مشكلة جورسات

مسألة غورسا (وتُسمى أيضاً مسألة داربو ) هي مسألة قيمة حدية لمعادلة تفاضلية جزئية زائدية من الرتبة الثانية في متغيرين مستقلين، مع بيانات مُحددة على منحنيين مميزين ينطلقان من نقطة مشتركة. سُميت المسألة نسبةً إلى إدوارد غورسا ، وهي وثيقة الصلة بمسألة كوشي .

بالنسبة للمعادلة التفاضلية القطعية من الدرجة الثانية

$${\displaystyle u_{xy}=F(x,y,u,p,q),\qquad p=u_{x},\qquad q=u_{y}}$$

1

على سبيل المثال، في المجال${\displaystyle \Omega =\{(x,y):0<x<y<1\}}$تُطرح مشكلة غورسات على النحو التالي: إيجاد حل${\displaystyle u(x,y)}$من المعادلة ( 1 ) أي:

• منتظم في$أوميغا$
• مستمر في الإغلاق${\displaystyle {\bar {\أوميغا }}}$
• تلبية البيانات المعطاة على الحدود

$${\displaystyle u(0,t)=\phi (t),\qquad u(t,1)=\psi (t),\qquad \phi (1)=\psi (0),\qquad 0\leq t\leq 1,}$$

2

أين${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle \psi }$يتم إعطاء دوال قابلة للتفاضل باستمرار.

لو${\displaystyle F}$

• متصلة لجميع${\displaystyle (x,y)\in {\bar {\Omega }}}$وأي قيم حقيقية لـ${\displaystyle u,p,q}$،
• وله مشتقات${\displaystyle F_{u},F_{p},F_{q}}$والتي تكون قيمها المطلقة محدودة بشكل منتظم في ظل هذه الشروط،

إذن، يوجد حل فريد ومستقر للمسألة ( 1 )، ( 2 ) في$أوميغا$.

الحالة الخطية لمسألة غورسات،

$${\displaystyle Lu\equiv u_{xy}+a\,u_{x}+b\,u_{y}+c\,u=f}$$

3

يمكن حلها باستخدام طريقة ريمان .

عرّف دالة ريمان${\displaystyle R(x,y;\xi ,\eta )}$باعتباره الحل الوحيد للمعادلة

$${\displaystyle R_{xy}-(aR)_{x}-(bR)_{y}+cR=0}$$

4

ذلك، بناءً على الخصائص${\displaystyle x=\xi }$و${\displaystyle y=\eta }$، يفي بالشرط

$${\displaystyle {\begin{align}&R(\xi ,y;\xi ,\eta )=\exp \!\left(\int _{\eta }^{y}a(\xi ,t)\,dt\right),\\&R(x,\eta)$$ ;\xi ,\eta )=\exp \!\left(\int _{\xi }^{x}b(t,\eta )\,dt\right).\end{aligned}}}

5

هنا${\displaystyle (\xi ,\eta )}$هي نقطة عشوائية في المجال$أوميغا$حيث تم تعريف المعادلة ( 3 ). إذا كانت الدوال${\displaystyle a_{x},b_{y}}$و${\displaystyle c}$إذا كانت الدوال متصلة، فإن دالة ريمان موجودة وتكون كذلك بالنسبة للمتغيرات.${\displaystyle \xi }$و${\displaystyle \eta }$، حل${\displaystyle LR=0}$.

يُعطى حل مسألة غورسات ( 2 ) للمعادلة ( 3 ) بواسطة صيغة ريمان . إذا${\displaystyle \phi =\psi \equiv 0}$، وله الشكل التالي:

$${\displaystyle u(x,y)=\int _{0}^{x}\!\!d\xi \int _{1}^{y}\!\!R(\xi ,\eta ;x,y)\,f(\xi ,\eta )\,d\eta }$$

6

ويترتب على صيغة ريمان أنه في أي${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \Omega }$قيمة الحل${\displaystyle u(x_{0},y_{0})}$يعتمد فقط على قيمة الدوال المعطاة في الشكل الرباعي المميز${\displaystyle 0\leq x\leq x_{0}}$،${\displaystyle 0\leq y\leq y_{0}}$. لو${\displaystyle f\equiv 0}$، وتعتمد هذه القيمة فقط على قيم${\displaystyle \psi (x)}$و${\displaystyle \phi (y)}$في الفترات${\displaystyle 0\leq x\leq x_{0}}$و${\displaystyle 0\leq y\leq y_{0}}$، على التوالي، بينما إذا${\displaystyle a=b=c=f\equiv 0}$تأخذ الدالة الشكل التالي

$${\displaystyle u(x_{0},y_{0})=\phi (y_{0})+\psi (x_{0})-\phi (0)}$$

7

تم توسيع نطاق هذه الطريقة لتشمل فئة واسعة إلى حد ما من الأنظمة الزائدية من الرتبتين الأولى والثانية، وعلى وجه الخصوص، الأنظمة من الشكل ( 3 ) حيث${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle c}$هي مصفوفات متناظرة تربيعية من الرتبة${\displaystyle n}$، بينما${\displaystyle f}$و${\displaystyle u}$هي متجهات ذات${\displaystyle n}$عناصر.

تُعد مسألة داربو-بيكارد تعميماً مباشراً لمسألة غورسات : وهي إيجاد حل لمعادلة زائدية، أو نظام زائدي من الدرجة الثانية، في متغيرين مستقلين من قيمها المعطاة على منحنيين رتيبين أملسين.${\displaystyle \gamma }$و${\displaystyle \delta }$، صادرة من نفس النقطة${\displaystyle A}$وتقع في الزاوية المميزة التي يكون رأسها عند${\displaystyle A}$. بخاصة،${\displaystyle \gamma }$و${\displaystyle \delta }$قد تتطابق جزئياً أو كلياً مع جوانب هذه الزاوية.

تمت دراسة هذه المسألة لمعادلات من الشكل ( 1 ). تُعرف مسألة غورسات أحيانًا بمسألة داربو. غالبًا ما تُفهم مسألة غورسات للمعادلات القطعية من الرتبة الثانية في عدة متغيرات مستقلة على أنها المسألة المميزة، أي إيجاد حلها من قيم معطاة على المخروط المميز.

• مسألة القيمة الحدية
• مشكلة كوشي
• معادلة تفاضلية جزئية زائدية

• غورسات، إي. (1923). دورة في التحليل الرياضي: تغير الحلول والمعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الثانية والمعادلات التكاملية وحساب التفاضل والتكامل . المجلد  3. باريس: غوتييه-فيلار.
• تريكومي، إف جي (1957). المعادلات التكاملية . نيويورك: إنترساينس.
• بيتسادسه، أ. ف. (1964). معادلات من النوع المختلط . مترجم من الروسية. بيرغامون.
• كوران، ر.؛ هيلبرت، د. (1989). أساليب الفيزياء الرياضية: المعادلات التفاضلية الجزئية . المجلد  2. نيويورك: وايلي.
• هازوينكل، م. ، محرر. (1988). موسوعة الرياضيات : ترجمة محدثة ومُشروحة للموسوعة الرياضية السوفيتية . دوردريخت، هولندا: ريدل. ص  289.

فايستين، إريك دبليو. “مشكلة جورسات” . عالم الرياضيات .

تتضمن هذه المقالة موادًا من مسألة غورسات (2001) [1994]، "مسألة غورسات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike ورخصة GNU Free Documentation .