الموجة الهرميتية

الموجات الهيرميتية هي عائلة من الموجات المتقطعة والمتصلة المستخدمة في تحويلات الموجات الهيرميتية الثابتة والمتقطعة .${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$تُعرَّف الموجة الهرميتية بأنها الموجة المعيارية${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$مشتق التوزيع الغاوسي لكل قيمة موجبة${\displaystyle n}$: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Psi _{n}(x)=(2n)^{-{\frac {n}{2}}}c_{n}\operatorname {He} _{n}\left(x\right)e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},}$$أين${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)}$يشير إلى${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$متعددة حدود هيرميت الاحتمالية . كل معامل تطبيع${\displaystyle c_{n}}$يُعطى بواسطة$${\displaystyle c_{n}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}{\sqrt {\pi }}2^{-n}(2n-1)!!\right)^{-{\frac {1}{2}}}\quad n\in \mathbb {N} .}$$الوظيفة${\displaystyle \Psi \in L_{\rho ,\mu }(-\infty ,\infty )}$يقال إنها موجة هيرميت مقبولة إذا كانت تفي بشرط القبول: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle C_{\Psi}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\|{\hat {\Psi }}(n)\|^{2}}{\|n\|}<\infty }$$

أين${\displaystyle {\hat {\Psi }}(n)}$هي حدود تحويل هيرميت لـ${\displaystyle \Psi }$.

في مجال رؤية الحاسوب ومعالجة الصور ، تُستخدم عوامل الاشتقاق الغاوسي من رتب مختلفة بشكل متكرر كأساس للتعبير عن أنواع مختلفة من العمليات البصرية؛ انظر فضاء المقياس و N-jet . ^{[ 3 ]}

المشتقات الثلاثة الأولى لدالة غاوس مع${\displaystyle \mu =0,\;\sigma =1}$:$${\displaystyle f(t)=\pi ^{-1/4}e^{(-t^{2}/2)},}$$نكون:$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(t)&=-\pi ^{-1/4}te^{(-t^{2}/2)},\\f''(t)&=\pi ^{-1/4}(t^{2}-1)e^{(-t^{2}/2)},\\f^{(3)}(t)&=\pi ^{-1/4}(3t-t^{3})e^{(-t^{2}/2)},\end{aligned}}}$$ولهم${\displaystyle L^{2}}$المعايير${\displaystyle \lVert f'\rVert ={\sqrt {2}}/2,\lVert f''\rVert ={\sqrt {3}}/2,\lVert f^{(3)}\rVert ={\sqrt {30}}/4}$.

يؤدي تطبيع المشتقات إلى الحصول على ثلاث موجات هيرميتية:$$\begin{aligned}\Psi_1(t) = \sqrt{2}\pi^{-1/4}te^{(-t^2/2)},\\\Psi_2(t) = \frac{2}{3}}{\sqrt{3}\pi^{-1/4}(1-t^2)e^{(-t^2/2)},\\\Psi_3(t) = \frac{2}{15}}{\sqrt{30}\pi^{-1/4}(t^3-3t)e^{(-t^2/2)}.\end{aligned}}}$$

• الموجة الصغيرة
• موجة ريكر هي${\displaystyle n=2}$الموجة الهرميتية

• موجات هيرميتية من نوع كليفورد-هيرميت (قسم التحليل الرياضي، كلية الهندسة، جامعة غنت)