نظرية المجموعات

جزء من سلسلة عن
الرياضيات
تاريخ فِهرِس
المناطق نظرية الأعداد الهندسة الجبر حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضيات المنفصلة المنطق ونظرية المجموعات احتمال الإحصاء ونظرية القرار العلاقة مع العلوم الفيزياء كيمياء علوم الأرض حساب علم الأحياء علم اللغة الاقتصاد فلسفة تعليم
بوابة الرياضيات
ف ت هـ

نظرية المجموعات هي فرع من المنطق الرياضي الذي يدرس المجموعات ، والتي يمكن وصفها بشكل غير رسمي بأنها مجموعات من الأشياء. على الرغم من أنه يمكن جمع الأشياء من أي نوع في مجموعة، فإن نظرية المجموعات - كفرع من الرياضيات - تهتم في الغالب بتلك التي لها صلة بالرياضيات ككل.

بدأت الدراسة الحديثة لنظرية المجموعات بواسطة الرياضيين الألمان ريتشارد ديدكيند وجورج كانتور في سبعينيات القرن التاسع عشر. على وجه الخصوص، يُعتبر جورج كانتور مؤسس نظرية المجموعات بشكل عام. تُعرف الأنظمة غير الرسمية التي تم التحقيق فيها خلال هذه المرحلة المبكرة باسم نظرية المجموعات الساذجة . بعد اكتشاف المفارقات داخل نظرية المجموعات الساذجة (مثل مفارقة راسل ومفارقة كانتور ومفارقة بورالي-فورتي )، تم اقتراح أنظمة بديهية مختلفة في أوائل القرن العشرين، ولا تزال نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل (مع أو بدون بديهية الاختيار ) هي الأكثر شهرة والأكثر دراسة.

تُستخدم نظرية المجموعات عادةً كنظام أساسي لكامل الرياضيات، وخاصةً في شكل نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل مع بديهية الاختيار. بالإضافة إلى دورها الأساسي، توفر نظرية المجموعات أيضًا الإطار لتطوير نظرية رياضية لللانهاية ، ولها تطبيقات مختلفة في علوم الكمبيوتر (مثل نظرية الجبر العلائقي )، والفلسفة ، والدلالات الرسمية ، وديناميكيات التطور . جعلت جاذبيتها الأساسية، جنبًا إلى جنب مع مفارقاتها ، وتأثيراتها على مفهوم اللانهاية وتطبيقاتها المتعددة، من نظرية المجموعات مجالًا ذا أهمية كبيرة للمنطقيين وفلاسفة الرياضيات . يغطي البحث المعاصر في نظرية المجموعات مجموعة واسعة من الموضوعات، بدءًا من بنية خط الأعداد الحقيقية إلى دراسة اتساق الأعداد الأساسية الكبيرة .

تنشأ المواضيع الرياضية وتتطور عادةً من خلال التفاعلات بين العديد من الباحثين. ومع ذلك، تأسست نظرية المجموعات من خلال ورقة بحثية واحدة في عام 1874 كتبها جورج كانتور : " حول خاصية مجموعة كل الأعداد الجبرية الحقيقية ". ^{[1] [2]}

منذ القرن الخامس قبل الميلاد، بدءًا من عالم الرياضيات اليوناني زينو الإيلي في الغرب وعلماء الرياضيات الهنود الأوائل في الشرق، كان علماء الرياضيات يكافحون مع مفهوم اللانهاية . ومن الجدير بالذكر بشكل خاص عمل برنارد بولزانو في النصف الأول من القرن التاسع عشر. ^[3] بدأ الفهم الحديث للانهاية في الفترة من 1870 إلى 1874، وكان مدفوعًا بعمل كانتور في التحليل الحقيقي . ^[4]

تبدأ نظرية المجموعات بعلاقة ثنائية أساسية بين كائن o ومجموعة A. إذا كان o عضوًا (أو عنصرًا ) في A ، يتم استخدام الصيغة o ∈ A. يتم وصف المجموعة من خلال سرد العناصر المفصولة بفواصل، أو من خلال خاصية مميزة لعناصرها، داخل الأقواس { }. ^[5] نظرًا لأن المجموعات كائنات، يمكن لعلاقة العضوية أن تربط المجموعات أيضًا.

العلاقة الثنائية المشتقة بين مجموعتين هي علاقة المجموعة الجزئية، وتسمى أيضًا تضمين المجموعة . إذا كانت جميع أعضاء المجموعة A هي أيضًا أعضاء في المجموعة B ، فإن A هي مجموعة جزئية من B ، ويرمز لها A ⊆ B. على سبيل المثال، {1, 2} هي مجموعة جزئية من {1, 2, 3} ، وكذلك {2} ولكن {1, 4} ليست كذلك. وكما يوحي هذا التعريف، فإن المجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها. في الحالات التي يكون فيها هذا الاحتمال غير مناسب أو من المنطقي رفضه، يتم تعريف مصطلح المجموعة الجزئية الصحيحة . تسمى A مجموعة جزئية صحيحة من B إذا وفقط إذا كانت A مجموعة جزئية من B ، ولكن A لا تساوي B. أيضًا، 1 و2 و3 هي أعضاء (عناصر) للمجموعة {1, 2, 3} ، ولكنها ليست مجموعات جزئية منها؛ وبدورها، المجموعات الفرعية، مثل {1} ، ليست أعضاء في المجموعة {1، 2، 3} .

تمامًا كما تتميز العمليات الحسابية بالعمليات الثنائية على الأرقام ، تتميز نظرية المجموعات بالعمليات الثنائية على المجموعات. ^[6] فيما يلي قائمة جزئية منها:

• اتحاد المجموعتين A و B ، والذي يرمز له بـ A ∪ B ، هو مجموعة كل الكائنات التي هي أعضاء في A أو B أو كليهما. ^[7] على سبيل المثال، اتحاد {1, 2, 3} و {2, 3, 4} هو المجموعة {1, 2, 3, 4} .
• تقاطع المجموعتين A و B ، ويرمز له بـ A ∩ B ، هو مجموعة كل العناصر التي هي أعضاء في كل من A و B. على سبيل المثال، تقاطع {1, 2, 3} و {2, 3, 4} هو المجموعة {2, 3} .
• الفرق بين U و A ، والذي يُشار إليه بـ U \ A ، هو مجموعة جميع أعضاء U التي ليست أعضاءً في A. فرق المجموعة {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} هو {1} ، بينما على العكس من ذلك، فإن فرق المجموعة {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} هو {4} . عندما تكون A مجموعة جزئية من U ، فإن فرق المجموعة U \ A يُسمى أيضًا مكمل Aفي U. في هذه الحالة، إذا كان اختيار U واضحًا من السياق،يتم استخدام الترميز A ^c أحيانًا بدلاً من U \ A ، خاصةً إذاكانت U مجموعة عالمية كما هو الحال في دراسة مخططات فين .
• الفرق المتماثل للمجموعتين A و B ، ويرمز له بـ A △ B أو A ⊖ B ، هو مجموعة جميع العناصر التي تعد عضوًا في واحدة فقط من A و B (العناصر الموجودة في إحدى المجموعتين، ولكن ليست في كلتيهما). على سبيل المثال، بالنسبة للمجموعتين {1, 2, 3} و {2, 3, 4} ، فإن مجموعة الفرق المتماثلة هي {1, 4} . وهي مجموعة الفرق بين الاتحاد والتقاطع، ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) أو ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) .
• حاصل الضرب الديكارتي لـ A و B ، والذي يُشار إليه بـ A × B ، هو المجموعة التي تتكون أعضاؤها من جميع الأزواج المرتبة الممكنة ( a , b ) ، حيث يكون a عضوًا في A ويكون b عضوًا في B. على سبيل المثال، حاصل الضرب الديكارتي لـ {1, 2} و{أحمر، أبيض} هو {(1, أحمر)، (1, أبيض)، (2, أحمر)، (2, أبيض)}.
• مجموعة القوى للمجموعة A ، والتي يشار إليها بـ، هي المجموعة التي تتكون أعضاؤها من جميع المجموعات الفرعية الممكنة للمجموعة A. على سبيل المثال، مجموعة القوى {1, 2} هي { {}, {1}, {2}, {1, 2} } .${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$

بعض المجموعات الأساسية ذات الأهمية المركزية هي مجموعة الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الحقيقية والمجموعة الفارغة - المجموعة الفريدة التي لا تحتوي على أي عناصر. تسمى المجموعة الفارغة أحيانًا أيضًا المجموعة الخالية ، ^[8] على الرغم من أن هذا الاسم غامض ويمكن أن يؤدي إلى عدة تفسيرات.

تكون المجموعة نقية إذا كانت جميع أعضائها مجموعات، وجميع أعضاء أعضائها مجموعات، وهكذا. على سبيل المثال، المجموعة التي تحتوي فقط على المجموعة الفارغة هي مجموعة نقية غير فارغة. في نظرية المجموعات الحديثة، من الشائع تقييد الاهتمام بعالم فون نيومان للمجموعات النقية، وقد تم تصميم العديد من أنظمة نظرية المجموعات البديهية لإضفاء البديهية على المجموعات النقية فقط. هناك العديد من المزايا التقنية لهذا القيد، ولا يُفقد القليل من العمومية، لأنه يمكن نمذجتها بشكل أساسي من خلال المجموعات النقية. يتم تنظيم المجموعات في عالم فون نيومان في تسلسل هرمي تراكمي ، بناءً على مدى عمق تعشيش أعضائها وأعضاء أعضائها وما إلى ذلك. يتم تعيين رقم ترتيبي (عن طريق التكرار اللانهائي ) لكل مجموعة في هذا التسلسل الهرمي ، يُعرف باسم رتبتها. يتم تعريف رتبة المجموعة النقية على أنها أقل ترتيب أكبر تمامًا من رتبة أي من عناصرها. على سبيل المثال، يتم تعيين المجموعة الفارغة بالرتبة 0، بينما يتم تعيين المجموعة {{}} التي تحتوي فقط على المجموعة الفارغة بالرتبة 1. لكل ترتيب ، يتم تعريف المجموعة لتتكون من جميع المجموعات النقية ذات الرتبة الأقل من . يتم الإشارة إلى عالم فون نيومان بالكامل بـ  . ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle V_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle V}$

يمكن دراسة نظرية المجموعات الأولية بشكل غير رسمي وبديهي، وبالتالي يمكن تدريسها في المدارس الابتدائية باستخدام مخططات فين . يفترض النهج البديهي ضمناً أنه يمكن تشكيل مجموعة من فئة جميع الكائنات التي تلبي أي شرط تعريفي معين. يؤدي هذا الافتراض إلى ظهور مفارقات، أبسطها وأشهرها مفارقة راسل ومفارقة بورالي-فورتي . تم ابتكار نظرية المجموعات البديهية في الأصل لتخليص نظرية المجموعات من مثل هذه المفارقات. ^{[ملاحظة 1]}

تشير أكثر أنظمة نظرية المجموعات البديهية التي تمت دراستها على نطاق واسع إلى أن جميع المجموعات تشكل تسلسلًا هرميًا تراكميًا . ^[أ] تأتي مثل هذه الأنظمة في نوعين، تلك التي تتكون أنطولوجياتها من:

• المجموعات وحدها . وهذا يشمل نظرية المجموعات البديهية الأكثر شيوعًا، نظرية المجموعات لزيرميلو - فرانكل مع بديهية الاختيار (ZFC). تتضمن أجزاء من بديهية الاختيار ( ZFC ) :
  • نظرية مجموعة زيرميلو ، التي تستبدل مخطط البديهية للاستبدال بمخطط الانفصال ؛
  • نظرية المجموعات العامة ، جزء صغير من نظرية المجموعات لزيرميلو يكفي لمسلمات بيانو والمجموعات المحدودة ؛
  • نظرية مجموعة كريبك-بلاتيك ، والتي تغفل بديهيات اللانهاية ومجموعة القوى والاختيار ، وتضعف مخططات بديهيات الانفصال والاستبدال .
• المجموعات والفئات المناسبة . وتشمل هذه نظرية مجموعة فون نيومان-بيرنايز-غودل ، التي تتمتع بنفس قوة ZFC للنظريات حول المجموعات وحدها، ونظرية مجموعة مورس-كيلي ونظرية مجموعة تارسكي-جروثينديك ، وكلاهما أقوى من ZFC.

يمكن تعديل الأنظمة المذكورة أعلاه للسماح بالعناصر الأساسية ، وهي كائنات يمكن أن تكون أعضاء في مجموعات ولكنها ليست مجموعات بحد ذاتها ولا تحتوي على أي أعضاء.

إن أنظمة الأساسات الجديدة المتمثلة في NFU (التي تسمح بالعناصر الأولية ) و NF (التي تفتقر إليها)، والتي ترتبط بويلارد فان أورمان كوين ، لا تستند إلى تسلسل هرمي تراكمي. تتضمن NF وNFU "مجموعة من كل شيء"، والتي تحتوي كل مجموعة بالنسبة لها على مكمل. في هذه الأنظمة، تكون العناصر الأولية مهمة، لأن NF، ولكن ليس NFU، تنتج مجموعات لا تنطبق عليها بديهية الاختيار . وعلى الرغم من أن علم الوجود الخاص بـ NF لا يعكس التسلسل الهرمي التراكمي التقليدي وينتهك الأساس السليم، فقد زعم توماس فورستر أنه يعكس مفهومًا تكراريًا للمجموعة. ^[9]

تتضمن أنظمة نظرية المجموعات البنّاءة ، مثل CST وCZF وIZF، بديهيات مجموعاتها في المنطق الحدسي بدلاً من المنطق الكلاسيكي . ومع ذلك، تقبل أنظمة أخرى المنطق الكلاسيكي ولكنها تتميز بعلاقة عضوية غير قياسية. وتشمل هذه نظرية المجموعات الخشنة ونظرية المجموعات الضبابية ، حيث لا تكون قيمة الصيغة الذرية التي تجسد علاقة العضوية ببساطة صحيحة أو خاطئة . تعد نماذج القيمة المنطقية لـ ZFC موضوعًا ذا صلة.

اقترح إدوارد نيلسون في عام 1977 إثراءً لـ ZFC يسمى نظرية المجموعة الداخلية. ^[10]

يمكن تعريف العديد من المفاهيم الرياضية بدقة باستخدام مفاهيم نظرية المجموعات فقط. على سبيل المثال، يمكن تعريف الهياكل الرياضية المتنوعة مثل الرسوم البيانية والمتعددات والحلقات ومساحات المتجهات والجبر العلائقي كمجموعات تلبي خصائص (بديهية) مختلفة. العلاقات التكافؤية والترتيبية منتشرة في كل مكان في الرياضيات، ويمكن وصف نظرية العلاقات الرياضية في نظرية المجموعات. ^{[11] [12]}

نظرية المجموعات هي أيضًا نظام أساسي واعد لكثير من الرياضيات. منذ نشر المجلد الأول من مبادئ الرياضيات ، تم الادعاء بأن معظم (أو حتى جميع) النظريات الرياضية يمكن اشتقاقها باستخدام مجموعة مصممة بشكل مناسب من البديهيات لنظرية المجموعات، مع تعزيزها بالعديد من التعريفات، باستخدام المنطق من الدرجة الأولى أو الثانية . على سبيل المثال، يمكن اشتقاق خصائص الأعداد الطبيعية والحقيقية داخل نظرية المجموعات، حيث يمكن تعريف كل من أنظمة الأعداد هذه من خلال تمثيل عناصرها كمجموعات من أشكال محددة. ^[13]

نظرية المجموعات كأساس للتحليل الرياضي ، والطوبولوجيا ، والجبر المجرد ، والرياضيات المنفصلة هي أيضًا غير مثيرة للجدل؛ يقبل علماء الرياضيات (من حيث المبدأ) أن النظريات في هذه المجالات يمكن اشتقاقها من التعريفات ذات الصلة ومسلمات نظرية المجموعات. ومع ذلك، يظل هناك عدد قليل من الاشتقاقات الكاملة للنظريات الرياضية المعقدة من نظرية المجموعات التي تم التحقق منها رسميًا، لأن مثل هذه الاشتقاقات الرسمية غالبًا ما تكون أطول بكثير من أدلة اللغة الطبيعية التي يقدمها علماء الرياضيات عادةً. يتضمن أحد مشاريع التحقق، Metamath ، اشتقاقات مكتوبة بشريًا ومُتحقق منها بواسطة الكمبيوتر لأكثر من 12000 نظرية تبدأ من نظرية مجموعة ZFC والمنطق من الدرجة الأولى والمنطق القياسي . ^[14] شهدت ZFC وبديهية الاختيار مؤخرًا تطبيقات في ديناميكيات التطور ، ^[15] مما يعزز فهم النماذج الراسخة للتطور والتفاعل.

تعتبر نظرية المجموعات مجالًا رئيسيًا للبحث في الرياضيات مع العديد من المجالات الفرعية المترابطة:

تتعلق نظرية المجموعات التوليفية بتوسيع التوليفات المحدودة إلى مجموعات لا نهائية. ويشمل ذلك دراسة الحساب الأساسي ودراسة توسعات نظرية رامزي مثل نظرية إردوس-رادو .

نظرية المجموعات الوصفية هي دراسة مجموعات جزئية من الخط الحقيقي ، وبشكل عام مجموعات جزئية من الفضاءات البولندية . تبدأ بدراسة فئات النقاط في التسلسل الهرمي لبوريل وتمتد إلى دراسة التسلسل الهرمي الأكثر تعقيدًا مثل التسلسل الهرمي الإسقاطي وتسلسل وادج . يمكن إثبات العديد من خصائص مجموعات بوريل في ZFC، لكن إثبات صحة هذه الخصائص للمجموعات الأكثر تعقيدًا يتطلب بديهيات إضافية تتعلق بالتحديد والأعداد الأساسية الكبيرة.

يقع مجال نظرية المجموعات الوصفية الفعّالة بين نظرية المجموعات ونظرية التكرار . ويشمل دراسة فئات النقاط ذات الوجه الخفيف ، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الحساب الفائق . في كثير من الحالات، تحتوي نتائج نظرية المجموعات الوصفية الكلاسيكية على إصدارات فعّالة؛ وفي بعض الحالات، يتم الحصول على نتائج جديدة من خلال إثبات الإصدار الفعّال أولاً ثم توسيعه ("نسبته") لجعله قابلاً للتطبيق على نطاق أوسع.

أحد مجالات البحث الحديثة يتعلق بعلاقات التكافؤ لبوريل وعلاقات التكافؤ القابلة للتعريف الأكثر تعقيدًا . وهذا له تطبيقات مهمة في دراسة الثوابت في العديد من مجالات الرياضيات.

في نظرية المجموعات كما عرّفها كانتور ووضحها زيرميلو وفرانكل، يكون الكائن إما عضوًا في مجموعة أو لا يكون كذلك. في نظرية المجموعات الضبابية، خفف لطفي أ. زاده هذا الشرط بحيث يكون للكائن درجة عضوية في مجموعة، وهو رقم بين 0 و1. على سبيل المثال، تكون درجة عضوية الشخص في مجموعة "الأشخاص طوال القامة" أكثر مرونة من الإجابة البسيطة بنعم أو لا ويمكن أن تكون رقمًا حقيقيًا مثل 0.75.

النموذج الداخلي لنظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل (ZF) هو فئة متعدية تتضمن جميع الترتيبات وتلبي جميع بديهيات ZF. المثال الأساسي هو الكون القابل للإنشاء L الذي طوره جودل. أحد الأسباب التي تجعل دراسة النماذج الداخلية ذات أهمية هو أنه يمكن استخدامها لإثبات نتائج الاتساق. على سبيل المثال، يمكن إظهار أنه بغض النظر عما إذا كان النموذج V لـ ZF يلبي فرضية الاستمرارية أو بديهية الاختيار ، فإن النموذج الداخلي L المبني داخل النموذج الأصلي سوف يلبي كل من فرضية الاستمرارية المعممة وبديهية الاختيار. وبالتالي فإن الافتراض بأن ZF متسقة (لها نموذج واحد على الأقل) يعني أن ZF مع هذين المبدأين متسقة.

إن دراسة النماذج الداخلية شائعة في دراسة التحديد والأعداد الأساسية الكبيرة ، وخاصة عند النظر في البديهيات مثل بديهية التحديد التي تتعارض مع بديهية الاختيار. وحتى إذا كان نموذج ثابت لنظرية المجموعات يلبي بديهية الاختيار، فمن الممكن أن يفشل نموذج داخلي في تلبية بديهية الاختيار. على سبيل المثال، فإن وجود أعداد أساسية كبيرة بما يكفي يعني وجود نموذج داخلي يلبي بديهية التحديد (وبالتالي لا يلبي بديهية الاختيار). ^[16]

العدد الأساسي الكبير هو عدد أساسي له خاصية إضافية. تتم دراسة العديد من هذه الخصائص، بما في ذلك الأعداد الأساسية التي لا يمكن الوصول إليها ، والأعداد الأساسية القابلة للقياس ، وغيرها الكثير. تشير هذه الخصائص عادةً إلى أن العدد الأساسي يجب أن يكون كبيرًا جدًا، مع وجود عدد أساسي له الخاصية المحددة غير قابل للإثبات في نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل .

يشير التحديد إلى حقيقة مفادها أنه في ظل افتراضات مناسبة، يتم تحديد بعض الألعاب التي يلعبها لاعبان والتي تعتمد على معلومات مثالية منذ البداية بمعنى أن أحد اللاعبين يجب أن يكون لديه استراتيجية فائزة. إن وجود هذه الاستراتيجيات له عواقب مهمة في نظرية المجموعات الوصفية، حيث أن افتراض تحديد فئة أوسع من الألعاب يعني غالبًا أن فئة أوسع من المجموعات ستتمتع بخاصية طوبولوجية. إن بديهية التحديد (AD) هي موضوع مهم للدراسة؛ على الرغم من عدم توافقها مع بديهية الاختيار، فإن AD تعني أن جميع المجموعات الفرعية للخط الحقيقي تتصرف بشكل جيد (على وجه الخصوص، قابلة للقياس وذات خاصية المجموعة المثالية). يمكن استخدام AD لإثبات أن درجات Wadge لها بنية أنيقة.

اخترع بول كوهين طريقة الإجبار أثناء البحث عن نموذج ZFC حيث تفشل فرضية الاستمرارية ، أو نموذج ZF حيث تفشل بديهية الاختيار . تجاور الإجبار بعض النماذج المعطاة لنظرية المجموعات مجموعات إضافية من أجل إنشاء نموذج أكبر بخصائص تحددها (أي "إجبارية") من خلال البناء والنموذج الأصلي. على سبيل المثال، تجاور بنية كوهين مجموعات فرعية إضافية من الأعداد الطبيعية دون تغيير أي من الأعداد الأساسية للنموذج الأصلي. الإجبار هو أيضًا أحد طريقتين لإثبات الاتساق النسبي بالطرق المحدودة، والطريقة الأخرى هي نماذج القيمة المنطقية .

الثوابت الأساسية هي خاصية للخط الحقيقي تقاس بعدد أساسي. على سبيل المثال، الثوابت المدروسة جيدًا هي أصغر عدد أساسي لمجموعة من المجموعات الضئيلة من الأعداد الحقيقية التي يكون اتحادها هو الخط الحقيقي بالكامل. هذه هي الثوابت بمعنى أن أي نموذجين متماثلين لنظرية المجموعات يجب أن يعطيا نفس العدد الأساسي لكل ثابت. تمت دراسة العديد من الثوابت الأساسية، والعلاقات بينها غالبًا ما تكون معقدة ومرتبطة بمسلمات نظرية المجموعات.

تدرس الطوبولوجيا النظرية للمجموعات أسئلة الطوبولوجيا العامة التي هي ذات طبيعة نظرية للمجموعات أو التي تتطلب طرقًا متقدمة لنظرية المجموعات لحلها. العديد من هذه النظريات مستقلة عن ZFC، وتتطلب بديهيات أقوى لإثباتها. هناك مشكلة مشهورة وهي سؤال فضاء مور الطبيعي ، وهو سؤال في الطوبولوجيا العامة كان موضوع بحث مكثف. ثبت في النهاية أن إجابة سؤال فضاء مور الطبيعي مستقلة عن ZFC.

منذ نشأة نظرية المجموعات، اعترض بعض علماء الرياضيات عليها باعتبارها أساسًا للرياضيات . الاعتراض الأكثر شيوعًا على نظرية المجموعات، والذي عبر عنه كرونيكر في السنوات الأولى لنظرية المجموعات، يبدأ من وجهة النظر البنائية التي تقول إن الرياضيات مرتبطة ارتباطًا فضفاضًا بالحساب. إذا تم قبول هذه النظرة، فإن معالجة المجموعات اللانهائية، سواء في نظرية المجموعات الساذجة أو البديهية، تقدم إلى الرياضيات أساليب وأشياء غير قابلة للحساب حتى من حيث المبدأ. زادت إمكانية البنائية كأساس بديل للرياضيات بشكل كبير من خلال كتاب إيريت بيشوب المؤثر أسس التحليل البنائي . ^[17]

هناك اعتراض مختلف طرحه هنري بوانكاريه وهو أن تعريف المجموعات باستخدام مخططات البديهيات الخاصة بالتحديد والاستبدال ، بالإضافة إلى بديهية مجموعة القوى ، يُدخل عدم التوقع ، وهو نوع من الدائرية ، في تعريفات الكائنات الرياضية. إن نطاق الرياضيات القائمة على التنبؤ، على الرغم من أنه أقل من نطاق نظرية زيرميلو-فرانكل المقبولة عمومًا، إلا أنه أكبر بكثير من نطاق الرياضيات البنّاءة، لدرجة أن سولومون فيفرمان قال إن "كل التحليلات القابلة للتطبيق علميًا يمكن تطويرها [باستخدام الأساليب التنبؤية]". ^[18]

أدان لودفيج فيتجنشتاين نظرية المجموعات فلسفيًا بسبب دلالاتها على الأفلاطونية الرياضية . ^[19] وكتب أن "نظرية المجموعات خاطئة"، لأنها تبني على "هراء" الرمزية الخيالية، ولديها "عبارات خبيثة"، وأنه من غير المنطقي الحديث عن "جميع الأرقام". ^[20] حدد فيتجنشتاين الرياضيات بالاستنتاج البشري الخوارزمي؛ ^[21] بدت الحاجة إلى أساس آمن للرياضيات، بالنسبة له، غير منطقية. ^[22] علاوة على ذلك، نظرًا لأن الجهد البشري محدود بالضرورة، فإن فلسفة فيتجنشتاين تتطلب التزامًا وجوديًا بالبنائية الجذرية والنهائية . العبارات الميتا رياضية - والتي تضمنت، بالنسبة لفيتجنشتاين، أي عبارة كمية على مجالات لا نهائية، وبالتالي كل نظرية المجموعات الحديثة تقريبًا - ليست رياضيات. ^{[23] لم يتبنَّ} سوى عدد قليل من الفلاسفة المعاصرين آراء فيتجنشتاين بعد خطأ فادح ارتكبه في ملاحظاته على أسس الرياضيات : حاول فيتجنشتاين دحض نظريات عدم اكتمال جودل بعد أن قرأ الملخص فقط. وكما أشار المراجعون كريسل وبيرنايز ودوميت وجودشتاين ، فإن العديد من انتقاداته لم تنطبق على الورقة بالكامل. ولم يبدأ الفلاسفة مثل كريسبين رايت في إعادة تأهيل حجج فيتجنشتاين إلا مؤخرًا . [ 24 ^]

اقترح منظرو الفئات نظرية الطوبولوجيا كبديل لنظرية المجموعة البديهية التقليدية. يمكن لنظرية الطوبولوجيا تفسير بدائل مختلفة لتلك النظرية، مثل البنائية ونظرية المجموعة المحدودة ونظرية المجموعة القابلة للحساب . ^{[25] [26]} كما توفر الطوبولوجيا أيضًا إطارًا طبيعيًا للإجبار ومناقشات استقلال الاختيار عن ZF، بالإضافة إلى توفير الإطار لطوبولوجيا لا معنى لها ومساحات ستون . ^[27]

إن أحد مجالات البحث النشطة هو الأسس أحادية التكافؤ والمرتبطة بها نظرية النوع المثلي . في نظرية النوع المثلي، يمكن اعتبار المجموعة من النوع المثلي 0، مع خصائص عالمية للمجموعات تنشأ من الخصائص الاستقرائية والتكرارية للأنواع الاستقرائية الأعلى . يمكن صياغة مبادئ مثل بديهية الاختيار وقانون الوسط المستبعد بطريقة تتوافق مع الصياغة الكلاسيكية في نظرية المجموعات أو ربما في مجموعة من الطرق المميزة الفريدة لنظرية النوع. قد يثبت أن بعض هذه المبادئ هي نتيجة لمبادئ أخرى. يسمح تنوع صياغات هذه المبادئ البديهية بإجراء تحليل مفصل للصياغات المطلوبة من أجل استخلاص نتائج رياضية مختلفة. ^{[28] [29]}

مع اكتساب نظرية المجموعات شعبية باعتبارها أساسًا للرياضيات الحديثة، كان هناك دعم لفكرة تقديم أساسيات نظرية المجموعات الساذجة في وقت مبكر من تعليم الرياضيات .

في الولايات المتحدة الأمريكية في ستينيات القرن العشرين، كانت تجربة الرياضيات الجديدة تهدف إلى تعليم نظرية المجموعات الأساسية، من بين مفاهيم مجردة أخرى، لطلاب المدارس الابتدائية ، لكنها قوبلت بالكثير من الانتقادات. وقد اتبع المنهج الدراسي للرياضيات في المدارس الأوروبية هذا الاتجاه، ويتضمن حاليًا الموضوع على مستويات مختلفة في جميع الصفوف. تُستخدم مخططات فين على نطاق واسع لشرح العلاقات الأساسية بين المجموعات والنظرية لطلاب المدارس الابتدائية (على الرغم من أن جون فين ابتكرها في الأصل كجزء من إجراء لتقييم صحة الاستدلالات في منطق المصطلحات ).

تُستخدم نظرية المجموعات لتعريف الطلاب بالمشغلات المنطقية (NOT وAND وOR) والوصف الدلالي أو وصف القواعد ( التعريف التقني ^[30] ) للمجموعات (على سبيل المثال "الأشهر التي تبدأ بالحرف A ")، والتي قد تكون مفيدة عند تعلم برمجة الكمبيوتر ، حيث يتم استخدام المنطق البولياني في لغات برمجة مختلفة . وبالمثل، فإن المجموعات وغيرها من الكائنات الشبيهة بالمجموعات، مثل المجموعات المتعددة والقوائم ، هي أنواع بيانات شائعة في علوم الكمبيوتر والبرمجة .

بالإضافة إلى ذلك، يتم الإشارة إلى المجموعات عادةً في تدريس الرياضيات عند الحديث عن أنواع مختلفة من الأرقام ( مجموعات الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والأعداد الحقيقية ، وما إلى ذلك)، وعند تعريف دالة رياضية كعلاقة من مجموعة ( المجال ) إلى مجموعة أخرى ( المدى ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• مصطلحات نظرية المجموعات
• الفصل (نظرية المجموعات)
• قائمة مواضيع نظرية المجموعات
• النموذج العلائقي  – مستعير من نظرية المجموعات
• مخطط فين

• ديفلين، كيث (1993)، متعة المجموعات: أساسيات نظرية المجموعات المعاصرة ، نصوص جامعية في الرياضيات (الطبعة الثانية)، دار نشر سبرينغر، doi :10.1007/978-1-4612-0903-4، ISBN 0-387-94094-4
• فيريروس، خوسيه (2001)، متاهة الفكر: تاريخ نظرية المجموعات ودورها في الرياضيات الحديثة، برلين: سبرينغر، رقم ISBN 978-3-7643-5749-8
• مونك، ج. دونالد (1969)، مقدمة إلى نظرية المجموعات ، شركة ماكجرو هيل للكتب، رقم ISBN 978-0-898-74006-6
• بوتر، مايكل (2004)، نظرية المجموعات وفلسفتها: مقدمة نقدية، مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-191-55643-2
• سموليان، رايموند م .؛ فيتنج، ميلفين (2010)، نظرية المجموعات ومشكلة الاستمرارية ، منشورات دوفر ، رقم ISBN 978-0-486-47484-7
• تايلز، ماري (2004)، فلسفة نظرية المجموعات: مقدمة تاريخية إلى جنة كانتور، منشورات دوفر ، رقم ISBN 978-0-486-43520-6

• دانييل كانينغهام، مقالة في نظرية المجموعات في الموسوعة الفلسفية على الإنترنت .
• خوسيه فيريروس، مقال بعنوان "التطور المبكر لنظرية المجموعات" في [موسوعة ستانفورد للفلسفة] .
• فورمان، ماثيو ، أكيهيرو كاناموري ، محرران. دليل نظرية المجموعات . 3 مجلدات، 2010. يتناول كل فصل بعض جوانب البحث المعاصر في نظرية المجموعات. لا يغطي نظرية المجموعات الأولية الراسخة، والتي راجع عنها ديفلين (1993).
• "نظرية المجموعة البديهية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• "نظرية المجموعات"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• شونفليس ، آرثر (1898). Mengenlehre في موسوعة كلاين .
• الكتب المتوفرة على الإنترنت، وموارد المكتبة في مكتبتك وفي المكتبات الأخرى حول نظرية المجموعات
• رودين، والتر ب. (6 أبريل 1990)، "نظرية المجموعات: نتاج التحليل"، محاضرة ماردن في الرياضيات ، جامعة ويسكونسن-ميلووكي ، مؤرشفة من الأصل في 2021-10-31 – عبر يوتيوب