نظرية غرينوالد-ستيغليتز

يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{M})}$ليكن متجه السلع ومتجه أسعار المستهلك المرتبط به، على التوالي. و${\displaystyle p^{H}}$يمثل احتمال وقوع الحادث في حالة ارتفاع مستوى الرعاية، و${\displaystyle p^{L}}$رعاية منخفضة. كذلك، المعايير المتعلقة بالعقد${\displaystyle \lbrace \alpha ,\beta \rbrace }$يتم تقديمها، وتتكون من صافي الفائدة${\displaystyle \alpha }$في حالة وقوع حادث وقسط التأمين${\displaystyle \beta }$بالنسبة للعناية الفائقة، فإن ناقل البضائع هو${\displaystyle X^{H}=p^{H}X^{H1}+(1-p^{H})X^{H0}}$، أين${\displaystyle X^{H1}}$يمثل متجه الاستهلاك في حالة وقوع حادث و${\displaystyle X^{H0}}$ليس الأمر مصادفة. الآن المنفعة المتوقعة${\displaystyle V^{H}}$يتم تحقيق أقصى قدر من الرعاية العالية، في ظل قيود الإيرادات الاجتماعية.${\displaystyle \alpha p^{H}=\beta (1-p^{H})+(q-1)X^{H}}$وقيد الاختيار الذاتي الذي ينص على أن المنفعة المتوقعة للرعاية المنخفضة أقل من أو تساوي المنفعة المتوقعة للرعاية العالية.

أما بالنسبة لدالة لاغرانج للنموذج،

${\displaystyle L=V^{H}+\gamma (\alpha p^{H}-\beta (1-p^{H})-(q-1)X^{H})+\lambda (V^{H}-V^{L})}$

ويتم تقييم مشتقاتها الجزئية عند q=1؛ وهذا يتوافق مع حالة عدم وجود ضرائب تفاضلية

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}{\Big |}_{q=1}={\frac {\partial V^{H}}{\partial q_{k}}}-\gamma {\frac {\partial X^{H}}{\partial q_{k}}}+\lambda ({\frac {\partial V^{H}}{\partial q_{k}}}-{\frac {\partial V^{L}}{\partial q_{k}}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \alpha }}{\Big |}_{q=1}={\frac {\partial V^{H}}{\partial \alpha }}+\gamma p^{H}+\lambda ({\frac {\partial V^{H}}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial V^{L}}{\partial \alpha }})=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \beta }}{\Big |}_{q=1}={\frac {\partial V^{H}}{\partial \beta }}-\gamma (1-p^{H})+\lambda ({\frac {\partial V^{H}}{\partial \beta }}-{\frac {\partial V^{L}}{\partial \beta }})=0}$

عندما يتعلق الأمر بالمنفعة الحدية للدخل${\displaystyle \mu ^{i1},\quad (\mu ^{i0})}$مع مستوى العناية الأول في حالة وقوع حادث (بدون حادث)، تقول هوية روي${\displaystyle {\frac {\partial V^{i}}{\partial q_{k}}}=-p^{i}\mu ^{i1}{\frac {\partial X^{i1}}{\partial q_{k}}}-(1-p^{i})\mu ^{i0}{\frac {\partial X^{i0}}{\partial q_{k}}}}$. أيضًا،${\displaystyle {\frac {\partial V^{i}}{\partial \alpha }}=p^{i}\mu ^{i1}}$و${\displaystyle {\frac {\partial V^{i}}{\partial \beta }}=-(1-p^{i})\mu ^{i0}}$.

وبناءً على ذلك، إضافة${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \alpha }}{\Big |}_{q=1}{\frac {\partial X^{H1}}{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial L}{\partial \beta }}{\Big |}_{q=1}(-{\frac {\partial X^{H0}}{\partial q_{k}}})}$ل${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}{\Big |}_{q=1}}$يسمح ذلك بتعويض عدة شروط، مما ينتج عنه

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}{\Big |}_{q=1}=\lambda (p^{L}\mu ^{L1}(X_{k}^{L1}-X_{k}^{H1})+(1-p^{L})\mu ^{L0}(X_{k}^{L0}-X_{k}^{H0}))}$

ثم، عن طريق وضع${\displaystyle {\bar {\mu}}^{L}=p^{L}\mu ^{L1}+(1-p^{L})\mu ^{L0}}$تصبح المعادلة

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}{\Big |}_{q=1}=\lambda {\bar {\mu }}^{L}\left({\bar {X}}_{k}^{L}-{\bar {X}}_{k}^{H}\right)}$، أين

${\displaystyle {\bar {X}}_{k}^{i}={\frac {1}{{\bar {\mu }}^{L}}}(p^{L}\mu ^{L1}X_{k}^{i1}+(1-p^{L})\mu ^{L0}X_{k}^{i0})}$تعني هذه المعادلة أن المشتقة الجزئية في الطرف الأيسر من المعادلة تكون سالبة إذا${\displaystyle {\bar {X}}_{k}>{\bar {X}}_{k}^{L}}$وإيجابي إذا${\displaystyle {\bar {X}}_{k}<{\bar {X}}_{k}^{L}}$يتضح مما سبق أن فرض ضرائب أو دعم تفاضلي على السلع يُحسّن الرفاهية، ويُفسّر هذا على النحو التالي: يرتبط مستوى استهلاك الفرد لسلعة ما بتجربته مع فرض الضرائب عليها. لذا، في حال خفض استهلاكه للسلعة عند الانتقال من النشاط المحفوف بالمخاطر إلى النشاط الآمن، سيخفّ أثر فرض الضرائب على تلك السلعة إذا اختار الخيار الآمن. هذا التغيير له تأثير حاسم على سلوكه، ما يجعله يُفضّل النشاط الآمن على النشاط المحفوف بالمخاطر. أما في حال زيادة استهلاكه للسلعة عند الانتقال من النشاط المحفوف بالمخاطر إلى النشاط الآمن، فسيكون للدعم المقدم لتلك السلعة أثر إيجابي أكبر إذا كان يمارس النشاط الآمن، ما يدفعه إلى تفضيل الخيار الآمن على النشاط المحفوف بالمخاطر.

يتكون النموذج من ثلاثة أجزاء رئيسية: الأسر، والشركات، والحكومة.${\displaystyle x^{h}=(x_{1}^{h},{\bar {x}}^{h})}$ليكن متجه استهلاك ذو أبعاد N للأسرة h؛${\displaystyle x_{1}^{h}}$هو استهلاك السلعة المعيارية و${\displaystyle {\bar {x}}^{h}}$هذا ينطبق على السلع غير القابلة للتحويل N-1. وبالمثل${\displaystyle y^{f}=(y_{1}^{f},{\bar {y}}^{f})}$هي دالة إنتاج ذات أبعاد N للشركة f.

المرافق المنزلية${\displaystyle u^{h}}$يتم تعظيمها، مما يفرض قيودًا مالية على الإنفاق.${\displaystyle E^{h}}$

${\displaystyle x_{1}^{h}+q\cdot {\bar {x}}^{h}\leq I^{h}+\sum _{F}a^{hf}\cdots \pi ^{f}}$

أين${\displaystyle q}$هو متجه ذو (N-1) بُعد يُمثل أسعار N-1 سلعة غير قابلة للقياس، و${\displaystyle \pi ^{f}}$هي أرباح الشركة f. أيضاً،${\displaystyle I^{h}}$هو عبارة عن تحويل مبلغ إجمالي من الحكومة إلى الأسرة (ح). ثم، يتم تعويض الطلب على السلع${\displaystyle k}$حفظ${\displaystyle z^{h},u^{h}}$لم يتغير${\displaystyle {\hat {x}}_{k}^{h}\equiv {\frac {\partial E^{h}}{\partial q}}{\Big |}_{z^{h},u^{h}}}$.

بشرط أن يكون إنتاج سلعة الوحدة${\displaystyle y_{1}^{f}}$يساوي أو أقل من دالة الإنتاج${\displaystyle G^{f}}$، يتم تحقيق أقصى ربح للشركات:

${\displaystyle \pi ^{f}=y_{1}^{f}+p\cdot {\bar {y}}^{f}}$

أين${\displaystyle p}$هو متجه ذو (N-1) بُعد يُمثل أسعار المنتجين للسلع غير القابلة للقياس N-1. وهذا يعني أن${\displaystyle {\frac {\partial \pi _{*}^{f}}{\partial p_{k}}}{\Big |}_{z^{f}}=y_{k}^{f},\quad (k=1,2,\ldots ,N)}$بالنسبة لدالة الربح الأقصى للشركة${\displaystyle \pi _{*}^{f}}$.

بالنسبة للحكومة، فإن صافي دخلها هو الفرق بين الإيرادات والنفقات:

${\displaystyle R\equiv t\cdot {\bar {x}}-\sum _{H}I^{h}}$

أين${\displaystyle t=q-p}$و${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{H}{\bar {x}}^{h}}$.

إذا كان التوازن الأصلي هو الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو، فهناك حل من شأنه أن يزيد صافي دخل الحكومة دون التأثير على منافع الأسر. وهذا يعني أن دالة الهدف${\displaystyle R}$يتم تحقيق أقصى قيمة عند${\displaystyle t=0}$في ظل القيود المفروضة على الحكومة:${\displaystyle I^{h}+\sum a^{hf}\pi ^{f}=E^{h}}$.

ثم بالنظر إلى المشتقة التورالية للقيد، بالإضافة إلى حقيقة أن${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=I_{N-1}+{\frac {dp}{dt}}}$، ينتج

${\displaystyle {\frac {\partial E^{h}}{\partial q}}+({\frac {\partial E^{h}}{\partial q}}-\sum _{f}a^{hf}{\frac {\partial \pi ^{f}}{\partial p}}){\frac {dp}{dt}}={\frac {dI^{h}}{dt}}+(\sum _{F}a^{hf}{\frac {\partial \pi ^{f}}{\partial z}}{\frac {dz^{f}}{dt}}-{\frac {\partial E^{h}}{\partial z}}{\frac {dz^{h}}{dt}})}$

بشرط${\displaystyle \sum _{h}a^{hf}=1}$، يتم جمع المشتق الأول للقيد على جميع الأسر

${\displaystyle {\bar {x}}+({\bar {x}}-{\bar {y}}){\frac {dp}{dt}}=\sum _{H}{\frac {dI^{h}}{dt}}+(\Pi -B)}$

مع الآثار الخارجية التكنولوجية${\displaystyle \Pi =\sum _{F}{\frac {\partial \pi _{*}^{f}}{\partial z^{f}}}{\frac {dz^{f}}{dt}}}$و${\displaystyle B=\sum _{H}{\frac {\partial E^{h}}{\partial z^{h}}}{\frac {dz^{h}}{dt}}}$علاوة على ذلك، يصبح الحد الموجود بين القوسين صفرًا عندما${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {y}}}$في أي توازن سوقي، ويتم عرضه على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{H}{\frac {dI^{h}}{dt}}={\bar {x}}-(\Pi -B)}$

ثم، تكون المشتقة الأولى لدالة الهدف هي

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}={\frac {d{\bar {x}}}{dt}}\cdot t+\Pi -B}$

الشرط الضروري لكي يكون النظام مثالياً عند حالة التوازن الأولية هو:

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\Pi -B=0}$

يتضح إذن أن التوازن الأولي يتحسن وفقًا لمبدأ باريتو من خلال تدابير ضريبية تُحسّن الرفاهية، ما لم تكن هناك عوامل خارجية.${\displaystyle \Pi }$و${\displaystyle B}$إنها تعوض بعضها البعض تمامًا.