نظرية كاتشوروفسكي

في الرياضيات ، نظرية كاتشوروفسكي هي نظرية تربط تحدب دالة على فضاء باناخ برتابة مشتقة فريشيه الخاصة بها .

ليكن K مجموعة جزئية محدبة من فضاء باناخ V، ولتكن f  : K → R ∪ {+ ∞ } دالة حقيقية موسعة قابلة للتفاضل وفقًا لـ Fréchet، ومشتقتها d f ( x ) : V → R عند كل نقطة x في K. (في الواقع، d f ( x ) عنصر من الفضاء الثنائي المتصل V ^∗ ). عندئذٍ، تكون العبارات التالية متكافئة:         

• f دالة محدبة؛
• لكل x و y في K ،

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)(yx)\leq f(y)-f(x);}$

• d f هو مؤثر رتيب (متزايد)، أي أنه لجميع قيم x و y في K ،

${\displaystyle {\big (}\mathrm {d} f(x)-\mathrm {d} f(y){\big )}(xy)\geq 0.}$

• كاشوروفسكي، رود آيلاند (1960). “على العوامل الرتيبة والوظائف المحدبة”. أوسبيخي مات. ناوك . 15 (4): 213 – 215.
• شوالتر، رالف إي. (1997). المؤثرات الرتيبة في فضاء باناخ والمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية . سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية 49. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 80. ISBN  0-8218-0500-2.MR 1422252 (الاقتراح 7.4)