معادلة مارشينكو

الموسوعة الحرة

في الفيزياء الرياضية ، وتحديداً مسألة التشتت العكسي أحادي البعد ، يتم اشتقاق معادلة مارشينكو (أو معادلة جيلفاند-ليفيتان-مارشينكو أو معادلة GLM )، التي سميت على اسم إسرائيل جيلفاند وبوريس ليفيتان وفولوديمير مارشينكو ، عن طريق حساب تحويل فورييه لعلاقة التشتت:

ك(ر،ر′)+ز(ر،ر′)+∫ر∞ك(ر،ر′′)ز(ر′′،ر′)در′′=0{\displaystyle K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\int _{r}^{\infty }K(r,r^{\prime \prime })g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm {d} r^{\prime \prime }=0}

أينز(ر،ر′){\displaystyle g(r,r^{\prime })\,}هي نواة متناظرة ، بحيثز(ر،ر′)=ز(ر′،ر)،{\displaystyle g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),\,}والتي تُحسب من بيانات التشتت. وبحل معادلة مارشينكو، نحصل على نواة عامل التحويلك(ر،ر′){\displaystyle K(r,r^{\prime })}ومنها يمكن قراءة الجهد. هذه المعادلة مشتقة من معادلة جيلفاند-ليفيتان التكاملية ، باستخدام تمثيل بوفزنر-ليفيتان .

تطبيق على نظرية التشتت

لنفترض أن هناك جهدًاu(x){\displaystyle u(x)}بالنسبة لمشغل شرودنغرل=-د2دx2+u(x){\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x)}، لدى المرء بيانات التشتت(ر(ك)،{χ1،⋯،χشمال}){\displaystyle (r(k),\{\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}\})}، أينر(ك){\displaystyle r(k)}هي معاملات الانعكاس الناتجة عن التشتت المستمر، معطاة كدالةر:R→ج{\displaystyle r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }والمعايير الحقيقيةχ1،⋯،χشمال>0{\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}وهي من الطيف المحدود المنفصل. [ 1 ]

ثم تحديد F(x)=∑ن=1شمالβنهـ-χنx+12π∫Rر(ك)هـأناكxدك،{\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{N}\beta _{n}e^{-\chi _{n}x}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }r(k)e^{ikx}dk,} حيثβن{\displaystyle \beta _{n}}هي ثوابت غير صفرية، تحل معادلة GLM ك(x،y)+F(x+y)+∫x∞ك(x،z)F(z+y)دz=0{\displaystyle K(x,y)+F(x+y)+\int _{x}^{\infty }K(x,z)F(z+y)dz=0} لك{\displaystyle K}يسمح باستعادة الإمكانات باستخدام الصيغة u(x)=-2ددxك(x،x).{\displaystyle u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).}

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع