تخمين الأخت بيتر

في الرياضيات، تُعرف حدسية الأخت بيتر بأنها حدسية تتعلق بحجم معاملات كثيرات الحدود الدائرية الثلاثية (أي عندما يكون الدليل هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد أولية). وقد سُميت نسبةً إلى ماريون بيتر ، وهي راهبة كاثوليكية اقترحتها لأول مرة عام 1968. ^{[ 1 ]}

ل${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>0}}$المعامل الأقصى (بالقيمة المطلقة) لكثير الحدود الدائري${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle A(n)}$.

يترك${\displaystyle 3\leq p\leq q\leq r}$لتكن ثلاثة أعداد أولية. في هذه الحالة، تكون كثيرة الحدود الدائرية${\displaystyle \Phi _{pqr}(x)}$يُطلق عليه اسم النظام الثلاثي . في عام 1895، أثبت أ. س. بانغ ^{[ 2 ] أن}${\displaystyle A(pqr)\leq p-1}$وهذا يستلزم وجود${\displaystyle M(p):=\max \limits _{p\leq q\leq r{\text{ prime}}}A(pqr)}$بحيث${\displaystyle 1\leq M(p)\leq p-1}$.

افترضت الأخت بيتر ^{[ 1 ]} في عام 1968 أن${\displaystyle M(p)\leq {\frac {p+1}{2}}}$وقد تم دحض هذا لاحقًا، ولكن تم طرح فرضية مصححة للأخت بيتر على النحو التالي:${\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p}$.

تشرح دراسة أولية ^{[ 3 ]} من عام 2023 التاريخ بالتفصيل وتدعي إثبات هذه الفرضية المصححة. وتدعي صراحةً إثبات $${\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p{\text{ و }}\lim \limits _{p\rightarrow \infty }{\frac {M(p)}{p}}={\frac {2}{3}}.}$$