دالة توزيع الأزواج

تصف دالة توزيع الأزواج توزيع المسافات بين أزواج الجسيمات الموجودة داخل حجم معين. ^{[ 1 ]} رياضياً، إذا كان a و b جسيمين، فإن دالة توزيع الأزواج لـ b بالنسبة إلى a ، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle g_{ab}({\vec {r}})}$هي احتمالية العثور على الجسيم b على مسافة${\displaystyle {\vec {r}}}$من نقطة ، مع اعتبار نقطة الأصل هي نقطة الأصل للإحداثيات.

تُستخدم دالة توزيع الأزواج لوصف توزيع الأجسام داخل وسط ما (على سبيل المثال، البرتقال في صندوق أو جزيئات النيتروجين في أسطوانة غاز ). إذا كان الوسط متجانسًا (أي أن كل موقع مكاني له خصائص متطابقة)، فإن احتمالية وجود جسم في أي موضع تكون متساوية.${\displaystyle {\vec {r}}}$:

${\displaystyle p({\vec {r}})=1/V}$،

أين${\displaystyle V}$يمثل حجم الحاوية. من جهة أخرى، فإن احتمال وجود أزواج من الأجسام في مواقع محددة (أي دالة كثافة الاحتمال لجسمين) ليس منتظمًا. على سبيل المثال، يجب أن يفصل بين زوج من الكرات الصلبة مسافة لا تقل عن قطر إحدى الكرتين. دالة توزيع الأزواج${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')}$يتم الحصول على ذلك عن طريق ضرب دالة كثافة الاحتمال لجسمين في العدد الإجمالي للأجسام${\displaystyle N}$وحجم الحاوية:

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')=p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}{\frac {N-1}{N}}}$.

في الحالة الشائعة حيث يكون عدد العناصر في الحاوية كبيرًا، يتبسط هذا إلى ما يلي:

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')\approx p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}}$.

تفترض أبسط دالة توزيع أزواج ممكنة أن جميع مواقع الكائنات مستقلة عن بعضها البعض، مما يعطي:

${\displaystyle g({\vec {r}})=1}$،

أين${\displaystyle {\vec {r}}}$المسافة بين جسمين. إلا أن هذا غير دقيق في حالة الأجسام الصلبة كما ذُكر سابقًا، لأنه لا يأخذ في الحسبان الحد الأدنى للمسافة المطلوبة بين الأجسام. يوفر تقريب تصحيح الثقوب (HC) نموذجًا أفضل.

${\displaystyle g(r)={\begin{cases}0,&r<b,\\1,&r\geq {}b\end{cases}},}$

أين${\displaystyle b}$يمثل قطر أحد الأجسام.

على الرغم من أن تقريب HC يُعطي وصفًا معقولًا للأجسام المتباعدة، إلا أنه يفشل في حالة التراص الكثيف. يمكن توضيح ذلك بتخيل صندوق مملوء تمامًا بكرات صلبة متطابقة بحيث تلامس كل كرة جيرانها. في هذه الحالة، يفصل بين كل زوج من الكرات في الصندوق مسافة محددة بدقة${\displaystyle r=nb}$أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح موجب. وبالتالي، فإن توزيع الأزواج لحجم مملوء بالكامل بكرات صلبة هو مجموعة من دوال ديراك دلتا على الشكل التالي:

${\displaystyle g(r)=\sum \limits _{i}\delta (r-ib)}$.

وأخيرًا، تجدر الإشارة إلى أن زوجًا من الأجسام يفصل بينهما مسافة كبيرة لا يؤثران على موضع بعضهما البعض (شريطة ألا يكون الوعاء ممتلئًا تمامًا). لذلك،

${\displaystyle \lim \limits _{r\to \infty }g(r)=1}$.

بشكل عام، ستتخذ دالة توزيع الأزواج شكلاً ما بين النموذج ذي التعبئة المتفرقة (تقريب HC) والنموذج ذي التعبئة الكثيفة (دالة دلتا)، وذلك اعتمادًا على كثافة التعبئة.${\displaystyle f}$.

تُعدّ دالة التوزيع الشعاعي ذات أهمية عملية خاصة ، فهي مستقلة عن الاتجاه. وتُمثّل هذه الدالة وصفًا رئيسيًا للبنية الذرية للمواد غير المتبلورة (كالزجاج والبوليمرات) والسوائل. ويمكن حساب دالة التوزيع الشعاعي مباشرةً من القياسات الفيزيائية، مثل تشتت الضوء أو حيود مسحوق الأشعة السينية، عن طريق إجراء تحويل فورييه .

في الميكانيكا الإحصائية، تُعطى دالة التوزيع الشعاعي (RDF) بالصيغة التالية:

$//$

• طريقة السلسلة المتشابكة للخريطة الكلاسيكية

فيشر كولبري، بينينستوك، فوس، ماركوس. فيز. القس ب (1988) 38، 12388

جنسن، كم، بيلينج، SJ (2015). الاتحاد الدولي لأبحاث السرطان، 2(5)، 481-489.