مجال التماثل الشكلي

في الرياضيات ، في نظرية الدوال لعدة متغيرات معقدة ، مجال التماثل هو مجال يكون أقصى بمعنى أنه توجد دالة تماثلية على هذا المجال لا يمكن تمديدها إلى مجال أكبر.

بصورة رسمية، مجموعة مفتوحة$أوميغا$في​${\displaystyle n}$فضاء معقد ذو أبعاد${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$يُطلق على المجال اسم مجال التماثل التام إذا لم توجد مجموعات مفتوحة غير فارغة ${\displaystyle U\subset \Omega }$و ${\displaystyle V\subset {\mathbb {C} }^{n}}$أين${\displaystyle V}$متصل ، ​${\displaystyle V\not \subset \Omega }$و ${\displaystyle U\subset \Omega \cap V}$بحيث يكون لكل دالة هولومورفية${\displaystyle f}$في​$أوميغا$، توجد دالة هولومورفية${\displaystyle g}$على${\displaystyle V}$مع${\displaystyle f=g}$في​${\displaystyle U}$⁠ .

وبالمثل، بالنسبة لأي من هذا القبيل${\displaystyle U}$و​​${\displaystyle V}$، يوجد شكل كامل${\displaystyle f}$في​$أوميغا$، بحيث${\displaystyle f|_{U}}$لا يمكن الاستمرار في التحليل إلى${\displaystyle V}$⁠ .

في حالة${\displaystyle n=1}$كل مجموعة مفتوحة هي مجال للتحليل التام: يمكننا تعريف دالة تحليلية ليست صفرية تمامًا، ولكن أصفارها تتراكم في كل مكان على حدود المجال، والتي يجب أن تكون حينها حدودًا طبيعية لمجال تعريف مقلوبها.${\displaystyle n\geq 2}$لم يعد هذا صحيحاً، كما يتضح من نظرية هارتوغز للتمديد .

لنطاق$أوميغا$الشروط التالية متكافئة:

1. $أوميغا$هو مجال من مجالات التماثل التام.
2. $أوميغا$محدب شكليًا .
3. توجد دالة تحليلية على$أوميغا$لا يمكن مواصلة التحليل إلى ما بعد ذلك$أوميغا$أي أن نطاق وجودها هو$أوميغا$⁠ .
4. $أوميغا$هو شبه محدب .
5. $أوميغا$هل ليفي محدبة ؟${\displaystyle S_{n}\subseteq \Omega }$من الأسطح المدمجة التحليلية بحيث${\displaystyle S_{n}\rightarrow S,\partial S_{n}\rightarrow \Gamma }$لبعض المجموعات${\displaystyle \Gamma }$لدينا${\displaystyle S\subseteq \Omega }$( ⁠${\displaystyle \partial \Omega }$لا يمكن "لمسها من الداخل" بواسطة سلسلة من الأسطح التحليلية).
6. $أوميغا$يمتلك عقارات ليفي محلية - لكل نقطة${\displaystyle x\in \partial \Omega }$يوجد حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle x}$و${\displaystyle f}$هولومورفي على${\displaystyle U\cap \Omega }$بحيث${\displaystyle f}$لا يمكن توسيع نطاقها ليشمل أي حي من أحياء${\displaystyle x}$

تداعيات${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3,4\Leftrightarrow 5,1\Rightarrow 5,4\Rightarrow 6}$هي نتائج قياسية (لـ ⁠${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$( انظر إلى مبرهنة أوكا ). تكافؤ 1، 2، 3 هو مبرهنة كارتان-ثولين. ^{[ 1 ]} تكمن الصعوبة الرئيسية في إثبات${\displaystyle 6\Rightarrow 1}$أي بناء دالة تحليلية شاملة لا تقبل أي امتداد من دوال غير قابلة للامتداد معرفة محليًا فقط. تُسمى هذه المسألة بمسألة ليفي (نسبةً إلى إي. إي. ليفي )، وقد حلّها أولًا كيوشي أوكا ، ثم لارس هورماندر باستخدام أساليب من التحليل الوظيفي والمعادلات التفاضلية الجزئية (نتيجة لـ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-مشكلة ).

• لو${\displaystyle \Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}}$إذا كانت مجالات التماثل التام، فإن تقاطعها${\displaystyle \textstyle \Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}}$وهو أيضاً مجال من مجالات التماثل الشكلي.
• لو${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots }$هو تسلسل تصاعدي لمجالات التماثل الشكلي، ثم اتحادها${\displaystyle \textstyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}}$وهو أيضًا مجال من مجالات التماثل التام (انظر نظرية بينكه-شتاين ).
• لو${\displaystyle \Omega _{1}}$و ${\displaystyle \Omega _{2}}$هي مجالات التماثل التام، إذن${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$هو مجال من مجالات التماثل التام.
• إن مسألة ابن العم الأولى قابلة للحل دائمًا في مجال من التماثل التام؛ وهذا صحيح أيضًا، مع افتراضات طوبولوجية إضافية، بالنسبة لمسألة ابن العم الثانية .

${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$هو مجال من مجالات التماثل التام.

في${\displaystyle n=1}$في هذه الحالة، كل مجموعة مفتوحة هي مجال للتماثل التام. ومن الأمثلة الخاصة على ذلك قرص الوحدة المفتوح . عرّف الدالة الثغراتية .${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty}z^{2^{n}}}$⁠ .

تكون دالة شكلية على قرص الوحدة المفتوح بواسطة اختبار فايرشتراس إم ، وشاذة عند جميع ⁠${\displaystyle \{e^{2i\pi k/2^{n}}:n,k\in \mathbb {N} \}}$، وهو كثيف على دائرة الوحدة، وبالتالي لا يمكن تمديده تحليليًا إلى ما وراء قرص الوحدة.

في${\displaystyle n\geq 2}$في هذه الحالة، دع${\displaystyle K\subset U\subset \mathbb {C} ^{n}}$أين${\displaystyle U}$مفتوح و${\displaystyle K}$غير فارغة ومضغوطة. إذا${\displaystyle U\setminus K}$إذا كانت متصلة، فبحسب نظرية هارتوغز للتمديد ، فإن أي دالة تحليلية على${\displaystyle U\setminus K}$يمكن مواصلة التحليل إلى${\displaystyle U}$، مما يعني${\displaystyle U\setminus K}$هي مجموعة مفتوحة ليست مجالًا للتحليل التام. وبالتالي، يصبح مجال التحليل التام مفهومًا غير بديهي في هذه الحالة .${\displaystyle n\geq 2}$⁠ .

• نظرية بينكه-شتاين
• ليفي شبه محدب
• مشعب شتاين

• كرانز، ستيفن ج. (1992)، نظرية الدوال لعدة متغيرات مركبة ، بروفيدنس، رود آيلاند: دار نشر تشيلسي التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية.
• شابات، بوريس فلاديميروفيتش (1992)، مقدمة في التحليل المركب ، الجمعية الأمريكية للرياضيات

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Domain of holomorphy على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .