دالة محدبة من النوع K

ليكن K عددًا حقيقيًا غير سالب. دالة${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$تكون K- محدبة إذا

${\displaystyle g(u)+z\left[{\frac {g(u)-g(ub)}{b}}\right]\leq g(u+z)+K}$

لأي${\displaystyle u,z\geq 0,}$و${\displaystyle b>0}$.

وظيفة${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$تكون K- محدبة إذا

${\displaystyle g(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)\leq \lambda g(x)+{\bar {\lambda }}[g(y)+K]}$

للجميع${\displaystyle x\leq y,\lambda \in [0,1]}$، أين${\displaystyle {\bar {\lambda }}=1-\lambda }$.

يُتيح هذا التعريف تفسيراً هندسياً بسيطاً يتعلق بمفهوم الرؤية. ^{[ 3 ]} ليكن${\displaystyle a\geq 0}$نقطة${\displaystyle (x,f(x))}$يقال إنه مرئي من${\displaystyle (y,f(y)+a)}$إذا كانت جميع النقاط الوسيطة${\displaystyle (\lambda x+{\bar {\lambda }}y,f(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)),0\leq \lambda \leq 1}$تقع أسفل القطعة المستقيمة الواصلة بين هاتين النقطتين. عندئذٍ، يمكن الحصول على التوصيف الهندسي للتحدب من الرتبة K كما يلي:

وظيفة${\displaystyle g}$تكون K- محدبة إذا وفقط إذا${\displaystyle (x,g(x))}$يمكن رؤيته من${\displaystyle (y,g(y)+K)}$للجميع${\displaystyle y\geq x}$.

يكفي إثبات إمكانية تحويل التعريفات المذكورة أعلاه إلى بعضها البعض. ويمكن إثبات ذلك باستخدام التحويل.

${\displaystyle \lambda =z/(b+z),\quad x=ub,\quad y=u+z.}$

لو${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$إذا كانت K- محدبة، فإنها تكون L- محدبة لأي${\displaystyle L\geq K}$وخاصة إذا${\displaystyle g}$إذا كانت محدبة، فإنها تكون أيضًا محدبة من النوع K لأي${\displaystyle K\geq 0}$.

لو${\displaystyle g_{1}}$هي K- محدبة و${\displaystyle g_{2}}$إذا كانت L- محدبة، فـ${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta \geq 0,\;g=\alpha g_{1}+\beta g_{2}}$يكون${\displaystyle (\alpha K+\beta L)}$-محدب.

لو${\displaystyle g}$هي K- محدبة و${\displaystyle \xi }$متغير عشوائي بحيث${\displaystyle E|g(x-\xi )|<\infty }$للجميع${\displaystyle x}$، ثم${\displaystyle Eg(x-\xi )}$وهي أيضًا محدبة من النوع K.

لو${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$هي K- محدبة، تقييد لـ${\displaystyle g}$على أي مجموعة محدبة${\displaystyle \mathbb {D} \subset \mathbb {R} }$هي K- محدبة.

لو${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$هي دالة محدبة من الرتبة K متصلة و${\displaystyle g(y)\rightarrow \infty }$مثل${\displaystyle |y|\rightarrow \infty }$ثم هناك كميات الخروج${\displaystyle s}$و${\displaystyle S}$مع${\displaystyle s\leq S}$بحيث

• ${\displaystyle g(S)\leq g(y)}$للجميع${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$؛
• ${\displaystyle g(S)+K=g(s)<g(y)}$للجميع${\displaystyle y<s}$؛
• ${\displaystyle g(y)}$هي دالة متناقصة على${\displaystyle (-\infty ,s)}$؛
• ${\displaystyle g(y)\leq g(z)+K}$للجميع${\displaystyle y,z}$مع${\displaystyle s\leq y\leq z}$.