وظيفة Buchstab

دالة بوخستاب (أو دالة بوخستاب ) هي الدالة المتصلة الوحيدة${\displaystyle \omega$ :\mathbb {R} _{\geq 1}\rightarrow \mathbb {R} _{>0}} مُعرَّفة بواسطة معادلة التفاضل التأخيري

${\displaystyle \omega (u)={\frac {1}{u}},\qquad \qquad \qquad 1\leq u\leq 2,}$

${\displaystyle {\frac {d}{du}}(u\omega (u))=\omega (u-1),\qquad u\geq 2.}$

في المعادلة الثانية، يجب حساب المشتقة عند u  = 2 عندما تقترب u من 2 من اليمين. وقد سُميت هذه المعادلة نسبةً إلى ألكسندر بوخستاب ، الذي كتب عنها عام 1937. 

تقترب وظيفة Buchstab${\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.561}$بسرعة${\displaystyle u\to \infty ,}$أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني . في الواقع،

${\displaystyle |\أوميغا (u)-e^{-\gamma }|\leq {\frac {\rho (u-1)}{u}},\qquad u\geq 1,}$

حيث ρ هي دالة ديكمان . ^{[ 1 ]} أيضًا،${\displaystyle \أوميغا (u)-e^{-\gamma }}$يتذبذب بشكل منتظم، متناوبًا بين القيم القصوى والأصفار؛ وتتناوب القيم القصوى بين القيم العظمى الموجبة والقيم الصغرى السالبة. تقترب الفترة بين القيم القصوى المتتالية من 1 عندما تقترب قيمة u من اللانهاية، وكذلك الفترة بين الأصفار المتتالية. ^{[ 2 ]}

تُستخدم دالة Buchstab لحساب الأعداد التقريبية . إذا كان Φ( x , y ) هو عدد الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي x والتي لا يوجد لها عامل أولي أصغر من y ، فإنه لأي قيمة ثابتة u > 1،   

${\displaystyle \Phi (x,x^{1/u})\sim \omega (u){\frac {x}{\log x^{1/u}}},\qquad x\to \infty .}$

• بوشتاب، أ. أ. (1937)، “Асимптотическая оценка одной общей теолетикочисловой функции” [ التقدير المقارب لوظيفة نظرية الأعداد العامة ] ، Matematicheskii Sbornik (بالروسية)، 2(44) (6): 1239– 1246، زبل 0018.24504 
• "دالة Buchstab" ، Wolfram MathWorld . تم الاطلاع عليها عبر الإنترنت في 11 فبراير 2015.
• §IV.32، "حول Φ(x,y) ودالة بوخستاب"، كتيب نظرية الأعداد 1 ، جوزيف ساندور، دراغوسلاف س. ميترينوفيتش، وبوريسلاف كرستيتشي، سبرينغر ، 2006، ISBN 978-1-4020-4215-7.
• "معادلة تأخير تفاضلية ناشئة عن غربال إراتوستينس" ، AY Cheer و DA Goldston، رياضيات الحساب 55 (1990)، ص  129-141.
• "تحسين طريقة غربلة سيلبيرج"، WB Jurkat وH.-E. ريتشيرت، اكتا أريثميتيكا 11 (1965)، الصفحات من  217 إلى 240.
• هيلدبراند، أ. (2001) [1994]، "دالة بوخستاب" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS