منحنى أكيما

في الرياضيات التطبيقية ، تُعدّ دالة أكيما التكعيبية نوعًا من الدوال التكعيبية غير المُنعّمة ، والتي تُعطي مُطابقة جيدة للمنحنيات التي تتغير فيها المشتقة الثانية بسرعة. ^{[ 1 ]} نُشرت دالة أكيما التكعيبية بواسطة هيروشي أكيما عام 1970، انطلاقًا من سعيه لإيجاد منحنى تكعيبي يبدو أكثر طبيعية وسلاسة، يُشبه المنحنى المرسوم يدويًا بشكلٍ بديهي. ^{[ 2 ] [ 3 ]} أصبحت دالة أكيما التكعيبية الخوارزمية المُفضّلة للعديد من تطبيقات رسومات الحاسوب. ^{[ 3 ]} وتكمن ميزتها على المنحنى التكعيبي في استقرارها تجاه القيم الشاذة. ^{[ 4 ]}

بالنظر إلى مجموعة من نقاط "العقدة"${\displaystyle (x_{i},y_{i})_{i=1\dots n}}$، حيث${\displaystyle x_{i}}$إذا كانت القيم تتزايد بشكل صارم، فإن منحنى أكيما سيمر بكل نقطة من النقاط المعطاة. عند تلك النقاط، يكون ميله،${\displaystyle s_{i}}$، هي دالة لمواقع النقاط${\displaystyle (x_{i-2},y_{i-2})}$خلال${\displaystyle (x_{i+2},y_{i+2})}$. على وجه التحديد، إذا قمنا بتعريف${\displaystyle m_{i}}$ميل القطعة المستقيمة من${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ل${\displaystyle (x_{i+1},y_{i+1})}$، أي

${\displaystyle m_{i}={\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}\,,}$

ثم منحدرات المنحنى التكعيبي${\displaystyle s_{i}}$تُعرَّف بأنها المتوسط ​​المرجح التالي لـ${\displaystyle m_{i-1}}$و${\displaystyle m_{i}}$،

${\displaystyle s_{i}={\frac {|m_{i+1}-m_{i}|m_{i-1}+|m_{i-1}-m_{i-2}|m_{i}}{|m_{i+1}-m_{i}|+|m_{i-1}-m_{i-2}|}}\,.}$

إذا كان المقام يساوي صفرًا، فإن الميل يُعطى على النحو التالي:

${\displaystyle s_{i}={\frac {m_{i-1}+m_{i}}{2}}\,.}$

تتطلب النقطتان الأوليان والنقطتان الأخيرتان وصفة طبية خاصة، على سبيل المثال،

${\displaystyle s_{1}=m_{1}\,,s_{2}={\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}\,,s_{n-1}={\frac {m_{n-2}+m_{n-1}}{2}}\,,s_{n}=m_{n-1}\,.}$

يُعرَّف المنحنى التكعيبي بأنه دالة تكعيبية مجزأة تقع قيمتها بين${\displaystyle x_{i}}$و${\displaystyle x_{i+1}}$هي متعددة الحدود التكعيبية الفريدة${\displaystyle P_{i}(x)}$،

${\displaystyle P_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+c_{i}(x-x_{i})^{2}+d_{i}(x-x_{i})^{3}\,,}$

حيث يتم اختيار معاملات متعددة الحدود بحيث يتم استيفاء الشروط الأربعة لاستمرارية الدالة التكعيبية بالإضافة إلى مشتقتها الأولى،

${\displaystyle P(x_{i})=y_{i}\,,P(x_{i+1})=y_{i+1}\,,P'(x_{i})=s_{i}\,,P'(x_{i+1})=s_{i+1}\,.}$

مما يعطي

${\displaystyle a_{i}=y_{i}\,,}$

${\displaystyle b_{i}=s_{i}\,,}$

${\displaystyle c_{i}={\frac {3m_{i}-2s_{i}-s_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i}}}\,,}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {s_{i}+s_{i+1}-2m_{i}}{(x_{i+1}-x_{i})^{2}}}\,.}$

بسبب هذه الشروط، فإن دالة أكيما التكعيبية قابلة للتفاضل من ^{الدرجة الأولى}  (C1 )، أي أن الدالة نفسها متصلة ومشتقتها الأولى متصلة أيضًا. مع ذلك، بشكل عام، ليست المشتقة الثانية متصلة بالضرورة.

تتمثل إحدى مزايا دالة أكيما التكعيبية في أنها تستخدم فقط قيم نقاط العقد المجاورة عند حساب معاملات متعددة الحدود الاستيفائية بين أي نقطتي عقد. وهذا يعني عدم وجود نظام معادلات معقد لحله، كما تتجنب دالة أكيما التكعيبية التذبذبات غير المنطقية في المناطق التي تتغير فيها المشتقة الثانية للمنحنى الأساسي بسرعة. أما عيبها المحتمل فهو أن مشتقتها الثانية غير متصلة. ^{[ 5 ]}

• عرض توضيحي عبر الإنترنت لعملية استيفاء أكيما باستخدام دوال التكعيب في تايب سكريبت