نظرية المماس والقاطع

الموسوعة الحرة
بدءًا من نظرية القطعة البديلة ، ⟹∠Pجي2تي=∠Pتيجي1⟹△Pتيجي2∼△Pجي1تي⟹|Pتي||Pجي2|=|Pجي1||Pتي|⟹|Pتي|2=|Pجي1|⋅|Pجي2|\displaystyle \begin{array}{cl}\implies &\angle PG_{2}T=\angle PTG_{1}\\[4pt]\implies &\triangle PTG_{2}\sim \triangle PG_{1}T\\[4pt]\implies &{\frac {|PT|}{|PG_{2}|}}={\frac {|PG_{1}|}{|PT|}}\\[2pt]\implies &|PT|^{2}=|PG_{1}|\cdot |PG_{2}|\end{array}}}

في الهندسة الإقليدية ، تصف نظرية المماس والقاطع العلاقة بين القطع المستقيمة الناتجة عن قاطع ومماس مع الدائرة المقابلة . هذه النتيجة موجودة في القضية رقم 36 من الكتاب الثالث من كتاب الأصول لإقليدس .

بفرض وجود قاطع g يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين G1 و G2 ومماس t يتقاطع مع الدائرة عند النقطة T ، وبفرض أن g و t يتقاطعان عند النقطة P ، فإن المعادلة التالية صحيحة:

|Pتي|2=|Pجي1|⋅|Pجي2|{\displaystyle |PT|^{2}=|PG_{1}|\cdot |PG_{2}|}

يمكن إثبات نظرية المماس والقاطع باستخدام المثلثات المتشابهة (انظر الرسم البياني).

مثل نظرية الأوتار المتقاطعة ونظرية القواطع المتقاطعة ، تمثل نظرية المماس والقاطع إحدى الحالات الأساسية الثلاث لنظرية أكثر عمومية حول خطين متقاطعين ودائرة، وهي نظرية قوة النقطة .

مراجع

  • إس. غوتوالد: موسوعة VNR الموجزة للرياضيات . سبرينغر، 2012، ISBN 9789401169820، الصفحات 175-176
  • مايكل ل. أوليري: ثورات في الهندسة . وايلي، 2010، رقم ISBN 9780470591796، ص 161
  • شولردودن - الرياضيات الأول . معهد الببليوغرافيا وFA بروكهاوس، 8. أوفلاج، مانهايم 2008، ISBN 978-3-411-04208-1، الصفحات  415-417 (بالألمانية)