مبدأ الجمع

في علم التوافيق ، يُعد مبدأ الجمع ^{[ 1 ] [ 2 ]} أو قاعدة المجموع ^{[ 3 ] [ 4 ]} مبدأً أساسيًا للعد . ببساطة، هو الفكرة البديهية التي تنص على أنه إذا كان لدينا عدد A من الطرق لفعل شيء ما وعدد B من الطرق لفعل شيء آخر، ولا يمكننا فعل كليهما في الوقت نفسه، فإن عدد الطرق الممكنة لفعل كليهما يساوي صفرًا.${\displaystyle A+B}$طرق لاختيار أحد الإجراءات. ^{[ 3 ] [ 1 ]} من الناحية الرياضية، ينص مبدأ الجمع على أنه بالنسبة للمجموعتين المنفصلتين A و B ، لدينا${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|}$، ^{[ 2 ]} بشرط أن يكون تقاطع المجموعات خالياً من أي عناصر.

تُعد قاعدة الجمع حقيقة من حقائق نظرية المجموعات ، ^{[ 5 ]} كما يتضح من المعادلة المذكورة سابقًا لاتحاد المجموعات المنفصلة A و B والتي تساوي |A| + |B|. ^{[ 6 ]}

يمكن تعميم مبدأ الجمع على عدة مجموعات. إذا${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}}$إذا كانت المجموعات منفصلة مثنى مثنى، فعندئذٍ لدينا: ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle |S_{1}|+|S_{2}|+\cdots +|S_{n}|=|S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots \cup S_{n}|.}$$يمكن إثبات هذه العبارة من مبدأ الجمع عن طريق الاستقراء على n . ^{[ 2 ]}

قرر شخص ما التسوق في متجر واحد اليوم، إما في شمال المدينة أو جنوبها. إذا اختار شمال المدينة، فسيتسوق إما في مركز تجاري، أو متجر أثاث، أو متجر مجوهرات (ثلاث طرق). أما إذا اختار جنوب المدينة، فسيتسوق إما في متجر ملابس أو متجر أحذية (طريقتان).

وهكذا توجد${\displaystyle 3+2=5}$المتاجر المحتملة التي قد يتسوق فيها الشخص اليوم.

يمكن اعتبار مبدأ الإدراج والاستبعاد (المعروف أيضًا بمبدأ الغربال ^{[ 7 ]} ) تعميمًا لقاعدة الجمع، حيث إنه يُحصي أيضًا عدد العناصر في اتحاد بعض المجموعات (ولكنه لا يشترط أن تكون المجموعات منفصلة). وينص على أنه إذا كانت _A1 ، _... ، An مجموعات منتهية، فإن ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum _{i,j\,:\,1\leq i<j\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|+\sum _{i,j,k\,:\,1\leq i<j<k\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \cdots \ +(-1)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.}$$

وبالمثل، بالنسبة لمجموعة منتهية معينة S، ومجموعة أخرى معينة A، إذا${\displaystyle A\subset S}$، ثم${\displaystyle |A^{c}|=|S|-|A|}$[ ^{8 ] [ 9 ]} ولإثبات ذلك، لاحظ ^أن${\displaystyle |A^{c}|+|A|=|S|}$بمبدأ الجمع. ^{[ 9 ]}

يمكن استخدام مبدأ الجمع لإثبات قاعدة باسكال توافقياً. لحساب${\displaystyle {\binom {n+1}{k}}}$يمكن النظر إلى الأمر على أنه عدد الطرق لاختيار k شخصًا من غرفة تحتوي على n طفلًا ومعلم واحد. ثم هناك${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$طرق لاختيار الأشخاص دون اختيار المعلم، و${\displaystyle {\binom {n}{k-1}}}$هناك طرق لاختيار الأشخاص تشمل المعلم.${\displaystyle {\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}}$[ ^{10 ] : 83​}

يمكن أيضًا استخدام مبدأ الجمع لإثبات مبدأ الضرب . ^{[ 2 ]}

• المبدأ التوافقي
• قاعدة المنتج
• مبدأ الإدراج والاستبعاد