معضلة كيلي

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات ، تنصّ مبرهنة كيلي على أنه بالنسبة لسلسلة ماركوف مستقرة ذات زمن مستمر ، فإنّ العملية المعرّفة بأنها العملية المعكوسة زمنيًا لها نفس التوزيع المستقر للعملية ذات الزمن الأمامي. [ 1 ] سُمّيت هذه المبرهنة نسبةً إلى فرانك كيلي . [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

إفادة

بالنسبة لسلسلة ماركوف ذات الزمن المستمر والتي تحتوي على فضاء حالة قابل للعد على الأكثرS{\displaystyle S}ومصفوفة معدل الانتقالسؤال{\displaystyle Q}(مع العناصر)qأناج{\displaystyle q_{ij}}) إذا استطعنا إيجاد مجموعة من الأعداد غير السالبةqأناج′{\displaystyle q_{ij}'}وقياس إيجابيπ{\displaystyle \pi }التي تستوفي الشروط التالية: [ 1 ]

∑ج∈Sqأناج=∑ج∈Sqأناج′∀أنا∈Sπأناqأناج=πجqجأنا′∀أنا،ج∈S،\begin{aligned}\sum_{j\in S}q_{ij}&=\sum_{j\in S}q'_{ij}\quad \forall i\in S\\\pi_{i}q_{ij}&=\pi_{j}q_{ji}'\quad \forall i,j\in S,\end{aligned}}}

ثمqأناج′{\displaystyle q_{ij}'}هذه هي معدلات العملية العكسية وπ{\displaystyle \pi }يتناسب مع التوزيع الثابت لكلا العمليتين.

دليل

بالنظر إلى الافتراضات التي تم وضعها بشأنqأناج{\displaystyle q_{ij}}وπ{\displaystyle \pi }لدينا

∑أنا∈Sπأناqأناج=∑أنا∈Sπجqجأنا′=πج∑أنا∈Sqجأنا′=πج∑أنا∈Sqجأنا=πج،{\displaystyle \sum _{i\in S}\pi _{i}q_{ij}=\sum _{i\in S}\pi _{j}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\in S}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\in S}q_{ji}=\pi _{j},}

وبذلك تتحقق معادلات التوازن العالمي، ويكون المقياسπ{\displaystyle \pi }يتناسب مع التوزيع الثابت للعملية الأصلية. وبالتماثل، تُظهر الحجة نفسها أنπ{\displaystyle \pi }وهي تتناسب أيضاً مع التوزيع الثابت للعملية المعكوسة.

مراجع

  1. 1 2 بوشيري، ريتشارد ج.؛ فان ديك، نيو مكسيكو (2011). شبكات الطابور: نهج أساسي . سبرينغر. ص.  222. ردمك 144196472X.
  2. ↑ كيلي، فرانك ب. (1979). الانعكاسية والشبكات العشوائية . جون وايلي. ص 22. ISBN  0471276014.
  3. ↑ والراند، جان (1988). مقدمة في شبكات الانتظار . برنتيس هول. ص 63 (الفرضية 2.8.5). ISBN  013474487X.
  4. ↑ كيلي، إف بي (1976). "شبكات الطوابير". التقدم في الاحتمالات التطبيقية . 8 (2): 416-432 . doi : 10.2307/1425912 . JSTOR 1425912 . 
  5. ↑ أسموسن، إس آر (2003). "عمليات القفز الماركوفية". الاحتمالات التطبيقية والطوابير . النمذجة العشوائية والاحتمالات التطبيقية. المجلد 51. الصفحات 39-59 . doi : 10.1007/0-387-21525-5_2 . ISBN   978-0-387-00211-8.