دالة فوكس-رايت

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعد دالة فوكس-رايت (المعروفة أيضًا باسم دالة فوكس-رايت بسي ، والتي لا ينبغي الخلط بينها وبين دالة رايت أوميغا ) تعميمًا للدالة الهندسية الفائقة المعممة p F q ( z ) استنادًا إلى أفكار تشارلز فوكس ( 1928 ) وإي . ميتلاند رايت ( 1935 ) :  

صΨq[(أ1،أ1)(أ2،أ2)...(أص،أص)(ب1،ب1)(ب2،ب2)...(بq،بq)؛z]=∑ن=0∞Γ(أ1+أ1ن)⋯Γ(أص+أصن)Γ(ب1+ب1ن)⋯Γ(بq+بqن)zنن!.\displaystyle ... (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}

عند تغيير التطبيع

صΨq*[(أ1،أ1)(أ2،أ2)...(أص،أص)(ب1،ب1)(ب2،ب2)...(بq،بq)؛z]=Γ(ب1)⋯Γ(بq)Γ(أ1)⋯Γ(أص)∑ن=0∞Γ(أ1+أ1ن)⋯Γ(أص+أصن)Γ(ب1+ب1ن)⋯Γ(بq+بqن)zنن!\begin{matrix}_{p}\Psi_{q}^{*}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1})\cdots \Gamma (a_{p})}}\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}}

يصبح p F q ( z ) لـ A 1... p = B 1... q = 1.

تُعد دالة فوكس-رايت حالة خاصة من دالة فوكس إتش ( سريفاستافا ومانوشا 1984 ، ص 50) : 

صΨq[(أ1،أ1)(أ2،أ2)...(أص،أص)(ب1،ب1)(ب2،ب2)...(بq،بq)؛z]=حص،q+11،ص[-z|(1-أ1،أ1)(1-أ2،أ2)...(1-أص،أص)(0،1)(1-ب1،ب1)(1-ب2،ب2)...(1-بq،بq)].{\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=H_{p,q+1}^{1,p}\left[-z\left|{\begin{matrix}(1-a_{1},A_{1})&(1-a_{2},A_{2})&\ldots &(1-a_{p},A_{p})\\(0,1)&(1-b_{1},B_{1})&(1-b_{2},B_{2})&\ldots &(1-b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right].}

دالة رايت

الوظيفة بأكملهادبليوλ،μ(z){\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}تُسمى غالبًا دالة رايت . [ 1 ] وهي حالة خاصة من0Ψ1[...]{\displaystyle {}_{0}\Psi _{1}\left[\ldots \right]}دالة فوكس-رايت. تمثيلها المتسلسل هو

دبليوλ،μ(z)=∑ن=0∞zنن!Γ(λن+μ)،λ>-1.{\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.}

تُستخدم هذه الدالة على نطاق واسع في حساب التفاضل والتكامل الكسري . تذكر أنليمλ→0دبليوλ،μ(z)=هـz/Γ(μ){\displaystyle \lim \limits _{\lambda \to 0}W_{\lambda ,\mu }(z)=e^{z}/\Gamma (\mu )}وبالتالي، قيمة غير صفريةλ{\displaystyle \lambda }مع الصفرμ{\displaystyle \mu }هو أبسط امتداد غير تافه للدالة الأسية في هذا السياق.

تم ذكر ثلاث خصائص في النظرية 1 لرايت (1933) [ 2 ] و 18.1 (30-32) لإرديلي، مشروع بيتمان، المجلد 3 (1955) [ 3 ] (ص 212).

λzدبليوλ،μ+λ(z)=دبليوλ،μ-1(z)+(1-μ)دبليوλ،μ(z)(أ)ددzدبليوλ،μ(z)=دبليوλ،μ+λ(z)(ب)λzددzدبليوλ،μ(z)=دبليوλ،μ-1(z)+(1-μ)دبليوλ،μ(z)(ج){\displaystyle {\begin{align}\lambda zW_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(a)\\[6pt]{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&(b)\\[6pt]\lambda z{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(ض)&(ج)\النهاية{محاذاة}}}

المعادلة (أ) هي صيغة تكرارية. توفر المعادلتان (ب) و(ج) مسارين لتبسيط المشتقة. ويمكن اشتقاق المعادلة (ج) من المعادلتين (أ) و(ب).

الحالة الخاصة من (ج) هيλ=-جα،μ=0{\displaystyle \lambda =-c\alpha ,\mu =0}استبدالz{\displaystyle z}مع-xα{\displaystyle -x^{\alpha }}لدينا

xددxدبليو-جα،0(-xα)=-1ج[دبليو-جα،-1(-xα)+دبليو-جα،0(-xα)]{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x{d \over dx}W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })&=&-{\frac {1}{c}}\left[W_{-c\alpha ,-1}(-x^{\alpha })+W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })\right]\end{array}}}

الحالة الخاصة من (أ) هيλ=-α،μ=1{\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =1}استبدالz{\displaystyle z}مع-z{\displaystyle -z}لدينا αzدبليو-α،1-α(-z)=دبليو-α،0(-z){\displaystyle \alpha zW_{-\alpha ,1-\alpha }(-z)=W_{-\alpha ,0}(-z)}

تدوينان،مα(z){\displaystyle M_{\alpha }(z)}وFα(z){\displaystyle F_{\alpha }(z)}، وقد استُخدمت على نطاق واسع في الأدبيات:

مα(z)=دبليو-α،1-α(-z)،⟹Fα(z)=دبليو-α،0(-z)=αzمα(z).{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,1-\alpha }(-z),\\[1ex]\implies F_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,0}(-z)=\alpha zM_{\alpha }(z).\end{aligned}}}

وظيفة إم-رايت

مα(z){\displaystyle M_{\alpha }(z)}تُعرف باسم دالة إم-رايت، وتدخل كدالة كثافة احتمالية في فئة ذات صلة من العمليات العشوائية ذاتية التشابه، والتي يشار إليها عمومًا باسم عمليات الانتشار الكسري الزمني.

تمت دراسة خصائصها في دراسة ميناردي وآخرون (2010). [ 4 ]

توسعها التقاربي لـمα(z){\displaystyle M_{\alpha }(z)}لα>0{\displaystyle \alpha >0}يكون مα(رα)=أ(α)ر(α-1/2)/(1-α)هـ-ب(α)ر1/(1-α)،ر→∞،{\displaystyle M_{\alpha }\left({\frac {r}{\alpha }}\right)=A(\alpha )\,r^{(\alpha -1/2)/(1-\alpha )}\,e^{-B(\alpha )\,r^{1/(1-\alpha )}},\,\,r\rightarrow \infty ,} أين أ(α)=12π(1-α)،{\displaystyle A(\alpha )={\frac {1}{\sqrt {2\pi (1-\alpha )}}},}ب(α)=1-αα.{\displaystyle B(\alpha )={\frac {1-\alpha }{\alpha }}.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ وايسشتاين، إريك و. "دالة رايت" . من ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . تم الاسترجاع في 3 ديسمبر 2022 .
  2. ↑ رايت، إي. (1933). "حول معاملات متسلسلات القوى ذات النقاط الشاذة الأسية". مجلة الجمعية الرياضية بلندن . السلسلة الثانية: 71-79 . doi : 10.1112/JLMS/S1-8.1.71 . S2CID 122652898 . 
  3. ↑ إرديلي، أ (1955). مشروع بيتمان، المجلد 3. معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا.
  4. ↑ ميناردي، فرانشيسكو؛ مورا، أنطونيو؛ باجنيني، جياني (11 فبراير 2010). "دالة إم-رايت في عمليات الانتشار الكسري الزمني: دراسة تعليمية" . المجلة الدولية للمعادلات التفاضلية . 2010 (1) 104505. doi : 10.1155/2010/104505 .