المصفوفة النموذجية

الموسوعة الحرة

في الجبر الخطي ، تُستخدم المصفوفة النموذجية في عملية التقطير التي تتضمن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية . [ 1 ]

وعلى وجه التحديد المصفوفة النموذجيةم{\displaystyle M}بالنسبة للمصفوفةأ{\displaystyle A}هي المصفوفة من الرتبة n × n التي تتكون من المتجهات الذاتية لـأ{\displaystyle A}كأعمدة فيم{\displaystyle M}يتم استخدامه في تحويل التشابه

د=م-1أم،{\displaystyle D=M^{-1}AM,}

أيند{\displaystyle D}هي مصفوفة قطرية من الرتبة n × n ذات قيم ذاتية منأ{\displaystyle A}على القطر الرئيسي لـد{\displaystyle D}وأصفار في أماكن أخرى. المصفوفةد{\displaystyle D}تُسمى المصفوفة الطيفية لـأ{\displaystyle A}يجب أن تظهر القيم الذاتية من اليسار إلى اليمين، ومن الأعلى إلى الأسفل، بنفس ترتيب ترتيب متجهاتها الذاتية المقابلة من اليسار إلى اليمين.م{\displaystyle M}[ 2 ]​

مثال

المصفوفة

أ=(320200102){\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}}

لها قيم ذاتية ومتجهات ذاتية مقابلة

λ1=-1،ب1=(-3،6،1)،{\displaystyle \lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),}
λ2=2،ب2=(0،0،1)،{\displaystyle \lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),}
λ3=4،ب3=(2،1،1).{\displaystyle \lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).}

مصفوفة قطريةد{\displaystyle D}، على غرارأ{\displaystyle A}يكون

د=(-100020004).{\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.}

أحد الخيارات الممكنة للمصفوفة القابلة للعكسم{\displaystyle M}بحيثد=م-1أم،{\displaystyle D=M^{-1}AM,}يكون

م=(-302601111).{\displaystyle M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.}[ 3 ]

لاحظ أن المتجهات الذاتية نفسها ليست فريدة، ولأن أعمدة كليهمام{\displaystyle M}ود{\displaystyle D}إذا أمكن استبدالها، فإن كلام{\displaystyle M}ود{\displaystyle D}ليست فريدة من نوعها. [ 4 ]

مصفوفة الوضع المعممة

يتركأ{\displaystyle A}لتكن مصفوفة من الرتبة n × n . مصفوفة نمطية معممةم{\displaystyle M}لأ{\displaystyle A}هي مصفوفة من الرتبة n × n ، تشكل أعمدتها، التي تُعتبر متجهات، أساسًا قانونيًا لـأ{\displaystyle A}وتظهر فيم{\displaystyle M}وفقًا للقواعد التالية:

  • تظهر جميع سلاسل جوردان المكونة من متجه واحد (أي متجه واحد في الطول) في الأعمدة الأولى منم{\displaystyle M}.
  • تظهر جميع متجهات سلسلة واحدة معًا في أعمدة متجاورة منم{\displaystyle M}.
  • تظهر كل سلسلة فيم{\displaystyle M}بترتيب تصاعدي للرتبة (أي أن المتجه الذاتي المعمم من الرتبة 1 يظهر قبل المتجه الذاتي المعمم من الرتبة 2 لنفس السلسلة، والذي يظهر بدوره قبل المتجه الذاتي المعمم من الرتبة 3 لنفس السلسلة، وهكذا). [ 5 ]

يمكن للمرء أن يثبت ذلك

أينج{\displaystyle J}هي مصفوفة في الصيغة الطبيعية لجوردان . بضربها من اليسار بـم-1{\displaystyle M^{-1}}، نحصل

لاحظ أنه عند حساب هذه المصفوفات، فإن المعادلة ( 1 ) هي الأسهل من بين المعادلتين للتحقق منها، لأنها لا تتطلب عكس المصفوفة. [ 6 ]

مثال

يوضح هذا المثال مصفوفة نمطية معممة بأربع سلاسل جوردان. لسوء الحظ، من الصعب بعض الشيء بناء مثال مثير للاهتمام من الرتبة المنخفضة. [ 7 ] المصفوفة

أ=(-10-111300100000212-1-1-60-20-1213000001000000010-1-101241){\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}}

لها قيمة ذاتية واحدةλ1=1{\displaystyle \lambda _{1}=1}مع التعدد الجبريμ1=7{\displaystyle \mu _{1}=7}أساس قانوني لـأ{\displaystyle A}سيتألف من متجه ذاتي معمّم مستقل خطيًا من الرتبة 3 (رتبة المتجه الذاتي المعمّم؛ انظر المتجه الذاتي المعمّم )، ومتجهين من الرتبة 2، وأربعة متجهات من الرتبة 1؛ أو بصورة مكافئة، سلسلة واحدة من ثلاثة متجهات{x3،x2،x1}{\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}سلسلة واحدة من متجهين{y2،y1}{\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}}وسلسلتين من متجه واحد{z1}{\displaystyle \left\{\mathbf {z} _{1}\right\}}،{w1}{\displaystyle \left\{\mathbf {w} _{1}\right\}}.

مصفوفة "شبه قطرية"ج{\displaystyle J}في الشكل الطبيعي الأردني ، على غرارأ{\displaystyle A}يتم الحصول عليها على النحو التالي:

م=(z1w1x1x2x3y1y2)=(01-100-210300100-1111020-20-100-2010000000100000000-10-10)،{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},}
ج=(1000000010000000110000001100000010000000110000001)،{\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},}

أينم{\displaystyle M}هي مصفوفة نمطية معممة لـأ{\displaystyle A}أعمدةم{\displaystyle M}تشكل أساسًا قانونيًا لـأ{\displaystyle A}، وأم=مج{\displaystyle AM=MJ}[ 8 ] لاحظ أنه بما أن المتجهات الذاتية المعممة نفسها ليست فريدة، وبما أن بعض أعمدة كليهمام{\displaystyle M}وج{\displaystyle J}إذا أمكن استبدالها، فإن كلام{\displaystyle M}وج{\displaystyle J}ليست فريدة من نوعها. [ 9 ]

ملحوظات

مراجع