معادلة توماس فيرمي

في الرياضيات ، معادلة توماس فيرمي للذرة المحايدة هي معادلة تفاضلية عادية غير خطية من الدرجة الثانية ، سميت على اسم لويلين توماس وإنريكو فيرمي ، ^{[1] [2]} والتي يمكن اشتقاقها من خلال تطبيق نموذج توماس فيرمي على الذرات. تنص المعادلة على:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}y^{3/2}}$

تخضع لشروط الحدود ^[3]

${\displaystyle y(0)=1,\quad \quad {\begin{cases}y(\infty )=0\quad {\text{للذرات المحايدة}}\\y(x_{0})=0\quad {\text{للأيونات الموجبة}}\\y(x_{1})-x_{1}y'(x_{1})=0\quad {\text{للذرات المحايدة المضغوطة}}\end{cases}}}$

إذا اقتربت من الصفر كما تصبح كبيرة، فإن هذه المعادلة تحاكي توزيع شحنة الذرة المحايدة كدالة لنصف القطر . الحلول حيث تصبح صفرًا عند نموذج الأيونات الموجبة المحدودة. ^[4] بالنسبة للحلول حيث تصبح كبيرة وموجبة كما تصبح كبيرة، يمكن تفسيرها على أنها نموذج للذرة المضغوطة، حيث يتم ضغط الشحنة في مساحة أصغر. في هذه الحالة تنتهي الذرة عند قيمة حيث . ^{[5] [6]}${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle dy/dx=y/x}$

يؤدي تقديم التحويل إلى تحويل المعادلة إلى ${\displaystyle z=y/x}$

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}{\frac {d}{dx}}\left(x^{2}{\frac {dz}{dx}}\right)-z^{3/2}=0}$

هذه المعادلة تشبه معادلة لين-إمدن ذات مؤشر متعدد الأشكال باستثناء اختلاف الإشارة. المعادلة الأصلية ثابتة تحت التحويل . وبالتالي، يمكن جعل المعادلة متساوية الأبعاد عن طريق إدخالها في المعادلة، مما يؤدي إلى ${\displaystyle 3/2}$${\displaystyle x\rightarrow cx,\y\rightarrow c^{-3}y}$${\displaystyle y=x^{-3}u}$

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-6x{\frac {du}{dx}}+12u=u^{3/2}}$

بحيث يؤدي الاستبدال إلى تقليل المعادلة إلى ${\displaystyle x=e^{t}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-7{\frac {du}{dt}}+12u=u^{3/2}.}$

بمعاملة المتغير التابع والمتغير المستقل، يمكننا تقليص المعادلة أعلاه إلى ${\displaystyle w=du/dt}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle w{\frac {dw}{du}}-7w=u^{3/2}-12u.}$

لكن هذه المعادلة من الدرجة الأولى ليس لها حل صريح معروف، وبالتالي يتجه النهج إلى الأساليب العددية أو التقريبية.

المعادلة لها حل خاص ، والذي يلبي الشرط الحدودي حيث ، ولكن ليس الشرط الحدودي y (0)=1. هذا الحل الخاص هو ${\displaystyle y_{p}(x)}$${\displaystyle y\rightarrow 0}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

${\displaystyle y_{p}(x)={\frac {144}{x^{3}}}.}$

استخدم أرنولد سومرفيلد هذا الحل المعين وقدم حلاً تقريبيًا يمكنه تلبية الشرط الحدودي الآخر في عام 1932. ^[7] إذا تم تقديم التحويل ، تصبح المعادلة ${\displaystyle x=1/t,\ w=yt}$

${\displaystyle t^{4}{\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}=w^{3/2},\quad w(0)=0,\ w(\infty )\sim t.}$

الحل الخاص في المتغير المحول هو إذن . لذا نفترض حلاً من النموذج وإذا تم استبداله في المعادلة أعلاه وتم مساواة معاملات ، نحصل على القيمة لـ ، والتي تعطى بواسطة جذور المعادلة . الجذران هما ، حيث نحتاج إلى أخذ الجذر الموجب لتجنب التفرد في الأصل. هذا الحل يلبي بالفعل الشرط الحدودي الأول ( )، لذا، لتلبية الشرط الحدودي الثاني، نكتب بنفس مستوى الدقة لأي قيمة عشوائية${\displaystyle w_{p}(t)=144t^{4}}$${\displaystyle w=w_{p}(1+\alpha t^{\lambda })}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ^{2}+7\lambda -6=0}$${\displaystyle \lambda _{1}=0.772,\ \lambda _{2}=-7.772}$${\displaystyle w(0)=0}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle W=w_{p}(1+\beta t^{\lambda })^{n}=[144t^{3}(1+\beta t^{\lambda })^{n}]t.}$

سيتم استيفاء الشرط الحدودي الثاني إذا كان . يتم استيفاء هذا الشرط إذا و بما أن ، وجد سومرفيلد التقريب على أنه . وبالتالي، فإن الحل التقريبي هو ${\displaystyle 144t^{3}(1+\beta t^{\lambda })^{n}=144t^{3}\beta ^{n}t^{\lambda n}(1+\beta ^{-1}t^{-\lambda })^{n}\sim 1}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$${\displaystyle \lambda n+3=0,\ 144\beta ^{n}=1}$${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=-6}$${\displaystyle \lambda =\lambda _{1},\ n=-3/\lambda _{1}=\lambda _{2}/2}$

${\displaystyle y(x)=y_{p}(x)\{1+[y_{p}(x)]^{\lambda _{1}/3}\}^{\lambda _{2}/2}.}$

يتنبأ هذا الحل بالحل الصحيح بدقة بالنسبة إلى الكبير ، لكنه لا يزال يفشل بالقرب من الأصل. ${\displaystyle x}$

قدم إنريكو فيرمي ^[8] الحل لـ وتم توسيعه لاحقًا بواسطة إدوارد ب. بيكر. ^[9] وبالتالي، بالنسبة لـ ، ${\displaystyle x\ll 1}$${\displaystyle x\ll 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)={}&1-Bx+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {2B}{15}}x^{4}+\cdots {}\\[6pt]&\cdots +x^{3/2}\left[{\frac {4}{3}}-{\frac {2B}{5}}x+{\frac {3B^{2}}{70}}x^{2}+\left({\frac {2}{27}}+{\frac {B^{3}}{252}}\right)x^{3}+\cdots \right]\end{aligned}}}$

أين . ^{[10] [11]}${\displaystyle B\approx 1.588071}$

أفاد سالفاتوري إسبوزيتو ^[12] أن الفيزيائي الإيطالي إيتوري ماجورانا وجد في عام 1928 حلاً متسلسلاً شبه تحليلي لمعادلة توماس فيرمي للذرة المحايدة، والذي ظل غير منشور حتى عام 2001. باستخدام هذا النهج، من الممكن حساب الثابت B المذكور أعلاه بدقة عالية تعسفية عمليًا؛ على سبيل المثال، قيمته إلى 100 رقم هي . ${\displaystyle B=1.588071022611375312718684509423950109452746621674825616765677418166551961154309262332033970138428665}$