تمثيل جابور التكيفي

تمثيل جابور التكيفي ( AGR ) هو تمثيل جابور للإشارة حيث يكون تباينها قابلاً للتعديل. هناك دائمًا مقايضة بين دقة الوقت ودقة التردد في تحويل فورييه قصير المدى التقليدي (STFT). تؤدي النافذة الطويلة إلى دقة تردد عالية ودقة زمنية منخفضة. من ناحية أخرى، تتطلب الدقة الزمنية العالية نافذة أقصر، مع حساب دقة التردد المنخفض. من خلال اختيار الدالة الأولية المناسبة للإشارة ذات بنية الطيف المختلفة، يكون تمثيل جابور التكيفي قادرًا على استيعاب كل من الإشارة ذات النطاق الضيق والنطاق العريض.

في عام 1946، اقترح دينيس جابور أنه يمكن تمثيل الإشارة في بعدين، مع إحداثيات الوقت والتردد. ويمكن توسيع الإشارة إلى مجموعة منفصلة من الإشارات الأولية الغاوسية.

يتم تعريف توسع جابور للإشارة s(t) بهذه الصيغة:

${\displaystyle s(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{m,n}h(t-mT)e^{jnt\Omega }}$

حيث h ( t ) هي الدالة الأولية الغوسية:

${\displaystyle h(t)=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\left(-{\frac {\alpha }{2}}t^{2}\right)}}$

بمجرد تحديد دالة جابور الابتدائية، يمكن الحصول على معاملات جابور من خلال الضرب الداخلي لـ s(t) ودالة مزدوجة${\displaystyle C_{m,n}}$${\displaystyle \gamma(t)}$

${\displaystyle C_{m,n}=\int s(t)\gamma ^{*}(t-mT)e^{-jnt\Omega }\,dt.}$

${\displaystyle T}$وبيان خطوات أخذ العينات من حيث الزمن والتردد وتلبية المعايير ${\displaystyle \أوميغا }$

${\displaystyle T\Omega \leqq 2\pi \,}$

يقوم تحويل جابور بحساب معاملات جابور للإشارة s(t) بكل بساطة. ${\displaystyle C_{m,n}}$

يتم تعريف توسيع الإشارة التكيفية على أنه

${\displaystyle s\left(t\right)=\مجموع _{p}B_{p}h_{p}(t)}$

حيث يتم الحصول على المعاملات من خلال حاصل الضرب الداخلي للإشارة s(t) والدالة الأولية${\displaystyle B_{p}}$${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle B_{p}=\الزاوية اليسرى s,h_{p}\الزاوية اليمنى \,}$

تمثل المعاملات التشابه بين الإشارة والدالة الأولية. تحلل الإشارة التكيفي هو عملية تكرارية، تهدف إلى إيجاد مجموعة من الدوال الأولية ، والتي تشبه إلى حد كبير بنية الزمن والتردد للإشارة. أولاً، ابدأ بـ w=0 و . ثم ابحث عن أيهما له أقصى حاصل ضرب داخلي مع الإشارة و ${\displaystyle B_{p}}$
${\displaystyle \left\{h_{p}(t)\right\}}$
${\displaystyle s_{0}\left(t\right)=s\left(t\right)}$${\displaystyle h_{0}\left(t\right)}$${\displaystyle s_{0}\left(t\right)}$

${\displaystyle \left|B_{p}\right|^{2}=\max _{h}\left|\left\langle s_{p}(t),h_{p}(t)\right\rangle \right|^{2}}$

ثانياً، احسب المتبقي:

${\displaystyle s_{1}\left(t\right)=s_{0}\left(t\right)-B_{0}h_{0}\left(t\right),}$

وهكذا. سيخرج لنا مجموعة من المتبقي ( )، والإسقاط ( )، والدالة الأولية ( ) لكل p مختلفة. ستتلاشى طاقة المتبقي إذا استمررنا في إجراء التحليل. ${\displaystyle s_{p}\left(t\right)}$${\displaystyle B_{p}=\الزاوية اليسرى s_{p}(t)،h_{p}(t)\الزاوية اليمنى }$${\displaystyle h_{p}\left(t\right)}$

إذا تم تصميم المعادلة الأولية ( ) بحيث تحتوي على طاقة وحدة. فيمكن تحديد الطاقة الموجودة في المتبقي في المرحلة p من خلال المتبقي في المرحلة p+1 بالإضافة إلى ( ). أي، ${\displaystyle h_{p}\left(t\right)}$${\displaystyle B_{p}}$

${\displaystyle \left\|s_{p}(t)\right\|^{2}=\left\|s_{p+1}(t)\right\|^{2}+\left|B_{p}\right|^{2},}$

${\displaystyle \left\|s(t)\right\|^{2}=\sum _{p=o}^{\infty }\left|B_{p}\right|^{2},}$

مشابهة لنظرية بارسيفال في تحليل فورييه.

يعد اختيار الدالة الأولية المهمة الرئيسية في تحليل الإشارة التكيفية. ومن الطبيعي اختيار دالة من النوع الغاوسي لتحقيق الحد الأدنى للتباين:

${\displaystyle h_{p}(t)=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {\alpha }{2}}(t-T_{p})^{2}}e^{jt\Omega _{p}},}$

حيث يكون المتوسط ​​و هو تباين غاوسي عند . و ${\displaystyle \left(T_{p},\Omega _{p}\right)}$${\displaystyle \alpha _{p}^{-1}}$${\displaystyle \left(T_{p},\Omega _{p}\right)}$

${\displaystyle s\left(t\right)=\sum _{p}B_{p}h_{p}(t)=\sum _{p}B_{p}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {\alpha }{2}}(t-T_{p})^{2}}e^{jt\Omega _{p}}}$

يُطلق عليه اسم تمثيل جابور التكيفي.

سيؤدي تغيير قيمة التباين إلى تغيير مدة الدالة الأولية (حجم النافذة)، ولم يعد مركز الدالة الأولية ثابتًا. من خلال ضبط نقطة المركز وتباين الدالة الأولية، نتمكن من مطابقة ميزة التردد الزمني المحلي للإشارة. يتم تحقيق الأداء الأفضل للتكيف على حساب عملية المطابقة. أصبحت المقايضة بين أطوال النوافذ المختلفة الآن المقايضة بين وقت الحساب والأداء.

• تحويل جابور
• تحويل فورييه قصير الأمد

• MJ Bastiaans، "توسيع جابور للإشارة إلى إشارات أولية غاوسية"، وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات، المجلد 68، العدد: 4، ص 538-539، أبريل 1980
• شي تشيان ودابانج تشين، "تمثيل الإشارة باستخدام الدوال الغاوسية الطبيعية التكيفية" ، معالجة الإشارة ، المجلد 42، العدد 3، ص 687-694، مارس 1994
• كيني يين، وشي تشيان، وأيجانج فينج، "تحسين سريع لتحليل التغريدات الغاوسية التكيفية"، مجلة معاملات معالجة الإشارات، المجلد 50، العدد 6، ص 1298-1306، يونيو 2002
• شي تشيان، مقدمة إلى تحويلات الزمن والتردد والموجات ، برنتيس هول، 2002