مسافة التباين الكلي لمقاييس الاحتمالية

ترتبط مسافة التباين الكلية بتباعد كولباك-لايبير من خلال متباينة بينسكر :

${\displaystyle \delta (P,Q)\leq {\sqrt {{\frac {1}{2}}D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}.}$

لدينا أيضًا المتباينة التالية، التي تعود إلى بريتانيول وهوبر ^{[ 2 ]} (انظر أيضًا ^{[ 3 ]} )، والتي تتميز بتقديم حد غير فارغ حتى عندما${\displaystyle \textstyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)>2\colon }$

${\displaystyle \delta (P,Q)\leq {\sqrt {1-e^{-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}}.}$

المسافة الكلية للتغير هي نصف مسافة L ¹ بين دوال الاحتمال: في المجالات المنفصلة، ​​هذه هي المسافة بين دوال كتلة الاحتمال ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\sum _{x}|P(x)-Q(x)|,}$

وعندما يكون للتوزيعات دوال كثافة احتمالية قياسية p و q ، ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\int |p(x)-q(x)|\,\mathrm {d} x}$

(أو المسافة المماثلة بين مشتقات رادون-نيكوديم مع أي مقياس مهيمن مشترك ). يمكن إثبات هذه النتيجة بملاحظة أن القيمة العليا في التعريف تتحقق بالضبط عند المجموعة التي يهيمن فيها توزيع واحد على الآخر. ^{[ 6 ]}

ترتبط مسافة التباين الكلية بمسافة هيلينجر${\displaystyle H(P,Q)}$على النحو التالي: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle H^{2}(P,Q)\leq \delta (P,Q)\leq {\sqrt {2}}H(P,Q).}$

تنتج هذه المتباينات مباشرة من المتباينات بين المعيار 1 والمعيار 2 .

تُعتبر مسافة التباين الكلية (أو نصف المعيار) هي تكلفة النقل المثلى، عندما تكون دالة التكلفة${\displaystyle c(x,y)={\mathbf {1} }_{x\neq y}}$، إنه،

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\|PQ\|_{1}=\delta (P,Q)=\inf {\big \{}\mathbb {P} (X\neq Y):{\text{Law}}(X)=P,{\text{Law}}(Y)=Q{\big \}}=\inf _{\pi }\operatorname {E} _{\pi [{\mathbf {1} }_{x\neq y}],}$

حيث يتم حساب التوقع بالنسبة لمقياس الاحتمالية${\displaystyle \pi }$في المساحة حيث${\displaystyle (x,y)}$الأرواح، ويتم الاستيلاء على الحد الأدنى على كل هذه الأرواح${\displaystyle \pi }$مع الهوامش${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$[ ^{8 ]​}