عدم المساواة في كاراماتا

في الرياضيات ، تُعرف متباينة كاراماتا ^{[ 1 ]} ، نسبةً إلى يوفان كاراماتا ^{[ 2 ]} ، أو متباينة التقريب ، بأنها نظرية في الجبر الابتدائي للدوال الحقيقية المحدبة والمقعرة، المعرفة على فترة من خط الأعداد الحقيقية. وهي تعمم الشكل المتقطع لمتباينة جنسن ، وتعمم بدورها مفهوم الدوال المحدبة شور .

بيان عدم المساواة

ليكن $I$ فترة من خط الأعداد الحقيقية ، ولتكن $f$ دالة حقيقية محدبة معرفة على $I.$ إذا كانت $x₁$ $,$ $\dots$ $,$ $xₙ$ و $y₁$ $, \dots,$ $yₙ$ $أعدادًا$ في $I$ بحيث يكون $($ $x₁$ $,$ … $,$ $xₙ$ $)$ أكبر $من$ $($ $y₁$ $,$ $\dots,$ $yₙ$ $)$ $،$ $فإن$

f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\geq f(y_{1})+\cdots +f(y_{n}).

1

هنا، تعني عملية الترتيب الجزئي أن $x1 ، ...، xn$ و $y1 ، ...، yn$ تحققان الشرط $التالي$ $:$

x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots \geq x_{n}

و

y_{1}\geq y_{2}\geq \cdots \geq y_{n},

2

ولدينا أوجه عدم المساواة

x_{1}+\cdots +x_{i}\geq y_{1}+\cdots +y_{i}

لكل

i \in {1, \dots, n - 1}

.

3

والمساواة

x_{1}+\cdots +x_{n}=y_{1}+\cdots +y_{n}

4

إذا كانت $f$ دالة محدبة تمامًا ، فإن المتباينة ( 1 ) تتحقق مع المساواة إذا وفقط إذا كان $y$ تبديلًا لـ $x$ .

حالة الترتيب الضعيف

$x\preceq _{w}y$ إذا وفقط إذا $\sum g\left(x_{i}\right)\leq \sum g\left(y_{i}\right)$ لأي دالة محدبة متزايدة باستمرار $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ [ ³^]

ملاحظات

إذا كانت الدالة المحدبة $f$ غير متناقصة ، فإن برهان ( 1 ) أدناه ومناقشة المساواة في حالة التحدب التام يُظهران أنه يمكن تبسيط المساواة ( 4 ) إلى
$x_{1}+\cdots +x_{n}\geq y_{1}+\cdots +y_{n}.$ 5
يتم عكس المتباينة ( 1 ) إذا كانت $f$ مقعرة ، لأنه في هذه الحالة تكون الدالة $-$ $f$ محدبة.

مثال

يُعد الشكل المحدود لمتباينة جنسن حالة خاصة من هذه النتيجة. لنعتبر الأعداد الحقيقية $x₁, \dots , xₙ \in I$ ولنفرض

a:={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

لنرمز إلى متوسطها الحسابي . عندئذٍ، $تُهيمن$ المجموعة $(x1, \dots, xn)$ $على$ المجموعة المرتبة $n-$ $(a1, a2, \dots,$ $a3)، لأن المتوسط الحسابي لأكبر i عدد في (x1, \dots, xn)$ $أكبر$ $من$ أو $يساوي$ المتوسط $الحسابي a لجميع الأعداد n ،$ لكل $i$ ∈ ${$ 1 $, \dots, n - 1}$ . وبحسب متباينة كاراماتا ( 1 ) للدالة المحدبة $f$ ،

f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\geq f(a)+f(a)+\cdots +f(a)=nf(a).

القسمة على $n$ تعطي متباينة جنسن. ويُعكس الإشارة إذا كانت $f$ دالة مقعرة.

إثبات المتباينة

يمكننا أن نفترض أن الأرقام مرتبة تنازليًا كما هو محدد في ( 2 ).

إذا كان $x i = y i$ لجميع $i \in {1, \dots, n}$ ، فإن المتباينة ( 1 ) تتحقق مع المساواة، وبالتالي يمكننا أن نفترض فيما يلي أن $x i \neq y i$ لواحد على الأقل من $i$ .

إذا كان $xᵢ = yᵢ$ لأي $i \in {1, \dots, n}$ $،$ فإن المتباينة ( 1 ) وخصائص الترتيب الجزئي ( $3$ ) و( $4$ ) لا تتأثر إذا حذفنا $xᵢ$ و $yᵢ$ $. لذا ،$ يمكننا افتراض أن $xᵢ$ $\neq$ $yᵢ لجميع$ i $\in$ ${1, \dots, n$ $}$ .

من خصائص الدوال المحدبة أنه بالنسبة لعددين $x \neq y$ في الفترة $I،$ يكون الميل

{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}

إنّ الخط القاطع المار بالنقطتين $(x, f (x))$ و $(y, f (y))$ من منحنى الدالة f هو دالة غير متناقصة بشكل رتيب $في$ x $عندما$ تكون $y$ ثابتة (والعكس صحيح ). وهذا يعني أن

c_{i+1}:={\frac {f(x_{i+1})-f(y_{i+1})}{x_{i+1}-y_{i+1}}}\leq {\frac {f(x_{i})-f(y_{i})}{x_{i}-y_{i}}}=:c_{i}

6

لكل $i \in {1, \dots, n - 1}$ . عرّف $A 0 = B 0 = 0$ و

A_{i}=x_{1}+\cdots +x_{i},\qquad B_{i}=y_{1}+\cdots +y_{i}

لكل $i \in {1, \dots, n}$ . وبحسب خاصية التقسيم ( 3 )، $فإن A i \geq B i$ لكل $i \in {1, \dots, n - 1}$ وبحسب ( 4 )، $فإن$ $An = B n$ . ومن ثم،

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\bigl (}f(x_{i})-f(y_{i}){\bigr )}&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x_{i}-y_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\bigl (}\underbrace {A_{i}-A_{i-1}} _{=\,x_{i}}{}-(\underbrace {B_{i}-B_{i-1}} _{=\,y_{i}}){\bigr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(A_{i}-B_{i})-\sum _{i=1}^{n}c_{i}(A_{i-1}-B_{i-1})\\&=c_{n}(\underbrace {A_{n}-B_{n}} _{=\,0})+\sum _{i=1}^{n-1}(\underbrace {c_{i}-c_{i+1}} _{\geq \,0})(\underbrace {A_{i}-B_{i}} _{\geq \,0})-c_{1}(\underbrace {A_{0}-B_{0}} _{=\,0})\\&\geq 0,\end{aligned}}

7

مما يثبت متباينة كاراماتا ( 1 ).

لمناقشة حالة المساواة في ( $1$ ) ، لاحظ أن $x₁ > y₁ وفقًا لـ$ ( $3$ ) وفرضيتنا $xᵢ \neq yᵢ$ لكل $i \in {1, \dots, n - 1}$ . ليكن $i$ أصغر دليل بحيث $(xᵢ, yᵢ) \neq (xᵢ₊₁, yᵢ₊₁) ،$ وهو ما يتحقق بفضل ( 4 ). عندئذٍ $Aᵢ > Bᵢ$ $.$ إذا كانت $f محدبة تمامًا$ $،$ فستكون هناك متباينة صارمة في ( 6 )، مما يعني أن $cᵢ₊₁$ $<$ $cᵢ .$ $وبالتالي$ $،$ $يوجد$ حد موجب تمامًا في المجموع على الجانب الأيمن من ( 7 ) $، ولا$ $يمكن$ $أن$ تتحقق المساواة في ( 1 $)$ .

إذا كانت الدالة المحدبة $f$ غير متناقصة، فإن $c n \geq 0.$ ويعني الشرط المُخفف ( 5 ) أن $A n \geq B n$ ، وهو ما يكفي للاستنتاج بأن $c n (A n - B n) \geq 0$ في الخطوة الأخيرة من ( 7 ).

إذا كانت الدالة $f$ محدبة تمامًا وغير متناقصة، فإن $c n > 0.$ يبقى فقط مناقشة الحالة $A n > B n$ . مع ذلك، يوجد حينها حد موجب تمامًا في الطرف الأيمن من المعادلة ( 7 )، ولا يمكن أن تتحقق المساواة في المعادلة ( 1 ).

مراجع

^ كاديلبرج، زوران. دوشان. لوكيتش، ميليفوي؛ ماتيتش، إيفان (2005)، “عدم المساواة في كاراماتا وشور ومويرهيد وبعض التطبيقات” (PDF) ، تدريس الرياضيات ، 8 (1): 31–45 ، ISSN 1451-4966
^ كاراماتا ، جوفان (1932) ، “Sur une inégalité نسبي aux fonctions convexes” (PDF) ، Publ. الرياضيات. جامعة. بلغراد (بالفرنسية)، 1 : 145- 148، زبل 0005.20101
↑ مارشال، ألبرت و.؛ أولكين، إنغرام؛ أرنولد، باري س. (2010)، "مقدمة" ، المتباينات: نظرية الترتيب الجزئي وتطبيقاتها ، نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك، ص 3-28 ، doi : 10.1007/978-0-387-68276-1_1 ، ISBN 978-0-387-40087-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يناير 2025

روابط خارجية

يمكن الاطلاع على شرح لمتباينة كاراماتا ونظرية الترتيب الجزئي هنا .

[1] كاديلبرج، زوران. دوشان. لوكيتش، ميليفوي؛ ماتيتش، إيفان (2005)، “عدم المساواة في كاراماتا وشور ومويرهيد وبعض التطبيقات” (PDF) ، تدريس الرياضيات ، 8 (1): 31–45 ، ISSN 1451-4966

[2] كاراماتا ، جوفان (1932) ، “Sur une inégalité نسبي aux fonctions convexes” (PDF) ، Publ. الرياضيات. جامعة. بلغراد (بالفرنسية)، 1 : 145- 148، زبل 0005.20101

[3] مارشال، ألبرت و.؛ أولكين، إنغرام؛ أرنولد، باري س. (2010)، "مقدمة" ، المتباينات: نظرية الترتيب الجزئي وتطبيقاتها ، نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك، ص 3-28 ، doi : 10.1007/978-0-387-68276-1_1 ، ISBN 978-0-387-40087-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يناير 2025

[ 1 ]

[ 2 ]

3

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	21 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗