

الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات ، يُعتبر أي توزيع لمتغير عشوائي منفصل N، تكون قيمه أعدادًا صحيحة غير سالبة، ودالة كتلة احتماله تحقق صيغة التكرار ( تكرار بانجر )، عضوًا في فئة التوزيعات ( a , b , 0).

صكصك-1=أ+بك،ك=1،2،3،...{\displaystyle {\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=a+{\frac {b}{k}},\qquad k=1,2,3,\dots }

لبعض الأعداد الحقيقية a و b ، حيثصك=P(شمال=ك){\displaystyle p_{k}=P(N=k)}.

تُعرف فئة التوزيعات (a,b,0) أيضًا باسم بانجر، [ 1 ] [ 2 ] أو نوع بواسون أو عائلة توزيعات كاتز، [ 3 ] [ 4 ] ويمكن استرجاعها من خلال توزيع كونواي-ماكسويل-بواسون .

تُحقق توزيعات بواسون ، وذات الحدين ، وذات الحدين السالبة فقط الصيغة الكاملة لهذه العلاقة. وهي أيضاً التوزيعات المنفصلة الثلاثة من بين الأعضاء الستة للعائلة الأسية الطبيعية ذات دوال التباين التربيعي (NEF–QVF).

يمكن تعريف توزيعات أكثر عمومية بتحديد بعض القيم الأولية لـ p j وتطبيق العلاقة التكرارية لتحديد القيم اللاحقة. قد يكون هذا مفيدًا في مطابقة التوزيعات مع البيانات التجريبية. ومع ذلك، تتوفر بعض التوزيعات الأخرى المعروفة إذا كانت العلاقة التكرارية المذكورة أعلاه مطلوبة فقط لنطاق محدود من قيم k : [ 5 ] على سبيل المثال التوزيع اللوغاريتمي والتوزيع المنتظم المتقطع .

تتمتع فئة التوزيعات ( أ ، ب ، 0) بتطبيقات مهمة في العلوم الاكتوارية في سياق نماذج الخسائر. [ 6 ]

ملكيات

أثبت سوندت [ 7 ] أن التوزيع ذي الحدين ، وتوزيع بواسون ، والتوزيع ذي الحدين السالب فقط هي التي تنتمي إلى هذه الفئة من التوزيعات، حيث يُمثل كل توزيع بإشارة مختلفة لـ a . علاوة على ذلك، بيّن فاكلر [ 2 ] وجود صيغة عامة لجميع التوزيعات الثلاثة، تُسمى توزيع بانجر (الموحد) . 

تُحدد المعلمات الأكثر شيوعًا لهذه التوزيعات بواسطة كل من a و b . يلخص الجدول التالي خصائص هذه التوزيعات فيما يتعلق بفئة التوزيعات الحالية. لاحظ أن دبليوشمال(x){\displaystyle W_{N}(x)\,}تشير إلى دالة توليد الاحتمالات .

توزيعP[شمال=ك]{\displaystyle P[N=k]\,}أ{\displaystyle a\,}ب{\displaystyle b\,}ص0{\displaystyle p_{0}\,}دبليوشمال(x){\displaystyle W_{N}(x)\,}هـ⁡[شمال]{\displaystyle \operatorname {E} [N]\,}متغير⁡(شمال){\displaystyle \operatorname {Var} (N)\,}
ذات الحدين(نك)صك(1-ص)ن-ك{\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{nk}}-ص1-ص{\displaystyle {\frac {-p}{1-p}}}ص(ن+1)1-ص{\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}}(1-ص)ن{\displaystyle (1-p)^{n}\,}(صx+(1-ص))ن{\displaystyle (px+(1-p))^{n}\,}نص{\displaystyle np\,}نص(1-ص){\displaystyle np(1-p)\,}
بواسونهـ-λλكك!{\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,}0{\displaystyle 0\,}λ{\displaystyle \lambda \,}هـ-λ{\displaystyle e^{-\lambda }\,}هـλ(x-1){\displaystyle e^{\lambda (x-1)}\,}λ{\displaystyle \lambda \,}λ{\displaystyle \lambda \,}
التوزيع ذو الحدين السالبΓ(ر+ك)ك!Γ(ر)صر(1-ص)ك{\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\,}1-ص{\displaystyle 1-p\,}(1-ص)(ر-1){\displaystyle (1-p)(r-1)\,}صر{\displaystyle p^{r}\,}(ص1-x(1-ص))ر{\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}\,}ر(1-ص)ص{\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}\,}ر(1-ص)ص2{\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}\,}
توزيع بانجر(1+λα)-αλكك!∏أنا=0ك-1α+أناα+λ{\displaystyle \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)^{-\alpha }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}{\frac {\alpha +i}{\alpha +\lambda }}\,}λα+λ{\displaystyle {\frac {\lambda }{\alpha +\lambda }}\,}(α-1)λα+λ{\displaystyle {\frac {(\alpha -1)\lambda }{\alpha +\lambda }}\,}(1+λα)-α{\displaystyle \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)^{-\alpha }\,}(1-λα(x-1))-α{\displaystyle \left(1-{\frac {\lambda }{\alpha }}(x-1)\right)^{-\alpha }\,}λ{\displaystyle \lambda \,}λ(1+λα){\displaystyle \lambda \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)\,}

لاحظ أن توزيع بانجر يتحول إلى توزيع بواسون في الحالة الحديةα→±∞{\displaystyle \alpha \rightarrow \pm \infty }ويتطابق ذلك مع التوزيع ذي الحدين السالب للأعداد الحقيقية الموجبة والمحدودة.α∈R>0{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{>0}}وهو يساوي التوزيع ذي الحدين للأعداد الصحيحة السالبة.-α∈شمال{\displaystyle -\alpha \in \mathbb {N} }.

التخطيط

تتمثل إحدى الطرق السهلة لتحديد ما إذا كانت عينة معينة قد أُخذت من توزيع من الفئة ( أ ، ب ، 0) بسرعة في رسم نسبة بياناتين متتاليتين مُلاحظتين (مضروبة في ثابت) مقابل المحور السيني .

بضرب طرفي الصيغة التكرارية فيك{\displaystyle k}، ستحصل

كصكصك-1=أك+ب،{\displaystyle k\,{\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=ak+b,}

مما يدل بوضوح على أن الجانب الأيسر هو دالة خطية لـك{\displaystyle k}عند استخدام عينة منن{\displaystyle n}البيانات، وهي تقريب لـصك{\displaystyle p_{k}}يجب القيام بذلك. إذانك{\displaystyle n_{k}}يمثل عدد المشاهدات التي لها القيمةك{\displaystyle k}، ثمص^ك=نكن{\displaystyle {\hat {p}}_{k}={\frac {n_{k}}{n}}}هو تقدير غير متحيز للقيمة الحقيقيةصك{\displaystyle p_{k}}.

لذلك، إذا لوحظ اتجاه خطي، فيمكن افتراض أن البيانات مأخوذة من توزيع ( أ ، ب ، 0). علاوة على ذلك، سيكون ميل الدالة هو المعلمة.أ{\displaystyle a}بينما سيكون الإحداثي عند نقطة الأصل هوب{\displaystyle b}.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بانجر، هاري هـ. (1981). "التقييم التكراري لعائلة من التوزيعات المركبة" (ملف PDF) . نشرة ASTIN . 12 (1): 22-26 .
  2. 1 2 فاكلر، مايكل (2009). "توحيد فئة بانجر - صيغة واحدة لتوزيع بواسون، والتوزيع ذي الحدين، والتوزيع ذي الحدين السالب" (ملف PDF) . ندوة أستين . الرابطة الدولية للاكتواريين .
  3. ↑ كاتز، ليو (1965). غاناباتي باتيل (محرر). معالجة موحدة لفئة واسعة من توزيعات الاحتمال المنفصلة . التوزيعات المنفصلة الكلاسيكية والمعدية. مطبعة بيرغامون، أكسفورد. ص 175-182 . 
  4. ↑ غاثي، مود؛ ليفيفري، كلود (2010). "حول عائلة لاغرانج كاتز للتوزيعات كنموذج لتكرار المطالبات" . التأمين: الرياضيات والاقتصاد . 47 (1): 78-83 . doi : 10.1016/j.insmatheco.2010.03.010 .
  5. ↑ هيس، كلاوس ث.؛ ليوالد، أنيت؛ شميدت، كلاوس د. (2002). "امتداد لتكرار بانجر" (ملف PDF) . نشرة أستين . 32 (2): 283-297 . doi : 10.2143/AST.32.2.1030 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 11 يوليو 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يونيو 2009 .
  6. ↑ كلوغمان، ستيوارت؛ بانجر، هاري ؛ غوردون، ويلموت (2004). نماذج الخسارة: من البيانات إلى القرارات . سلسلة في الاحتمالات والإحصاء ( الطبعة الثانية). نيوجيرسي: وايلي. ISBN  978-0-471-21577-6.
  7. ↑ سوندت، بيورن؛ جويل، ويليام س. (1981). "نتائج إضافية حول التقييم التكراري للتوزيعات المركبة" (ملف PDF) . نشرة ASTIN . 12 (1): 27-39 . doi : 10.1017/S0515036100006802 .