عملية الولادة

عملية الولادة ومعدلات المواليد${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$والقيمة الأولية${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$هي عملية يمين مستمرة دنيا${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$بحيث${\displaystyle X_{0}=k}$وأوقات الوصول بين الرحلات${\displaystyle T_{i}=\inf\{t\geq 0:X_{t}=i+1\}-\inf\{t\geq 0:X_{t}=i\}}$هي متغيرات عشوائية أسية مستقلة ذات معلمات${\displaystyle \lambda _{i}}$[ ^{2 ]​}

عملية الولادة مع الأسعار${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$والقيمة الأولية${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$هي عملية${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$بحيث:

• ${\displaystyle X_{0}=k}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{s}\leq X_{t}}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t}+1)=\lambda _{X_{t}}h+o(h)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t})=o(h)}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{t}-X_{s}}$مستقل عن${\displaystyle (X_{u},u<s)}$

(يستخدم الشرطان الثالث والرابع القليل من رموز o.)

تضمن هذه الشروط أن تبدأ العملية عند${\displaystyle i}$، وهو غير متناقص ويحدث فيه ولادات فردية مستقلة بشكل مستمر بمعدل${\displaystyle \lambda _{n}}$عندما تكون للعملية قيمة${\displaystyle n}$[ ^{3 ]​}

يمكن تعريف عملية الولادة على أنها عملية ماركوف ذات زمن مستمر (CTMC).${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$مع مدخلات مصفوفة Q غير الصفرية${\displaystyle q_{n,n+1}=\lambda _{n}=-q_{n,n}}$والتوزيع الأولي${\displaystyle i}$(المتغير العشوائي الذي يأخذ قيمة${\displaystyle i}$باحتمالية 1). ^{[ 4 ]}

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&0&\cdots \\0&-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\cdots \\0&0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \ddots \end{pmatrix}}}$

يشترط بعض المؤلفين أن تبدأ عملية الولادة من الصفر، أي أن${\displaystyle X_{0}=0}$[ ^{3 ]} بينما تسمح نماذج أخرى بتحديد القيمة الأولية بواسطة توزيع احتمالي على الأعداد الطبيعية. ^{[ 2 ] يمكن أن} تشمل فضاءات الحالة اللانهاية، في حالة عملية الولادة الانفجارية. ^{[ 2 ]} تُسمى معدلات الولادة أيضًا بالشدات. ^{[ 3 ]}

عملية الولادة البسيطة هي عملية ولادة ذات معدلات${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda }$[ ^{10 ] إنه يمثل نموذجًا لمجتمع تلد فيه كل فرد بشكل} متكرر ومستقل بمعدل${\displaystyle \lambda }$قام أودني يول بدراسة هذه العمليات ، ولذلك يمكن أن تُعرف باسم عمليات يول . ^{[ 11 ]}

عدد المواليد في الوقت${\displaystyle t}$من عملية ولادة بسيطة للسكان${\displaystyle n}$يتم تحديده بواسطة: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle p_{n,n+m}(t)={\binom {n}{m}}(\lambda t)^{m}(1-\lambda t)^{nm}+o(h)}$

بصيغة دقيقة، يكون عدد المواليد هو التوزيع ذو الحدين السالب بمعاملات${\displaystyle n}$و${\displaystyle e^{-\lambda t}}$في الحالة الخاصة${\displaystyle n=1}$هذا هو التوزيع الهندسي بمعدل النجاح${\displaystyle e^{-\lambda t}}$[ ^{12 ]​}

يزداد توقع العملية بشكل كبير؛ تحديدًا، إذا${\displaystyle X_{0}=1}$ثم${\displaystyle \mathbb {E} (X_{t})=e^{\lambda t}}$[ ^{10 ]​}

عملية ولادة بسيطة مع الهجرة هي تعديل لهذه العملية مع المعدلات${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda +\nu }$. هذا النموذج يمثل مجتمعًا مع ولادات لكل فرد من أفراده بالإضافة إلى معدل هجرة ثابت إلى النظام. ^{[ 3 ]}