المدار (نظرية التحكم)

يُعد مفهوم مدار نظام التحكم المستخدم في نظرية التحكم الرياضي حالة خاصة من مفهوم المدار في نظرية الزمر . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

يترك ${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$ كن${\displaystyle \ {\mathcal {C}}^{\infty }}$نظام التحكم، حيث ${\displaystyle {\ q}}$ ينتمي إلى مشعب ذي أبعاد محدودة${\displaystyle \ M}$و${\displaystyle \ u}$ينتمي إلى مجموعة تحكم${\displaystyle \ U}$ضع الأسرة في اعتبارك${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(\cdot ,u)\mid u\in U\}}$ وافترض أن كل حقل متجه في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مكتمل . لكل${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$وكل حقيقي${\displaystyle \ t}$، يُرمز إليه بـ${\displaystyle \ e^{tf}}$تدفق​​${\displaystyle \ f}$في ذلك الوقت${\displaystyle \ t}$.

مدار نظام التحكم${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$من خلال نقطة${\displaystyle q_{0}\in M}$هي المجموعة الفرعية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$ل${\displaystyle \ M}$محدد بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}=\{e^{t_{k}f_{k}}\circ e^{t_{k-1}f_{k-1}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}(q_{0})\mid k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} ,\ f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}\}.}$

ملاحظات

الفرق بين المدارات والمجموعات الممكنة هو أنه بينما لا يُسمح في المجموعات الممكنة إلا بالحركات الأمامية في الزمن، فإن المدارات تسمح بالحركات الأمامية والخلفية على حد سواء. على وجه الخصوص، إذا كانت العائلة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$متناظر (أي،${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle -f\in {\mathcal {F}}}$ثم تتطابق المدارات والمجموعات الممكنة.

الفرضية القائلة بأن كل حقل متجه من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يُبسّط هذا الأسلوب الكامل الرموز، لكن يمكن الاستغناء عنه. في هذه الحالة، يجب استبدال تدفقات حقول المتجهات بنسخ محلية منها.

كل مدار${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$هو مشعب فرعي مغمور من${\displaystyle \ M}$.

الفضاء المماسي للمدار ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$في نقطة${\displaystyle \ q}$هو الفضاء الخطي الفرعي من${\displaystyle \ T_{q}M}$تمتد بواسطة المتجهات${\displaystyle \ P_{*}f(q)}$أين${\displaystyle \ P_{*}f}$يشير إلى الدفع للأمام لـ${\displaystyle \ f}$بواسطة ${\displaystyle \ P}$،${\displaystyle \ f}$ينتمي إلى ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$و${\displaystyle \ P}$هو تماثل تفاضلي لـ${\displaystyle \ M}$من الشكل ${\displaystyle e^{t_{k}f_{k}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}}$مع${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} }$و${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}}$.

إذا كانت جميع حقول المتجهات للعائلة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إذا كانت تحليلية،${\displaystyle \ T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}=\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$أين${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$التقييم في${\displaystyle \ q}$من جبر لي الناتج عن${\displaystyle {\mathcal {F}}}$فيما يتعلق بقوس لي لحقول المتجهات . وإلا، فإن التضمين${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}\subset T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}}$صحيح.

لو${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=T_{q}M}$لكل${\displaystyle \ q\in M}$وإذا${\displaystyle \ M}$إذا كانت متصلة، فإن كل مدار يساوي الفضاء بأكمله${\displaystyle \ M}$.

• نظرية فروبينيوس (الطوبولوجيا التفاضلية)

• أغراتشيف، أندريه؛ ساتشكوف، يوري (2004). "نظرية المدار وتطبيقاتها" . نظرية التحكم من وجهة النظر الهندسية . برلين: سبرينغر. ص 63-80 . ISBN  3-540-21019-9.