صيغة التفاضل العكسي

صيغة التفاضل العكسي ( BDF ) هي مجموعة من الطرق الضمنية للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية . وهي طرق خطية متعددة الخطوات ، تقوم، لدالة معينة وزمن محدد، بتقريب مشتقة تلك الدالة باستخدام معلومات من نقاط زمنية محسوبة مسبقًا، مما يزيد من دقة التقريب. تُستخدم هذه الطرق بشكل خاص لحل المعادلات التفاضلية الصلبة . وقد طُرحت هذه الطرق لأول مرة من قِبل تشارلز ف. كورتيس وجوزيف أو. هيرشفيلدر عام 1952. ^{[ 1 ]} وفي عام 1967، قام سي. ويليام جير بصياغة هذا المجال رسميًا في ورقة بحثية رائدة استندت إلى عمله السابق غير المنشور. ^{[ 2 ]}

تُستخدم طريقة BDF لحل مسألة القيمة الابتدائية

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

يمكن كتابة الصيغة العامة لـ BDF على النحو التالي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s}a_{k}y_{n+k}=h\beta f(t_{n+s},y_{n+s}),}$

أين${\displaystyle h}$يشير إلى حجم الخطوة و${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$. منذ${\displaystyle f}$يتم تقييمها للمجهول${\displaystyle y_{n+s}}$تعتمد طرق BDF على الأساليب الضمنية ، وقد تتطلب حل معادلات غير خطية في كل خطوة. المعاملات${\displaystyle a_{k}}$و${\displaystyle \beta }$يتم اختيارها بحيث تحقق الطريقة الترتيب المطلوب${\displaystyle s}$وهو الحد الأقصى الممكن.

دوال توزيع الاحتمال ذات الخطوة s مع s < 7 هي: ^{[ 4 ]}

• BDF1:$${\displaystyle y_{n+1}-y_{n}=hf(t_{n+1},y_{n+1})}$$(هذه هي طريقة أويلر العكسية )
• BDF2:$${\displaystyle y_{n+2}-{\tfrac {4}{3}}y_{n+1}+{\tfrac {1}{3}}y_{n}={\tfrac {2}{3}}hf(t_{n+2},y_{n+2})}$$
• BDF3:$${\displaystyle y_{n+3}-{\tfrac {18}{11}}y_{n+2}+{\tfrac {9}{11}}y_{n+1}-{\tfrac {2}{11}}y_{n}={\tfrac {6}{11}}hf(t_{n+3},y_{n+3})}$$
• BDF4:$${\displaystyle y_{n+4}-{\tfrac {48}{25}}y_{n+3}+{\tfrac {36}{25}}y_{n+2}-{\tfrac {16}{25}}y_{n+1}+{\tfrac {3}{25}}y_{n}={\tfrac {12}{25}}hf(t_{n+4},y_{n+4})}$$
• BDF5:$${\displaystyle y_{n+5}-{\tfrac {300}{137}}y_{n+4}+{\tfrac {300}{137}}y_{n+3}-{\tfrac {200}{137}}y_{n+2}+{\tfrac {75}{137}}y_{n+1}-{\tfrac {12}{137}}y_{n}={\tfrac {60}{137}}hf(t_{n+5},y_{n+5})}$$
• BDF6:$${\displaystyle y_{n+6}-{\tfrac {360}{147}}y_{n+5}+{\tfrac {450}{147}}y_{n+4}-{\tfrac {400}{147}}y_{n+3}+{\tfrac {225}{147}}y_{n+2}-{\tfrac {72}{147}}y_{n+1}+{\tfrac {10}{147}}y_{n}={\tfrac {60}{147}}hf(t_{n+6},y_{n+6})}$$

الطرق التي يكون فيها s > 6 ليست مستقرة عند الصفر، لذا لا يمكن استخدامها. ^{[ 5 ]}

يُستدل على استقرار الطرق العددية لحل المعادلات الصلبة من خلال منطقة استقرارها المطلق. بالنسبة لطرق BDF، تظهر هذه المناطق في الرسوم البيانية أدناه.

في الوضع الأمثل، تحتوي المنطقة على النصف الأيسر من المستوى المركب، وفي هذه الحالة يُقال إن الطريقة مستقرة من النوع A. مع ذلك، لا يمكن أن تكون الطرق الخطية متعددة الخطوات ذات الرتبة الأعلى من 2 مستقرة من النوع A. تحتوي منطقة استقرار طرق BDF ذات الرتب الأعلى على جزء كبير من النصف الأيسر من المستوى المركب، وتحديدًا على كامل المحور الحقيقي السالب. تُعد طرق BDF أكثر الطرق الخطية متعددة الخطوات كفاءة من هذا النوع. ^{[ 5 ]}

• طرق BDF في ويكي SUNDIALS (SUNDIALS هي مكتبة تقوم بتنفيذ طرق BDF وخوارزميات مماثلة).