نظرية بارسيفال

في الرياضيات، تشير نظرية بارسيفال عادةً إلى أن تحويل فورييه هو تحويل وحدوي ؛ أي أن مجموع (أو تكامل) مربع دالة ما يساوي مجموع (أو تكامل) مربع تحويلها. ^{[ 1 ]} تعود أصولها إلى نظرية وضعها مارك أنطوان بارسيفال عام 1799 حول المتسلسلات ، والتي طُبقت لاحقًا على متسلسلات فورييه . تُعرف أيضًا باسم نظرية طاقة رايلي ، أو متطابقة رايلي ، نسبةً إلى جون ويليام ستروت ، اللورد رايلي. ^{[ 2 ]}

على الرغم من أن مصطلح "نظرية بارسيفال" يستخدم غالبًا لوصف وحدة أي تحويل فورييه، وخاصة في الفيزياء ، فإن الشكل الأكثر عمومية لهذه الخاصية يسمى بشكل أدق نظرية بلانشيريل . ^{[ 3 ]}

لنفترض أن${\displaystyle A(x)}$و${\displaystyle B(x)}$دالتان ذواتا قيم مركبة على${\displaystyle \mathbb {R} }$فترة​${\displaystyle 2\pi }$التي تكون قابلة للتكامل التربيعي (بالنسبة لمقياس ليبيغ ) على فترات طولها دورة، مع متسلسلات فورييه

$${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$$ و $${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}$$

على التوالي. ثم

أين${\displaystyle i}$الوحدة التخيلية والخطوط الأفقية تشير إلى الاقتران المركب .

الاستبدال${\displaystyle A(x)}$و${\displaystyle {\overline {B(x)}}}$في التكامل:

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{inx} \right) \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\overline{b_n}} e^{-inx} \right) \dx \right = \int_{-\pi}^{\pi}{\Bigl(a_1 e^{i1x} + a_2 e^{i2x} + \cdots\Bigr) \Bigl(\overline{b_1}} e^{-i1x} + \overline{b_n}} \begin{b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots {\Bigr )}\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{aligned}}}$$ كما هو الحال مع الحدود الوسطى في هذا المثال، فإن العديد من الحدود ستتكامل إلى${\displaystyle 0}$على مدى فترة زمنية كاملة${\displaystyle 2\pi }$(انظر التوافقيات ): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi }}\left[a_{1}{\overline {b_{1}}}x+ia_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}\,.\end{aligned}}}$$

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle A(x)}$و${\displaystyle B(x)}$بدلاً من ذلك، هما دالتان ذواتا قيم مركبة على${\displaystyle \mathbb {R} }$فترة${\displaystyle P}$التي تكون قابلة للتكامل التربيعي (بالنسبة لمقياس ليبيغ ) على فترات طولها دورة، مع متسلسلات فورييه

$${\displaystyle {\begin{aligned}A(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ni{\frac {x}{P}}}\\B(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{2\pi ni{\frac {x}{P}}}\end{aligned}}}$$

على التوالي. ثم

وبشكل أعم، إذا كانت لدينا زمرة أبيلية محلية متراصة G ذات ^فضاء بونترياجيني ثنائي G^ ، ^فإن نظرية بارسيفال تنص على أن تحويل بونترياجيني-فورييه هو مؤثر وحدوي بين فضاءي هيلبرت L² ( G ) و L² ( G^ ) (مع إجراء التكامل على مقاييس هار المُقاسة بشكل مناسب على الزمرتين). عندما تكون G هي دائرة الوحدة T ، و G^ هي مجموعة الأعداد الصحيحة، وهذا هو الحال المذكور أعلاه. أما عندما تكون G هي خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$، G^ هو أيضًا${\displaystyle \mathbb {R} }$والتحويل الوحدوي هو تحويل فورييه على خط الأعداد الحقيقية. عندما تكون G هي المجموعة الدورية Z _n ، فإنها تكون ذاتية التناظر، ويُطلق على تحويل بونترياجين-فورييه اسم تحويل فورييه المنفصل في التطبيقات العملية.

يمكن أيضًا التعبير عن نظرية بارسيفال على النحو التالي:

يفترض${\displaystyle f(x)}$دالة قابلة للتكامل التربيعي على${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$(أي،${\displaystyle f(x)}$و${\displaystyle f^{2}(x)}$(قابلة للتكامل على تلك الفترة)، باستخدام متسلسلة فورييه $${\displaystyle f(x)\simeq {\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx){\bigr )}.}$$ ثم ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}a_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right).}$$

في الهندسة الكهربائية ، غالباً ما تُكتب نظرية بارسيفال على النحو التالي:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}x(t){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}X(\omega ){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}X(2\pi f){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} f}$$

أين${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$يمثل تحويل فورييه المستمر (في شكل غير وحدوي) لـ${\displaystyle x(t)}$، و${\displaystyle \omega =2\pi f}$التردد الزاوي بالراديان في الثانية.

إن تفسير هذا الشكل من النظرية هو أنه يمكن حساب الطاقة الكلية للإشارة عن طريق جمع القدرة لكل عينة عبر الزمن أو القدرة الطيفية عبر التردد.

بالنسبة لإشارات الزمن المتقطع ، تصبح النظرية كما يلي:

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\bigl |}X_{2\pi }({\phi }){\bigr |}^{2}\mathrm {d} \phi }$$

أين${\displaystyle X_{2\pi }}$هو تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle \phi }$يمثل التردد الزاوي ( بالراديان لكل عينة) لـ${\displaystyle x}$.

أو بدلاً من ذلك، بالنسبة لتحويل فورييه المنفصل (DFT)، تصبح العلاقة كالتالي:

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigl |}X[k]{\bigr |}^{2}}$$

أين${\displaystyle X[k]}$DFT هو${\displaystyle x[n]}$كلاهما بطول${\displaystyle N}$.

نعرض حالة تحويل فورييه المنفصل (DFT) أدناه. أما بالنسبة للحالات الأخرى، فالبرهان مشابه. باستخدام تعريف تحويل فورييه المنفصل العكسي لـ${\displaystyle X[k]}$، يمكننا أن نستنتج

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigl |}X[k]{\bigr |}^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\Biggl (}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right){\Biggr )}\,X^{*}[k]\\[5mu]&={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]{\Biggl (}\sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right){\Biggr )}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]{\bigl (}N\cdot x^{*}[n]{\bigr )}\\[5mu]&=\sum _{n=0}^{N-1}{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2},\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle *}$يمثل المرافق المعقد.

ترتبط نظرية بارسيفال ارتباطًا وثيقًا بنتائج رياضية أخرى تتضمن تحويلات وحدوية:

• هوية بارسيفال
• نظرية بلانشيريل
• نظرية وينر-خينشين
• متباينة بيسل

• نظرية بارسيفال على موقع ماث وورلد