نافذة كايزر

نافذة كايزر ، والمعروفة أيضًا بنافذة كايزر-بيسل ، طُوِّرت بواسطة جيمس كايزر في مختبرات بيل . وهي عبارة عن عائلة من دوال النافذة ذات مُعامل واحد ، تُستخدم في تصميم مرشحات الاستجابة النبضية المحدودة والتحليل الطيفي . تُقارب نافذة كايزر نافذة DPSS التي تُعظِّم تركيز الطاقة في الفص الرئيسي ^{[ 1 ]} ، ولكن يصعب حسابها. ^{[ 2 ]}

نافذة كايزر وتحويل فورييه الخاص بها معطاة بالصيغة التالية :

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}{\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left(2x/L\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sin {\bigg (}{\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot {\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}}},}$ ^{[ 3 ] [ أ ]}

أين :

• I ₀ هي دالة بيسل المعدلة من الرتبة الصفريةمن النوع الأول،
• L هي مدة النافذة، و
• α هو عدد حقيقي غير سالب يحدد شكل النافذة. في مجال التردد، يحدد هذا العدد التوازن بين عرض الفص الرئيسي ومستوى الفصوص الجانبية، وهو قرار محوري في تصميم النافذة.
• في بعض الأحيان يتم تحديد نافذة كايزر بواسطة β ، حيث β = πα .

في معالجة الإشارات الرقمية ، يمكن أخذ عينات من الدالة بشكل متناظر كما يلي :

${\displaystyle w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(nN/2)\right)={\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad 0\leq n\leq N,}$

حيث يكون طول النافذة${\displaystyle N+1,}$ويمكن أن يكون N زوجيًا أو فرديًا. (انظر قائمة دوال النافذة )

في تحويل فورييه، يظهر أول انعدام بعد الفص الرئيسي عند${\displaystyle f={\tfrac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{L}},}$وهذا هو بالضبط${\displaystyle {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$بوحدات N ( فئات DFT ). مع ازدياد قيمة α ، يزداد عرض الفص الرئيسي، بينما يقل اتساع الفصوص الجانبية. α  =  0 يُقابل نافذة مستطيلة. بالنسبة لقيم α الكبيرة، يميل شكل نافذة كايزر (في كلٍ من المجال الزمني والترددي) إلى منحنى غاوسي . تُعد نافذة كايزر مثالية تقريبًا من حيث تركيز ذروتها حول التردد.${\displaystyle 0.}$^{[ 5 ]}

تُعدّ نافذة كايزر-بيسل المشتقة (KBD) إحدى دوال النافذة ذات الصلة ، وهي مصممة لتكون مناسبة للاستخدام مع تحويل جيب التمام المنفصل المعدل (MDCT). تُعرَّف دالة نافذة KBD بدلالة نافذة كايزر ذات الطول N + 1، وفقًا للصيغة التالية :

${\displaystyle d_{n}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{if}}0\leq n<N\\{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{2N-1-n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{if }}N\leq n\leq 2N-1\\0&{\mbox{خلاف ذلك}}.\\\end{الحالات}}}$

يُحدد هذا نافذة بطول 2N ، حيث يُحقق dn شرط برينسن _{-برادلي لـ MDCT (باستخدام حقيقة أن wN − n} = wn _{) :} dn² + ( dn ₊ N ) _{² =} 1 ⁽ مع تفسير ⁿ و _n + _N modulo 2N ) . نافذة KBD متناظرة _أيضًا بالطريقة المناسبة لـ MDCT _: dn ₌ d²N − ₁ − n _.    

• هاريس، فريدريك ج. (يناير 1978). "حول استخدام برنامج ويندوز لتحليل التوافقيات باستخدام تحويل فورييه المنفصل" (ملف PDF) . وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 66 (1): 73 (معادلة 46ب). CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi : 10.1109/PROC.1978.10837 . 
• كايزر، جيمس ف.؛ شيفر، رونالد و. (1980). "حول استخدام نافذة I ₀ -sinh لتحليل الطيف". معاملات IEEE في الصوتيات والكلام ومعالجة الإشارات . 28 : 105-107 . doi : 10.1109/TASSP.1980.1163349 .
• سميث، جيه أو (2011). "معالجة الإشارات الصوتية الطيفية، مقارنة بين نظامي Kaiser وDPSS Windows" . ccrma.stanford.edu . تاريخ الاسترجاع: 13 أبريل 2016 .
• "Kaiser Window, R2018b" . www.mathworks.com . Mathworks . تاريخ الاسترجاع: 20 مارس 2019 .