قاعدة سكوت

قاعدة سكوت هي طريقة لاختيار عدد الفئات في المدرج التكراري . ^{[ 1 ]} تُستخدم قاعدة سكوت على نطاق واسع في برامج تحليل البيانات ، بما في ذلك لغة R ، ^{[ 2 ]} ولغة بايثون، ^{[ 3 ]} وبرنامج مايكروسوفت إكسل، حيث تُعتبر الطريقة الافتراضية لاختيار الفئات. ^{[ 4 ]}

لمجموعة من${\displaystyle n}$الملاحظات${\displaystyle x_{i}}$يترك${\displaystyle {\hat {f}}(x)}$لتكن تقريب المدرج التكراري لدالة ما${\displaystyle f(x)}$. متوسط ​​الخطأ التربيعي المتكامل (IMSE) هو

${\displaystyle {\text{IMSE}}=E\left[\int _{-\infty }^{\infty }dx({\hat {f}}(x)-f(x))^{2}\right]}$

أين${\displaystyle E[\cdot ]}$يشير إلى التوقع عبر العديد من عمليات السحب المستقلة لـ${\displaystyle n}$نقاط البيانات. بواسطة توسيع تايلور إلى الدرجة الأولى في${\displaystyle h}$أظهر سكوت أن العرض الأمثل للفئة هو

${\displaystyle h^{*}=\left(6/\int _{-\infty }^{\infty }f'(x)^{2}dx\right)^{1/3}n^{-1/3}}$

وتُعد هذه الصيغة أيضاً أساساً لقاعدة فريدمان-دياكونيس .

بافتراض أن المرجع طبيعي${\displaystyle f(x)}$هو توزيع طبيعي ، معادلة لـ${\displaystyle h^{*}}$يصبح

${\displaystyle h^{*}=\left(24{\sqrt {\pi }}\right)^{1/3}\sigma n^{-1/3}\sim 3.5\sigma n^{-1/3}}$

أين${\displaystyle \sigma }$يمثل الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي ويتم تقديره من البيانات. باستخدام هذه القيمة لعرض الفئة، يوضح سكوت أن ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\text{IMSE}}\propto n^{-2/3}}$

يوضح مدى سرعة اقتراب تقريب المدرج التكراري من التوزيع الحقيقي مع زيادة عدد العينات.

وهناك نهج آخر طوره تيريل وسكوت ^{[ 6 ]} يعتمد على الملاحظة التي تفيد بأنه، من بين جميع الكثافات${\displaystyle g(x)}$معرفة على فترة مضغوطة ، على سبيل المثال${\displaystyle |x|<1/2}$، مع مشتقات متصلة تمامًا ، الكثافة التي تقلل${\displaystyle \int _{\infty }^{\infty }dx(g^{(k)}(x))^{2}}$يكون

${\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {(2k+1)!}{2^{2k}(k!)^{2}}}(1-4x^{2})^{k},\quad &|x|\leq 1/2\\0&|x|>1/2\end{cases}}}$

استخدام هذا مع${\displaystyle k=1}$في التعبير عن${\displaystyle h^{*}}$يُعطي حدًا أعلى لقيمة عرض الفئة وهو

${\displaystyle h_{TS}^{*}=\left({\frac {4}{n}}\right)^{1/3}.}$

لذا، بالنسبة للدوال التي تحقق شروط الاستمرارية، على الأقل

${\displaystyle k_{TS}={\frac {b-a}{h^{*}}}=\left(2n\right)^{1/3}}$

ينبغي استخدام صناديق القمامة. ^{[ 7 ]}

تُعرف هذه القاعدة أيضًا باسم قاعدة التنعيم المفرط ^{[ 7 ]} أو قاعدة رايس ^{[ 8 ]} ، وذلك لأن كلا المؤلفين عملا في جامعة رايس . غالبًا ما تُذكر قاعدة رايس مع وجود العامل 2 خارج الجذر التكعيبي .${\displaystyle 2\left(n\right)^{1/3}}$ويمكن اعتبارها قاعدة مختلفة. ويكمن الاختلاف الرئيسي بينها وبين قاعدة سكوت في أن هذه القاعدة لا تفترض أن البيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا، وأن عرض الفئة يعتمد فقط على عدد العينات، وليس على أي من خصائص البيانات.

على العموم${\displaystyle \left(2n\right)^{1/3}}$ليس عددًا صحيحًا ، لذا${\displaystyle \lceil \left(2n\right)^{1/3}\rceil }$يُستخدم حيث${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$يرمز إلى دالة السقف .