شبه مشتق

في الرياضيات ، يُعدّ شبه المشتق أحد التعميمات العديدة لمشتقة دالة بين فضاءين من فضاءات باناخ . وهو نسخة أقوى قليلاً من مشتقة جاتو ، وإن كانت أضعف من مشتقة فريشيه .

لتكن f دالة متصلة من مجموعة مفتوحة A في فضاء باناخ E إلى فضاء باناخ آخر F. عندئذٍ ،  يكون شبه مشتق f عند x₀ _∈ A تحويلاً خطياً u : E → F بالخاصية التالية: لكل دالة متصلة g : [0,1] → A بحيث g ( 0 ) = x₀ و g ′ (0 ₎ ∈ E ،  

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(g(t))-f(x_{0})}{t}}=u(g'(0)).}$

إذا كان مثل هذا التطبيق الخطي u موجودًا، فإن f يقال إنه شبه قابل للتفاضل عند x ₀ .

لا يُشترط افتراض استمرارية الدالة u ، بل تُستنتج من تعريف شبه المشتقة. إذا كانت f قابلة للتفاضل وفقًا لـ Fréchet عند x₀ _، فبحسب قاعدة السلسلة ، تكون f أيضًا قابلة للتفاضل وفقًا لـ شبه المشتقة، وتكون شبه مشتقتها مساوية لمشتقة Fréchet عند x₀ _. ويصح العكس بشرط أن يكون الفضاء E محدود الأبعاد. أخيرًا، إذا كانت f قابلة للتفاضل وفقًا لـ شبه المشتقة، فإنها تكون قابلة للتفاضل وفقًا لـ Gateaux، وتكون مشتقة Gateaux مساوية لشبه مشتقتها.

• ديودونيه، ج (1969). أسس التحليل الحديث . دار النشر الأكاديمية.