وظيفة البوق

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الدوال الخاصة في الرياضيات ، تُعرف دوال هورن (نسبةً إلى جاكوب هورن ) بأنها 34 متسلسلةً هندسيةً فائقةً متقاربةً من الرتبة الثانية (أي ذات متغيرين مستقلين)، وقد أحصاها هورن (1931) (وصححها بورنغاسر (1933) ). وهي مُدرجة في ( إرديلي وآخرون، 1953 ، القسم 5.7.1) . وقد كشف بي سي كارلسون [ 1 ] عن مشكلة في تصنيف دوال هورن. [ 2 ] ويمكن تصنيف دوال هورن الـ 34 إلى 14 دالة هندسية فائقة كاملة و20 دالة هندسية فائقة متقاربة. والدوال الكاملة، مع مجال تقاربها، هي:

  • F1(α؛β،β′؛γ؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م+ن(β)م(β′)ن(γ)م+نzمwنم!ن!/؛|z|<1∧|w|<1{\displaystyle F_{1}(\alpha ;\beta ,\beta ';\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}
  • F2(α؛β،β′؛γ،γ′؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م+ن(β)م(β′)ن(γ)م(γ′)نzمwنم!ن!/؛|z|+|w|<1{\displaystyle F_{2}(\alpha ;\beta ,\beta ';\gamma ,\gamma ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|<1}
  • F3(α،α′؛β،β′؛γ؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م(α′)ن(β)م(β′)ن(γ)م+نzمwنم!ن!/؛|z|<1∧|w|<1{\displaystyle F_{3}(\alpha ,\alpha ';\beta ,\beta ';\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}
  • F4(α؛β؛γ،γ′؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م+ن(β)م+ن(γ)م(γ′)نzمwنم!ن!/؛|z|+|w|<1{\displaystyle F_{4}(\alpha ;\beta  ;\gamma ,\gamma ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;{\sqrt {|z|}}+{\sqrt {|w|}}<1}
  • جي1(α؛β،β′؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م+ن(β)ن-م(β′)م-نzمwنم!ن!/؛|z|+|w|<1{\displaystyle G_{1}(\alpha ;\beta ,\beta ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{m+n}(\beta )_{nm}(\beta ')_{mn}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|<1}
  • جي2(α،α′؛β،β′؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م(α′)ن(β)ن-م(β′)م-نzمwنم!ن!/؛|z|<1∧|w|<1{\displaystyle G_{2}(\alpha ,\alpha ';\beta ,\beta ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta )_{nm}(\beta ')_{mn}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}
  • جي3(α،α′؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2ن-م(α′)2م-نzمwنم!ن!/؛27|z|2|w|2+18|z||w|±4(|z|-|w|)<1{\displaystyle G_{3}(\alpha ,\alpha ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{2n-m}(\alpha ')_{2m-n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;27|z|^{2}|w|^{2}+18|z||w|\pm 4(|z|-|w|)<1}
  • ح1(α؛β؛γ؛دلتا؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م-ن(β)م+ن(γ)ن(دلتا)مzمwنم!ن!/؛4|z||w|+2|w|-|w|2<1{\displaystyle H_{1}(\alpha ;\beta  ;\gamma  ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{mn}(\beta )_{m+n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z||w|+2|w|-|w|^{2}<1}
  • ح2(α؛β؛γ؛دلتا؛ϵ؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م-ن(β)م(γ)ن(دلتا)ن(دلتا)مzمwنم!ن!/؛1/|w|-|z|<1{\displaystyle H_{2}(\alpha ;\beta  ;\gamma  ;\delta  ;\epsilon ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{mn}(\beta )_{m}(\gamma )_{n}(\delta )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;1/|w|-|z|<1}
  • ح3(α؛β؛γ؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م+ن(β)ن(γ)م+نzمwنم!ن!/؛|z|+|w|2-|w|<0{\displaystyle H_{3}(\alpha ;\beta  ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|^{2}-|w|<0}
  • ح4(α؛β؛γ؛دلتا؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م+ن(β)ن(γ)م(دلتا)نzمwنم!ن!/؛4|z|+2|w|-|w|2<1{\displaystyle H_{4}(\alpha ;\beta  ;\gamma  ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{m}(\delta )_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z|+2|w|-|w|^{2}<1}
  • ح5(α؛β؛γ؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م+ن(β)ن-م(γ)نzمwنم!ن!/؛16|z|2-36|z||w|±(8|z|-|w|+27|z||w|2)<-1{\displaystyle H_{5}(\alpha ;\beta  ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}(\beta )_{nm}}{(\gamma )_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;16|z|^{2}-36|z||w|\pm (8|z|-|w|+27|z||w|^{2})<-1}
  • ح6(α؛β؛γ؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م-ن(β)ن-م(γ)نzمwنم!ن!/؛|z||w|2+|w|<1{\displaystyle H_{6}(\alpha ;\beta  ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{nm}(\gamma )_{n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z||w|^{2}+|w|<1}
  • ح7(α؛β؛γ؛دلتا؛z،w)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م-ن(β)ن(γ)ن(دلتا)مzمwنم!ن!/؛4|z|+2/|s|-1/|s|2<1{\displaystyle H_{7}(\alpha ;\beta  ;\gamma  ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z|+2/|s|-1/|s|^{2}<1}

بينما تشمل وظائف Confluent ما يلي:

  • Φ1(α؛β؛γ؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م+ن(β)م(γ)م+نxمyنم!ن!{\displaystyle \Phi _{1}\left(\alpha ;\beta  ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • Φ2(β،β′؛γ؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(β)م(β′)ن(γ)م+نxمyنم!ن!{\displaystyle \Phi _{2}\left(\beta ,\beta ';\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • Φ3(β؛γ؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(β)م(γ)م+نxمyنم!ن!{\displaystyle \Phi _{3}\left(\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • Ψ1(α؛β؛γ،γ′؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م+ن(β)م(γ)م(γ′)نxمyنم!ن!{\displaystyle \Psi _{1}\left(\alpha ;\beta  ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • Ψ2(α؛γ،γ′؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م+ن(γ)م(γ′)نxمyنم!ن!{\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • Ξ1(α،α′؛β؛γ؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م(α′)ن(β)م(γ)م+ن(γ′)نxمyنم!ن!{\displaystyle \Xi _{1}\left(\alpha ,\alpha ';\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m+n}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • Ξ2(α؛β؛γ؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م(α)م(γ)م+نxمyنم!ن!{\displaystyle \Xi _{2}\left(\alpha ;\beta  ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\alpha )_{m}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • Γ1(α؛β،β′؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م(β)ن-م(β′)م-نxمyنم!ن!{\displaystyle \Gamma _{1}\left(\alpha ;\beta ,\beta ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{m}(\beta )_{nm}(\beta ')_{mn}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • Γ2(β،β′؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(β)ن-م(β′)م-نxمyنم!ن!{\displaystyle \Gamma _{2}\left(\beta ,\beta ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\beta )_{nm}(\beta ')_{mn}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح1(α؛β؛دلتا؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م-ن(β)م+ن(دلتا)مxمyنم!ن!{\displaystyle H_{1}\left(\alpha ;\beta  ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{mn}(\beta )_{m+n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح2(α؛β؛γ؛دلتا؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م-ن(β)م(γ)ن(دلتا)مxمyنم!ن!{\displaystyle H_{2}\left(\alpha ;\beta  ;\gamma  ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{mn}(\beta )_{m}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح3(α؛β؛دلتا؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م-ن(β)م(دلتا)مxمyنم!ن!{\displaystyle H_{3}\left(\alpha ;\beta  ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{mn}(\beta )_{m}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح4(α؛γ؛دلتا؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م-ن(γ)ن(دلتا)نxمyنم!ن!{\displaystyle H_{4}\left(\alpha ;\gamma  ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{mn}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح5(α؛دلتا؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م-ن(دلتا)مxمyنم!ن!{\displaystyle H_{5}\left(\alpha ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{mn}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح6(α؛γ؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م+ن(γ)م+نxمyنم!ن!{\displaystyle H_{6}\left(\alpha ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح7(α؛γ؛دلتا؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م+ن(γ)م(دلتا)نxمyنم!ن!{\displaystyle H_{7}\left(\alpha ;\gamma  ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}}{(\gamma )_{m}(\delta )_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح8(α؛β؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م-ن(β)ن-مxمyنم!ن!{\displaystyle H_{8}\left(\alpha ;\beta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{nm}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح9(α؛β؛دلتا؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م-ن(β)ن(دلتا)مxمyنم!ن!{\displaystyle H_{9}\left(\alpha ;\beta  ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح10(α؛دلتا؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)2م-ن(دلتا)مxمyنم!ن!{\displaystyle H_{10}\left(\alpha ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m-n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
  • ح11(α؛β؛γ؛دلتا؛x،y)≡∑م=0∞∑ن=0∞(α)م-ن(β)ن(γ)ن(دلتا)مxمyنم!ن!{\displaystyle H_{11}\left(\alpha ;\beta  ;\gamma  ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{mn}(\beta )_{n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}

لاحظ أن بعض الدوال الكاملة والمتصلة تشترك في نفس الترميز.

مراجع

  • Borngässer, Ludwig (1933), Über Hypergeometrische funkionen zweier Veränderlichen , أطروحة، دارمشتات
  • إرديلي، آرثر؛ ماغنوس، فيلهلم ؛ أوبرهيتينغر، فريتز؛ تريكومي، فرانشيسكو ج. (1953)، الدوال المتعالية العليا. المجلد الأول (ملف PDF) ، شركة ماكجرو هيل للنشر، نيويورك-تورنتو-لندن، MR 0058756 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 11 أغسطس 2011 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أغسطس 2015 
  • هورن، ج. (1931)، “Hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen” ، مجلة الرياضيات ، 105 (1): 381–407 ، دوى : 10.1007 / BF01455825 ، S2CID 179177588 
  • J. Horn Math. Ann. 111 , 637 (1933)
  • سريفاستافا، إتش إم؛ كارلسون، بير دبليو. (1985)، متسلسلات غاوسية متعددة فائقة الهندسة ، سلسلة إليس هوروود: الرياضيات وتطبيقاتها، تشيتشستر: إليس هوروود المحدودة، ISBN 978-0-85312-602-7، MR 0834385