نظرية جاكوبي للمربعات الأربعة

في نظرية الأعداد ، تعطي نظرية جاكوبي للمربعات الأربعة صيغة لعدد الطرق التي يمكن بها تمثيل عدد صحيح موجب معين n على أنه مجموع أربعة مربعات (من الأعداد الصحيحة ).

تم إثبات النظرية في عام 1834 بواسطة كارل جوستاف جاكوب جاكوبي .

يُعتبر تمثيلان مختلفين إذا كانت حدودهما بترتيب مختلف أو إذا كان العدد الصحيح الذي يتم تربيعه (وليس المربع فقط) مختلفًا؛ على سبيل المثال، هذه ثلاث من الطرق الثمانية المختلفة لتمثيل 1:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1^{2}&+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\0^{2}&+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\(-1)^{2}&+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}}$$

عدد طرق تمثيل n كمجموع أربعة مربعات يساوي ثمانية أضعاف مجموع قواسم n إذا كان n فرديًا ، و24 ضعف مجموع قواسم n الفردية إذا كان n زوجيًا (انظر دالة القاسم )، أي

$${\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}\displaystyle 8\sum _{m|n}m&{\text{إذا كان }}n{\text{ فرديًا}},\\[12pt]\displaystyle 24\sum _{{m|n} \atop {m{\text{ فرديًا}}}}m&{\text{إذا كان }}n{\text{ زوجيًا}}.\end{cases}}}$$

وبصورة مكافئة، هو ثمانية أضعاف مجموع جميع قواسمه التي لا تقبل القسمة على 4، أي

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{{m\mid n,} \atop {4\nmid m}}m.}$$

ومن النتائج المباشرة ما يلي:${\displaystyle r_{4}(2n)=r_{4}(8n)}$؛ للفردي${\displaystyle n}$،${\displaystyle r_{4}(2\cdot 4^{a}n)=r_{4}(2n)}$[ ^{1 ]​}

يمكننا أيضًا كتابة هذا على النحو التالي:

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\,\sigma (n)-32\,\sigma (n/4)}$$

حيث يُعتبر الحد الثاني صفرًا إذا لم يكن n قابلاً للقسمة على 4. وعلى وجه الخصوص، بالنسبة لعدد أولي p، لدينا الصيغة الصريحة r ₄ ( p ) = 8( p + 1) . ^{[ 2 ]}

تظهر بعض قيم r₄ ( n ) بشكل متكرر لا نهائي _{على النحو التالي :} r₄ ( n ) = r₄ ( ^2mn ) عندما يكون n عددًا زوجيًا. ويمكن أن تكون قيم r₄ ( n ) كبيرة بشكل تعسفي؛ بل إن _r₄ ( n ) تكون أكبر من ذلك بشكل متكرر لا نهائي .${\displaystyle 8{\sqrt {\log n}}.}$^{[ 2 ]}

يمكن إثبات النظرية بوسائل أولية تبدأ بضرب جاكوبي الثلاثي . ^{[ 3 ]}

يُظهر البرهان أن سلسلة ثيتا للشبكة Z ⁴ هي شكل نمطي من مستوى معين، وبالتالي تساوي تركيبة خطية من سلسلة أيزنشتاين .

القيم القليلة الأولى من الصيغة هي كما يلي:

${\displaystyle n}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle r_{4}(n)}$	1	8	24	32	24	48	96	64	24	104	144

يمكن الاطلاع على قيم إضافية في التسلسل A000118 في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة (OEIS).

يُعرف عدد تمثيلات العدد n كمجموع k مربع بدالة مجموع المربعات . وتعطي نظرية جاكوبي للمربعات الأربعة صيغة تحليلية للحالة k = 4.

• نظرية لاغرانج الرباعية
• سلسلة لامبرت
• دالة مجموع المربعات

• هيرشهورن، مايكل د.؛ ماكجوان، جيمس أ. (2001). "النتائج الجبرية لنظريتي جاكوبي للمربعين والأربعة مربعات". في: جارفان، ف. ج.؛ إسماعيل، م. إ. هـ. (محرران). الحساب الرمزي، نظرية الأعداد، الدوال الخاصة، الفيزياء والتوافقية . تطورات في الرياضيات. المجلد  4. سبرينغر. الصفحات 107-132 . CiteSeerX 10.1.1.26.9028 . doi : 10.1007/978-1-4613-0257-5_7 . ISBN   978-1-4020-0101-7.
• هيرشهورن، مايكل د. (1987). "برهان بسيط لنظرية جاكوبي للمربعات الأربعة" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 101 (3): 436-438 . doi : 10.1090/s0002-9939-1987-0908644-9 .
• ويليامز، كينيث س. (2011). نظرية الأعداد على نهج ليوفيل . نصوص طلابية من الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  76. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl 1227.11002 . 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة مجموع المربعات" . عالم الرياضيات .
• مؤسسة OEIS (2025). "A000118: عدد طرق كتابة n كمجموع 4 مربعات" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة .