استبدال أويلر

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة

استبدال أويلر هو طريقة لتقييم التكاملات من الشكل

∫R(x،أx2+بx+ج)دx،{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,}

أينR{\displaystyle R}هي دالة كسرية لـx{\displaystyle x}وأx2+بx+ج{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}ثبت أن هذه التكاملات يمكن دائمًا ترشيدها باستخدام أحد بدائل أويلر الثلاثة. [ 1 ]

أول تبديل لإيلر

يُستخدم استبدال أويلر الأول عندماأ>0{\displaystyle a>0}نستبدل أx2+بx+ج=±xأ+ت{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t} وحل التعبير الناتج لـx{\displaystyle x}لدينا ذلكx=ج-ت2±2تأ-ب{\displaystyle x={\frac {ct^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}}وأندx{\displaystyle dx}يمكن التعبير عن المصطلح بشكل منطقي فيت{\displaystyle t}.

في هذا الاستبدال، يمكن اختيار الإشارة الموجبة أو الإشارة السالبة.

التبديل الثاني الذي أجراه أويلر

لوج>0{\displaystyle c>0}، نحن نأخذ أx2+بx+ج=xت±ج.{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.} نحن نحل لـx{\displaystyle x}وبالمثل كما سبق، وابحث x=±2تج-بأ-ت2.{\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{at^{2}}}.}

ومرة أخرى، يمكن اختيار الإشارة الموجبة أو السالبة.

التبديل الثالث لأويلر

إذا كانت كثيرة الحدودأx2+بx+ج{\displaystyle ax^{2}+bx+c}له جذور حقيقيةα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }، قد نختار أx2+بx+ج=أ(x-α)(x-β)=(x-α)ت{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}وهذا ينتج عنه x=أβ-αت2أ-ت2،{\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},} وكما في الحالات السابقة، يمكننا التعبير عن الدالة التكاملية بأكملها بشكل منطقي فيت{\displaystyle t}.

أمثلة

أمثلة على استبدال أويلر الأول

المثال الأول

بالنسبة للتكامل∫ دxx2+ج{\displaystyle \int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}}يمكننا استخدام الاستبدال الأول وتعيينx2+ج=-x+ت{\textstyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}. هكذا، x=ت2-ج2ت، دx=ت2+ج2ت2 دت،{\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}},\qquad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt,}x2+ج=-ت2-ج2ت+ت=ت2+ج2ت.{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}.} وبناءً على ذلك، نحصل على: ∫دxx2+ج=∫ت2+ج2ت2ت2+ج2ت دت=∫دتت=ln⁡|ت|+ج=ln⁡|x+x2+ج|+ج.{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+c}}\right|+C.}

القضاياج=±1{\displaystyle c=\pm 1}أعطِ الصيغ ∫ دxx2+1=أرسينه⁡(x)+ج،∫ دxx2-1=أركوش⁡(x)+ج.(x>1){\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} (x)+C,\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} (x)+C.\qquad (x>1)\end{aligned}}}

المثال الثاني

لإيجاد قيمة ∫1xx2+4x-4دx،{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,} نجدت{\displaystyle t}باستخدام الاستبدال الأول لأويلر:x2+4x-4=1x+ت=x+ت{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}بتربيع طرفي المعادلة نحصل علىx2+4x-4=x2+2xت+ت2{\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}، ومنهاx2{\displaystyle x^{2}}ستلغي الحدود بعضها بعضًا. الحل هوx{\displaystyle x}العائد x=ت2+44-2ت.{\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}

ومن ثم نجد أن التفاضلاتدx{\displaystyle dx}ودت{\displaystyle dt}ترتبط ببعضها البعض من خلال دx=-2ت2+8ت+8(4-2ت)2دت.{\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.}

لذلك، ∫دxxx2+4x-4=∫-2ت2+8ت+8(4-2ت)2(ت2+44-2ت)(-ت2+4ت+44-2ت)دتت=x2+4x-4-x=2∫دتت2+4=لون برونزي-1⁡(ت2)+ج=لون برونزي-1⁡(x2+4x-4-x2)+ج.{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{\left({\frac {t^{2}+4}{4-2t}}\right)\left({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}dt&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C.\end{aligned}}}

أمثلة على استبدال أويلر الثاني

في التكامل ∫دxx-x2+x+2،{\displaystyle \int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},} يمكننا استخدام الاستبدال الثاني وتعيين-x2+x+2=xت+2{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}}. هكذا x=1-22تت2+1،دx=22ت2-2ت-22(ت2+1)2دت،{\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}},\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,} و -x2+x+2=1-22تت2+1ت+2=-2ت2+ت+2ت2+1.{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}.}

وبناءً على ذلك، نحصل على: ∫دxx-x2+x+2=∫22ت2-2ت-22(ت2+1)21-22تت2+1-2ت2+ت+2ت2+1دت=∫-2-22ت+1دت=12∫-22-22ت+1دت=12ln⁡|22ت-1|+ج=22ln⁡|22-x2+x+2-2x-1|+ج.{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}dt\\[6pt]&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln \left|2{\sqrt {2}}t-1\right|+C\\[4pt]&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln \left|2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1\right|+C.\end{aligned}}}

أمثلة على استبدال أويلر الثالث

لتقييم ∫x2-x2+3x-2 دx،{\displaystyle \int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,} يمكننا استخدام الاستبدال الثالث وتعيين-(x-2)(x-1)=(x-2)ت{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}. هكذا x=-2ت2-1-ت2-1، دx=2ت(-ت2-1)2 دت،{\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}},\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,} و -x2+3x-2=(x-2)ت=ت-ت2-1..{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}.}

التالي، ∫x2-x2+3x-2 دx=∫(-2ت2-1-ت2-1)22ت(-ت2-1)2ت-ت2-1 دت=∫2(-2ت2-1)2(-ت2-1)3 دت.{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {\left({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.} هذه دالة كسرية، ويمكن حلها باستخدام الكسور الجزئية.

التعميمات

يمكن تعميم استبدالات أويلر بالسماح باستخدام الأعداد التخيلية. على سبيل المثال، في التكامل∫دx-x2+ج{\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}، الاستبدال-x2+ج=±أناx+ت{\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}يمكن استخدامها. تسمح لنا الامتدادات للأعداد المركبة باستخدام كل نوع من أنواع استبدال أويلر بغض النظر عن معاملات المعادلة التربيعية.

يمكن تعميم استبدالات أويلر لتشمل فئة أكبر من الدوال. لننظر في التكاملات من الشكل التالي: ∫R1(x،أx2+بx+ج)سجل⁡(R2(x،أx2+بx+ج))دx،{\displaystyle \int R_{1}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,\log \left(R_{2}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\right)\,dx,} أينR1{\displaystyle R_{1}}وR2{\displaystyle R_{2}}هي دوال كسرية لـx{\displaystyle x}وأx2+بx+ج{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}يمكن تحويل هذا التكامل عن طريق الاستبدالأx2+بx+ج=أ+xت{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}إلى تكامل آخر ∫R~1(ت)سجل⁡(R~2(ت))دت،{\displaystyle \int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,} أينR~1(ت){\displaystyle {\tilde {R}}_{1}(t)}وR~2(ت){\displaystyle {\tilde {R}}_{2}(t)}أصبحت الآن ببساطة دوال كسرية لـت{\displaystyle t}من حيث المبدأ، يمكن استخدام التحليل إلى عوامل والتحليل إلى كسور جزئية لتقسيم التكامل إلى حدود بسيطة، والتي يمكن تكاملها تحليليًا باستخدام دالة اللوغاريتم الثنائي . [ 2 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ن. بيسكونوف، Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. كيرجاستوس أروح ، تالين (1965). ملحوظة: يمكن العثور على بدائل أويلر في معظم كتب حساب التفاضل والتكامل الروسية.
  2. ↑ زويلينجر، دانيال. دليل التكامل . جونز وبارتليت. الصفحات 145-146 . ISBN  978-0867202939.

تتضمن هذه المقالة مواد من كتاب "بدائل أويلر للتكامل" على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .