مصفوفة الإشارات المتناوبة

$\displaystyle \begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad \begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}}$

المصفوفات السبع ذات الإشارات المتناوبة بحجم 3

في الرياضيات ، تُعرف مصفوفة الإشارات المتناوبة بأنها مصفوفة مربعة تتكون من أصفار وواحدات و-واحدات، بحيث يكون مجموع كل صف وعمود فيها يساوي واحدًا، وتتناوب إشارات العناصر غير الصفرية في كل صف وعمود. تُعمم هذه المصفوفات مصفوفات التبديل ، وتظهر بشكل طبيعي عند استخدام تكثيف دودجسون لحساب المحدد. ^{[ 1 ]} كما أنها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنموذج الرؤوس الستة ذي شروط حدود جدار المجال من الميكانيكا الإحصائية . وقد عرّفها لأول مرة كل من ويليام ميلز، وديفيد روبنز ، وهوارد رومسي في السياق السابق.

مصفوفات التبديل هي تحديداً مصفوفات الإشارة المتناوبة التي لا تحتوي على -1 .

مثال على مصفوفة الإشارات المتناوبة التي ليست مصفوفة تبديل هو

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

تنص نظرية مصفوفة الإشارة المتناوبة على أن عدد${\displaystyle n\times n}$مصفوفات الإشارة المتناوبة هي

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.}$

الحدود القليلة الأولى في هذه المتتالية لـ n = 0، 1، 2، 3، ... هي

1، 1، 2، 7، 42، 429، 7436، 218348، … (التسلسل A005130 في OEIS ) .

أُثبتت هذه النظرية لأول مرة على يد دورون زيلبرغر عام 1992. ^{[ 2 ]} وفي عام 1995، قدم غريغ كوبربيرغ برهانًا موجزًا ^{​​[ 3 ]} استنادًا إلى معادلة يانغ-باكستر لنموذج الرؤوس الستة مع شروط حدودية لجدار المجال، باستخدام حساب المحدد الذي وضعه أناتولي إيزرجين. ^{[ 4 ]} وفي عام 2005، قدمت إيلس فيشر برهانًا ثالثًا باستخدام ما يُعرف بطريقة المؤثر . ^{[ 5 ]}

في عام 2001، افترض أ. رازوموف وي. ستروجانوف وجود صلة بين نموذج الحلقة O(1)، ونموذج الحلقة المعبأة بالكامل، ومصفوفات الإشارة المتناوبة. ^{[ 6 ]} وقد أثبت كانتيني وسبورتيلو هذا الافتراض في عام 2010. ^{[ 7 ]}

• بريسود، ديفيد م. ، البراهين والتأكيدات: قصة حدسية مصفوفة الإشارة المتناوبة ، سلسلة MAA Spectrum، جمعية الرياضيات الأمريكية، واشنطن العاصمة، 1999. ISBN 978-0521666466
• Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix congenure was resolved , Notices of the American Mathematical Society , 46 (1999), 637–646.
• Mills, William H., Robbins, David P. , and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald congenure, Inventiones Mathematicae , 66 (1982), 73–87.
• Mills, William H., Robbins, David P. , and Rumsey, Howard Jr., Alternating sign matrices and descending plane partitions, Journal of Combinatorial Theory, Series A , 34 (1983), 340–359.
• بروب، جيمس، الأوجه العديدة لمصفوفات الإشارة المتناوبة ، الرياضيات المتقطعة وعلوم الحاسوب النظرية ، عدد خاص عن النماذج المتقطعة: التوافقية، والحساب، والهندسة (يوليو 2001).
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., الطبيعة التوافقية لمتجه الحالة الأرضية لنموذج الحلقة O(1) ، Theor. Math. Phys. ، 138 (2004)، 333-337.
• رازوموف، أ. ف.، ستروجانوف، يو. ج.، نموذج حلقة O(1) مع شروط حدودية مختلفة وفئات تناظر لمصفوفات الإشارة المتناوبة]، الفيزياء الرياضية النظرية ، 142 (2005)، 237-243، arXiv : cond-mat/0108103
• روبنز، ديفيد ب. ، قصة${\displaystyle 1,2,7,42,429,7436,\dots }$، The Mathematical Intelligencer ، 13 (2)، 12-19 (1991)، doi : 10.1007/BF03024081 .
• Zeilberger, Doron , Proof of the refinement deralanting sign matrix congenure , New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

• إدخال مصفوفة الإشارة المتناوبة في MathWorld
• إدخال مصفوفات الإشارة المتناوبة في قاعدة بيانات FindStat