معيار النطاق

بشكل عام، إذا كانت المصفوفة M على الشكل${\displaystyle M=\sum _{i}v_{i}v_{i}^{*}}$، يقع مدى M ، Ran(M) ، ضمن الامتداد الخطي لـ${\displaystyle \;\{v_{i}\}}$من ناحية أخرى، يمكننا أيضًا أن نوضح${\displaystyle v_{i}}$يقع في Ran(M) ، لكل i . لنفترض، دون فقدان للعمومية، أن i = 1. يمكننا كتابة ${\displaystyle M=v_{1}v_{1}^{*}+T}$حيث T هيرميتية وشبه موجبة. هناك احتمالان:

1) مدى${\displaystyle \{v_{1}\}\subset }$Ker(T) . من الواضح، في هذه الحالة،${\displaystyle v_{1}\in }$Ran(M) .

2) ملاحظة 1) صحيحة إذا وفقط إذا كان Ker(T)${\displaystyle \;^{\perp }\subset }$فترة${\displaystyle \{v_{1}\}^{\perp }}$، أين${\displaystyle \perp }$يرمز إلى المتمم المتعامد. وبحسب خاصية الهرميتية لـ T ، فإن هذا يكافئ Ran(T).${\displaystyle \subset }$فترة${\displaystyle \{v_{1}\}^{\perp }}$إذا لم يتحقق الشرط 1)، فإن التقاطع Ran(T)${\displaystyle \cap }$فترة${\displaystyle \{v_{1}\}}$غير فارغة، أي يوجد عدد مركب α بحيث${\displaystyle \;Tw=\alpha v_{1}}$. لذا

${\displaystyle Mw=\langle w,v_{1}\rangle v_{1}+Tw=(\langle w,v_{1}\rangle +\alpha )v_{1}.}$

لذلك${\displaystyle v_{1}}$يقع في ران (م) .

وبالتالي فإن Ran(M) يتطابق مع المدى الخطي لـ${\displaystyle \;\{v_{i}\}}$يُعد معيار النطاق حالة خاصة من هذه الحقيقة.

تكون مصفوفة الكثافة ρ المؤثرة على H قابلة للفصل إذا وفقط إذا أمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\psi _{1,i}\psi _{1,i}^{*}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}\psi _{n,i}^{*}}$

أين${\displaystyle \psi _{j,i}\psi _{j,i}^{*}}$هي حالة نقية (غير مُعَيَّرة) على النظام الفرعي j . وهي أيضًا

${\displaystyle \rho =\sum _{i}(\psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i})(\psi _{1,i}^{*}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}^{*}).}$

لكن هذا هو نفس شكل M المذكور أعلاه تمامًا، مع حالة الضرب الاتجاهي${\displaystyle \psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}}$استبدال${\displaystyle v_{i}}$ويترتب على ذلك مباشرةً أن مدى ρ هو المدى الخطي لحالات الضرب هذه. وهذا يثبت المعيار.