نظرية أومان للاتفاق

تنص نظرية أومان للاتفاق على أنه لا يمكن لوكيلين بيزيين يمتلكان نفس المعتقدات المسبقة أن يتفقا على الاختلاف بشأن احتمالية وقوع حدث ما إذا كانت معتقداتهما الفردية معروفة للجميع . بعبارة أخرى، إذا كان من المعروف للجميع ما يعتقده كل وكيل بشأن حدث ما ، وكان كلا الوكيلين عقلانيين ويحدثان معتقداتهما باستخدام قاعدة بايز ، فإن معتقداتهما المحدثة (اللاحقة) ستكون متطابقة.

بصورة غير رسمية، تنص النظرية على أن الأفراد العقلانيين الذين ينطلقون من نفس الافتراضات ويتشاركون جميع المعلومات ذات الصلة - حتى بمجرد معرفة آراء بعضهم البعض - لا بد أن يتوصلوا في النهاية إلى نفس النتائج. فإذا كانت معتقداتهم المختلفة حول أمر ما معروفة للجميع، فلا بد أن يتفقوا في الواقع.

تم إثبات النظرية بواسطة روبرت أومان في ورقته البحثية لعام 1976 بعنوان "الاتفاق على الاختلاف"، ^{[ 1 ]} والتي قدمت أيضًا التعريف الرسمي القائم على نظرية المجموعات للمعرفة المشتركة.

يأخذ نموذج أومان ^{[ 1 ]} في الاعتبار مجموعة محدودة من الحالات${\displaystyle S}$تم اختيارها وفقًا لتوزيع احتمالي مسبق${\displaystyle p\in \Delta (S)}$وعميلان يشتركان في هذا الاعتقاد المسبق. العميل${\displaystyle a}$تُعطى معرفة 's من خلال التقسيم${\displaystyle \Pi _{a}}$ل${\displaystyle S}$التفسير هو أنه عندما تكون الدولة${\displaystyle s\in S}$تم رسمه، أيها الوكيل${\displaystyle a}$يعلم (فقط) أن الولاية تقع في${\displaystyle \pi _{a}}$، أين${\displaystyle s\in \pi _{a}\in \Pi _{a}}$. يترك${\displaystyle \Pi _{*}}$يشير إلى تقسيم${\displaystyle S}$هذا هو أدق تجزئة مشتركة لتقسيمات العوامل المنفصلة${\displaystyle {\big (}\Pi _{a}{\big )}_{a}}$ثم نقول إن حدثاً ما${\displaystyle E\subseteq S}$من المعروف على نطاق واسع في الدولة${\displaystyle s\in S}$لو${\displaystyle \pi _{*}\subseteq E}$، أين${\displaystyle s\in \pi _{*}\in \Pi _{*}}$وهذا يعني بشكل بديهي ليس فقط أن كل وكيل${\displaystyle a}$من المؤكد أن${\displaystyle E}$حدث ذلك بناءً على ملاحظتها${\displaystyle \pi _{a}}$، لكنها تعلم أن العملاء الآخرين متأكدون بناءً على ملاحظاتهم الخاصة، وأن العملاء الآخرين متأكدون من أنها متأكدة، وهكذا دواليك؛${\displaystyle \pi _{*}}$يلتقط هذا ما يجب على الوكلاء التفكير فيه من أجل مراعاة جميع مستويات هذا التسلسل الهرمي.

يهتم أومان بالحالة التي يمتلك فيها الفاعلون معرفة مشتركة بمعتقدات بعضهم البعض اللاحقة. ولتحقيق هذه الغاية، لنفترض حدثًا ما${\displaystyle E\subseteq S}$لكل وكيل${\displaystyle a}$والملاحظة${\displaystyle \pi _{a}\in \Pi _{a}}$، يترك${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{a})}$دل${\displaystyle a}$الاعتقاد اللاحق بأن الحدث${\displaystyle E}$حدث، أي${\textstyle \sum _{s\in E\cap \pi _{a}}p(s)/\sum _{s\in \pi _{a}}p(s)}$. يترك${\displaystyle X}$ليكن الحدث الذي لكل وكيل${\displaystyle a}$لدينا${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{a})=x_{a}}$لعدد ثابت${\displaystyle x_{a}}$.

في هذا النموذج، تنص نظرية اتفاق أومان على أنه إذا${\displaystyle X}$إذا كانت هذه المعلومة معروفة للجميع في مجموعة غير فارغة من الحالات، فإن جميع الأرقام${\displaystyle x_{a}}$هما متماثلان. والبرهان كما يلي. ليكن${\displaystyle s}$كن ولاية حيث${\displaystyle X}$هذا أمر معروف للجميع، ودع${\displaystyle s\in \pi _{*}\in \Pi _{*}}$. إصلاح الوكيل${\displaystyle a}$وخذ في الاعتبار كل شيء${\displaystyle \pi _{a}\in \Pi _{a}}$مع${\displaystyle \pi _{a}\subseteq \pi _{*}}$لذلك لدينا${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{a})=x_{a}}$. لكن${\displaystyle \pi _{*}}$هو اتحاد من هذا القبيل${\displaystyle \pi _{a}}$لأن لكل${\displaystyle s'\in \pi _{*}}$هنالك${\displaystyle \pi _{a}}$لهذا السبب.${\displaystyle s'\in \pi _{a}\in \Pi _{a}}$وهو يُرضي${\displaystyle \pi _{a}\subset \pi _{*}}$بحسب تعريف التخشين. بما أن العامل ثابت، فإن الجمع${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{a})=x_{a}}$على كل هذا${\displaystyle \pi _{a}}$لدينا ذلك${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{*})=x_{a}}$الآن، بما أن${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{*})}$وبما أن هذا مستقل عن هوية الفاعل، فإن جميع الأرقام${\displaystyle x_{a}}$يجب أن يكونا متساويين.

لا تصح النظرية عندما يعرف الفاعلون احتمالات بعضهم البعض اللاحقة، ولكن هذه الاحتمالات اللاحقة ليست معرفة مشتركة. على سبيل المثال، ^{[ 1 ]} لنفترض أن الحالة مختارة بشكل منتظم من${\displaystyle S=\{1,2,3,4\}}$وليكن الوكيلان${\displaystyle a,b}$يملك${\displaystyle \Pi _{a}=\{\{1,2\},\{3,4\}\}}$و${\displaystyle \Pi _{b}=\{\{1,2,3\},\{4\}\}}$ضع في اعتبارك الحدث${\displaystyle A=\{1,4\}}$والدولة${\displaystyle s=1}$ثم، أيها العميل${\displaystyle a}$يلاحظ (فقط) أن الدولة في${\displaystyle \{1,2\}}$لديه اعتقاد لاحق${\displaystyle 1/2}$الذي - التي${\displaystyle A}$حدث ذلك، ويعرف أن الوكيل${\displaystyle b}$الاعتقاد اللاحق بأن${\displaystyle A}$حدث${\displaystyle 1/3\neq 1/2}$. على الجانب الآخر،${\displaystyle b}$يلاحظ${\displaystyle \{1,2,3\}}$، له مؤخرة من${\displaystyle 1/3}$ويعلم ذلك${\displaystyle a}$الجزء الخلفي هو${\displaystyle 1/2}$ومع ذلك، وفقًا لـ${\displaystyle b}$بمعرفة ذلك، قد يكون ذلك${\displaystyle a}$يعتقد${\displaystyle b}$قد يكون الجزء الخلفي من${\displaystyle 1/3}$أو${\displaystyle 1}$(أي إذا${\displaystyle a}$لاحظ${\displaystyle \{3,4\}}$وبالتالي، ووفقًا لنظرية الاتفاق، فإن هذه الاحتمالات اللاحقة ليست معرفة مشتركة.

خفف موندرر وساميت من افتراض المعرفة المشتركة وافترضا بدلاً من ذلك المعرفة المشتركة${\displaystyle p}$- معتقدات الاحتمالات اللاحقة للوكلاء. ^{[ 2 ]} لقد حددوا حدًا أعلى للمسافة بين الاحتمالات اللاحقة${\displaystyle x_{a}}$يقترب هذا الحد من الصفر عندما${\displaystyle p}$النهج 1.

خفف زيف هيلمان من افتراض وجود معرفة مسبقة مشتركة، وافترض بدلاً من ذلك أن لدى الوكلاء معلومات مسبقة هي${\displaystyle \varepsilon }$-متقاربة في مقياس محدد جيدًا. ^{[ 3 ]} وقد أظهر أن المعرفة المشتركة بالاحتمالات اللاحقة في هذه الحالة تعني أنها${\displaystyle \varepsilon }$-أغلق. عندما${\displaystyle \varepsilon }$عندما تصل إلى الصفر، يتم إعادة صياغة نظرية أومان الأصلية.

قام نيلسن بتوسيع النظرية لتشمل النماذج غير المنفصلة التي يتم فيها وصف المعرفة بواسطة${\displaystyle \sigma }$الجبر بدلاً من التقسيمات. ^{[ 4 ]}

المعرفة التي تُعرَّف بدلالة التقسيمات تتمتع بخاصية الاستبطان السلبي . أي أن الفاعلين يعلمون أنهم لا يعلمون ما يجهلونه. ومع ذلك، يمكن إثبات أنه من المستحيل الاتفاق على الاختلاف حتى عندما لا تتمتع المعرفة بهذه الخاصية. ^{[ 5 ]}

جادل هالبرن وكيتس بأن اللاعبين يمكنهم الاتفاق على الاختلاف في وجود الغموض، حتى لو كان هناك افتراض مسبق مشترك. ومع ذلك، فإن السماح بالغموض أكثر تقييدًا من افتراض افتراضات مسبقة غير متجانسة. ^{[ 6 ]}

إن استحالة الاتفاق على الاختلاف، في نظرية أومان، شرط ضروري لوجود احتمال مسبق مشترك. ويمكن صياغة شرط أقوى بدلالة الرهانات. الرهان هو مجموعة من المتغيرات العشوائية.${\displaystyle f_{a}}$واحد لكل وكيل${\displaystyle a}$بحيث${\displaystyle \sum _{a}f_{a}=0}$(الفكرة هي أنه لا يتم إنشاء أو تدمير أي أموال، بل يتم تحويلها فقط، في هذه الرهانات). الرهان يكون في صالح الوكيل ${\displaystyle a}$في ولاية${\displaystyle s}$إذا كانت القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle f_{a}}$في${\displaystyle s}$موجب. إن استحالة الاتفاق على ربحية رهان ما شرط أقوى من استحالة الاتفاق على الاختلاف، فضلاً عن كونه شرطاً ضرورياً وكافياً لوجود احتمال مسبق مشترك. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

الحوار بين طرفين هو عملية ديناميكية، حيث يقوم الطرفان في كل مرحلة بإخبار بعضهما البعض باحتمالاتهما اللاحقة لحدث معين .${\displaystyle E}$بعد الحصول على هذه المعلومات الجديدة، يقوم كل منهم بتحديث احتمالاته اللاحقة لـ${\displaystyle E}$اقترح أومان أن هذه العملية تؤدي إلى معرفة الوكلاء المشتركة لاحتمالاتهم اللاحقة، وبالتالي، وفقًا لنظرية الاتفاق، تتطابق الاحتمالات اللاحقة في نهاية العملية. ^{[ 1 ]} أثبت جياناكوبولوس وبوليماركيس ذلك بالنسبة للحوارات في فضاءات الحالة المحدودة. ^{[ 9 ]} بيّن بوليماركيس أنه يمكن الحصول على أي زوج من المتتاليات المحدودة ذات الطول نفسه والتي تنتهي بالرقم نفسه كحوار. ^{[ 10 ]} في المقابل، أظهر دي تيليو وزملاؤه أن الحوارات اللانهائية يجب أن تخضع لقيود معينة على تنوعها. ^{[ 11 ]} درس سكوت آرونسون ^{[ 12 ] [ 13 ]} تعقيد ومعدل تقارب أنواع مختلفة من الحوارات مع أكثر من وكيلين. ^{[ 14 ]}

• كادان، جوزيف ب.؛ شيرفيش، مارك ج.؛ سايدنفيلد، تيدي (1999). "صنع القرار والاستدلال والتعلم غير التعاوني باستخدام الأدلة المشتركة". إعادة التفكير في أسس الإحصاء . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-64011-3.