متباينة أهلسويد-دايكين

متباينة أهلسويد -دايكن ( أهلسويد ودايكن 1978 ) ، والمعروفة أيضًا باسم نظرية الدوال الأربع (أو المتباينة )، هي متباينة من نوع الارتباط لأربع دوال على شبكة توزيعية منتهية . وهي أداة أساسية في الميكانيكا الإحصائية والتوافقية الاحتمالية (وخاصة الرسوم البيانية العشوائية والطريقة الاحتمالية ).

تنص المتباينة على أنه إذا${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}}$هي دوال غير سالبة على شبكة توزيعية منتهية بحيث

${\displaystyle f_{1}(x)f_{2}(y)\leq f_{3}(x\vee y)f_{4}(x\wedge y)}$

لكل x و y في الشبكة، إذن

${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(Y)\leq f_{3}(X\vee Y)f_{4}(X\wedge Y)}$

لكل المجموعات الجزئية X و Y من الشبكة، حيث

${\displaystyle f(X)=\sum _{x\in X}f(x)}$

و

${\displaystyle X\vee Y=\{x\vee y\mid x\in X,y\in Y\}}$

${\displaystyle X\wedge Y=\{x\wedge y\mid x\in X,y\in Y\}.}$

يمكن استخدام متباينة أهلسويد-دايكن لتقديم برهان مختصر لكل من متباينة هولي ومتباينة إف كي جي . كما أنها تستلزم متباينة إكس واي زد .

للحصول على دليل، انظر المقالة الأصلية ( Ahlswede & Daykin 1978 ) أو ( Alon & Spencer 2000 ) .

تم تعميم "نظرية الدوال الأربع" بشكل مستقل إلى 2 k دالة في ( Aharoni & Keich 1996 ) و ( Rinott & Saks 1991 ) .

تم وصف قصة اكتشاف متباينة أهلسويد-دايكن في مقدمة كتاب أ. أهلسويد وآخرون:

إن تاريخ فكرة متباينة AD مثير للاهتمام للغاية. عندما زار دايكن بيليفيلد، كان أهلسويد منشغلاً بتركيب ورق الجدران. وقف أهلسويد على السلم، وأراد دايكن أن يخبره بمتباينة تم إثباتها حديثًا. كان الإعلان معقدًا، فقال أهلسويد إنه ربما ينبغي أن تكون هناك نظرية أكثر عمومية (وأسهل). قدم أهلسويد مباشرةً - على السلم - اقتراحًا كان هو في الواقع متباينة AD. ^{[ 1 ]}

• أهلسويد، رودولف؛ دايكن، ديفيد إي. (1978)، "متباينة لأوزان عائلتين من المجموعات، واتحاداتهما وتقاطعاتهما"، نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة ، 43 (3): 183-185 ، CiteSeerX 10.1.1.380.8629 ، doi : 10.1007/BF00536201 ، ISSN 0178-8051 ، MR 0491189 ، S2CID 120659862    
• ألون، ن .؛ سبنسر، ج. هـ. (2000)، المنهج الاحتمالي. الطبعة الثانية. مع ملحق عن حياة وأعمال بول إيردوس. ، وايلي-إنترساينس، نيويورك، ISBN 978-0-471-37046-8MR 1885388​ 
• فيشبورن، بي سي (2001) [1994]، "متباينة أهلسويد-دايكن" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة إي إم إس
• أهاروني، رون. Keich، Uri (1996)، “تعميم عدم المساواة Ahlswede Daykin”، الرياضيات المنفصلة ، 152 ( 1– 3): 1– 12 ، دوى : 10.1016 / 0012-365X(94)00294-S
• رينوت، يوسف؛ ساكس، مايكل (1991)، "متباينات الارتباط وتخمين للمتغيرات الدائمة"، كومبيناتوريكا ، 13 (3): 269-277 ، doi : 10.1007/BF01202353 ، S2CID 206791629