نظرية توت للتماثل

في الرياضيات، تعمم نظرية التماثل لتوت ، التي قدمها توت ( 1958 ) ، مفهوم "المسار" من الرسوم البيانية إلى الماترويدات ، وتنص بشكل تقريبي على أنه يمكن كتابة المسارات المغلقة على أنها تركيبات من المسارات المغلقة الأولية، بحيث تكون متماثلة إلى حد ما مع المسار المغلق التافه. 

يتم تحديد الماترويد على مجموعة Q بواسطة فئة من المجموعات الفرعية غير الفارغة M من Q ، تسمى الدوائر ، بحيث لا يحتوي أي عنصر من M على عنصر آخر، وإذا كان X و Y في M ، فإن a موجود في X و Y ، و b موجود في X ولكن ليس في Y ، فإنه يوجد Z في M يحتوي على b ولكن ليس a وموجود في X ∪ Y.

تُسمى المجموعات الجزئية من Q التي تمثل اتحادات دوائر بالمجموعات المسطحة (هذا هو المصطلح المستخدم في ورقة توت الأصلية، ولكن في الاستخدام الحديث، تختلف المجموعات المسطحة للماترويد). تُسمى عناصر M بالمجموعات المسطحة الصفرية، وتُسمى المجموعات المسطحة غير الفارغة الدنيا التي ليست مجموعات مسطحة صفرية بالمجموعات المسطحة الأحادية، وتُسمى المجموعات المسطحة غير الفارغة الدنيا التي ليست مجموعات مسطحة صفرية أو أحادية بالمجموعات المسطحة الثنائية، وهكذا.

المسار هو سلسلة محدودة من 0-flats بحيث يقع أي عنصرين متتاليين من المسار في 1-flat ما.

المسار الأولي هو أحد المسارات من الشكل ( X ، Y ، X )، أو ( X ، Y ، Z ، X ) حيث تقع جميع X و Y و Z في مستوى ثنائي الأبعاد.

يمكن تكوين مسارين P و Q بحيث يكون آخر مستوى 0-flat من P هو نفسه أول مستوى 0-flat من Q بطريقة واضحة لإعطاء مسار PQ .

يُطلق على مسارين اسم متماثلين إذا كان من الممكن الحصول على أحدهما من الآخر عن طريق عمليات إضافة أو إزالة المسارات الأولية داخل المسار، بمعنى آخر تغيير المسار PR إلى PQR أو العكس، حيث Q مسار أولي.

تنص صيغة ضعيفة من نظرية توت للتماثل على أن أي مسار مغلق يكون متماثلاً مع المسار التافه. بينما تنص صيغة أقوى على نتيجة مماثلة للمسارات التي لا تتقاطع مع مجموعات فرعية "محدبة" معينة.

• توتي، ويليام توماس (1958)، "نظرية التماثل للماترويدات. الجزء الأول"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 88 (1): 144-160 ، doi : 10.2307/1993243 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1993243 ، MR 0101526   
• توتي، ويليام توماس (1958)، "نظرية التماثل للماترويدات. الجزء الثاني"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 88 (1): 161-174 ، doi : 10.2307/1993244 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1993244 ، MR 0101526   
• توتي، دبليو تي (1971)، مقدمة في نظرية الماترويدات ، الأساليب التحليلية والحسابية الحديثة في العلوم والرياضيات، المجلد  37، نيويورك: شركة النشر الأمريكية إلسيفير، الصفحات 72-77 ، Zbl 0231.05027  
• وايت، نيل (1987)، "الماترويدات أحادية المعامل" ، في وايت، نيل (محرر)، الهندسات التوافقية ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد  29، مطبعة جامعة كامبريدج ، الصفحات 40-52 ، doi : 10.1017/CBO9781107325715 ، ISBN  978-0-521-33339-9، MR 0921064