الزمكان الثابت

في النسبية العامة ، وتحديداً في معادلات أينشتاين للمجال ، يقال إن الزمكان ثابت إذا كان يقبل متجه كيلينج الذي يكون مقاربًا للزمن . ^{[ 1 ]}

في فضاء-زمن ثابت، تكون مكونات موتر القياس،${\displaystyle g_{\mu \nu }}$يمكن اختيارها بحيث تكون جميعها مستقلة عن إحداثيات الزمن. عنصر الخط في الزمكان الثابت له الشكل التالي:${\displaystyle (i,j=1,2,3)}$

${\displaystyle ds^{2}=\lambda (dt-\omega _{i}\,dy^{i})^{2}-\lambda ^{-1}h_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j},}$

أين${\displaystyle t}$هو إحداثي الوقت،${\displaystyle y^{i}}$هي الإحداثيات المكانية الثلاث و${\displaystyle h_{ij}}$هو موتر القياس للفضاء ثلاثي الأبعاد. في نظام الإحداثيات هذا، حقل متجه كيلينغ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$يحتوي على المكونات${\displaystyle \xi ^{\mu }=(1,0,0,0)}$.${\displaystyle \lambda }$هو عدد قياسي موجب يمثل معيار متجه كيلينغ، أي${\displaystyle \lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }}$، و${\displaystyle \omega _{i}}$هو متجه ثلاثي الأبعاد، يُسمى متجه الالتواء، والذي يتلاشى عندما يكون متجه كيلينغ متعامدًا مع السطح الفائق. وينشأ الأخير كمكونات مكانية لمتجه الالتواء رباعي الأبعاد.${\displaystyle \omega _{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }}$(انظر، على سبيل المثال، ^{[ 2 ]} صفحة  163) وهو متعامد مع متجه كيلينغ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$أي أنه يفي بالغرض${\displaystyle \omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0}$يقيس متجه الالتواء مدى عدم تعامد متجه كيلينغ مع مجموعة من الأسطح ثلاثية الأبعاد. يشير الالتواء غير الصفري إلى وجود دوران في هندسة الزمكان.

للتمثيل الإحداثي الموصوف أعلاه تفسير هندسي مثير للاهتمام. ^{[ 3 ]} يُولّد متجه كيلينغ للإزاحة الزمنية مجموعة حركة ذات مُعامل واحد${\displaystyle G}$في الزمكان${\displaystyle M}$من خلال تحديد نقاط الزمكان التي تقع على مسار معين (يسمى أيضًا مدارًا) نحصل على فضاء ثلاثي الأبعاد (متعدد مسارات كيلينج).${\displaystyle V=M/G}$، فضاء القسمة. كل نقطة من${\displaystyle V}$يمثل مسارًا في الزمكان${\displaystyle M}$. هذا التحديد، الذي يُطلق عليه اسم الإسقاط المتعارف عليه،${\displaystyle \pi :M\rightarrow V}$هي عملية رسم خرائط ترسل كل مسار في${\displaystyle M}$إلى نقطة في${\displaystyle V}$ويؤدي إلى مقياس${\displaystyle h=-\lambda \pi *g}$على${\displaystyle V}$عن طريق التراجع. الكميات${\displaystyle \lambda }$،${\displaystyle \omega _{i}}$ و${\displaystyle h_{ij}}$جميع الحقول موجودة${\displaystyle V}$وبالتالي فهي مستقلة عن الزمن. ومن ثم، فإن هندسة الزمكان الثابت لا تتغير بمرور الزمن. في الحالة الخاصة${\displaystyle \omega _{i}=0}$يُقال إن الزمكان ثابت . وبحسب التعريف، فإن كل زمكان ثابت يكون مستقراً، لكن العكس ليس صحيحاً بشكل عام، حيث أن مقياس كير يقدم مثالاً مضاداً.

في فضاء-زمن ثابت يحقق معادلات أينشتاين للفراغ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$خارج المصادر، متجه الالتواء 4${\displaystyle \أوميغا _{\mu }}$خالٍ من التجعيد،

${\displaystyle \nabla _{\mu }\omega _{\nu }-\nabla _{\nu }\omega _{\mu }=0,\,}$

وبالتالي فهو محليًا تدرج كمية قياسية${\displaystyle \omega }$(يسمى الكمية القياسية الملتوية):

${\displaystyle \omega _{\mu }=\nabla _{\mu }\omega .\,}$

بدلاً من الكميات القياسية${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \omega }$من الأنسب استخدام جهدي هانسن، وهما جهد الكتلة وجهد الزخم الزاوي.${\displaystyle \Phi _{M}}$و${\displaystyle \Phi _{J}}$، كما هو مُعرَّف ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \Phi _{M}={\frac {1}{4}}\lambda ^{-1}(\lambda ^{2}+\omega ^{2}-1),}$

${\displaystyle \Phi _{J}={\frac {1}{2}}\lambda ^{-1}\omega .}$

في النسبية العامة، جهد الكتلة${\displaystyle \Phi _{M}}$يلعب دور جهد الجاذبية النيوتوني. جهد زخم زاوي غير تافه${\displaystyle \Phi _{J}}$ينشأ هذا المجال المغناطيسي الجاذبي في المصادر الدوارة نتيجةً للطاقة الحركية الدورانية، والتي، بفضل مبدأ تكافؤ الكتلة والطاقة ، يمكن أن تعمل أيضًا كمصدر للمجال الجاذبي. يشبه هذا الوضع المجال الكهرومغناطيسي الساكن، حيث توجد مجموعتان من الكمونات: الكهربائية والمغناطيسية. في النسبية العامة، تُنتج المصادر الدوارة مجالًا جاذبيًا مغناطيسيًا لا نظير له في قوانين نيوتن.

وبالتالي، يمكن التعبير عن مقياس الفراغ الثابت بدلالة كمونات هانسن.${\displaystyle \Phi _{A}}$(${\displaystyle A=M}$،${\displaystyle J}$) والقياس الثلاثي${\displaystyle h_{ij}}$. من حيث هذه الكميات، يمكن وضع معادلات مجال الفراغ لأينشتاين في الشكل ^{[ 4 ]}

${\displaystyle (h^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}-2R^{(3)})\Phi _{A}=0,\,}$

${\displaystyle R_{ij}^{(3)}=2[\nabla _{i}\Phi _{A}\nabla _{j}\Phi _{A}-(1+4\Phi ^{2})^{-1}\nabla _{i}\Phi ^{2}\nabla _{j}\Phi ^{2}],}$

أين${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi _{A}\Phi _{A}=(\Phi _{M}^{2}+\Phi _{J}^{2})}$، و${\displaystyle R_{ij}^{(3)}}$هو موتر ريتشي للمقياس المكاني و${\displaystyle R^{(3)}=h^{ij}R_{ij}^{(3)}}$الكمية القياسية المقابلة لريتشي. تشكل هذه المعادلات نقطة انطلاق لدراسة المقاييس الفراغية الثابتة الدقيقة.

• الزمكان الساكن
• الزمكان المتناظر كرويًا