تفكيك الحالة الجمعية

يحدث تفكيك الحالة الجمعي عندما يُقسّم النظام إلى نظامين فرعيين أو أكثر بنفس أبعاد النظام الأصلي. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} يُعدّ تفكيك النظام إلى نظامين فرعيين أو أكثر من الرتبة الأدنى، والذي يُسمى هنا تفكيك النظام الفرعي من الرتبة الأدنى، أحد أنواع التفكيك الشائعة في مجال التحكم. في المقابل، يُقصد بتفكيك الحالة الجمعي تفكيك النظام إلى نظامين فرعيين أو أكثر بنفس أبعاد النظام الأصلي. ^{[ 3 ]}

لنأخذ النظام $P$ كمثال، فهو يُقسّم إلى نظامين فرعيين: $P p$ و $P s$ ، حيث $dim(P p) = n p$ و $dim(P s) = n s$ على التوالي. ويُحقق تجزئة النظام الفرعي من الرتبة الأدنى ما يلي:

n=n_{p}+n_{s}{\text{ و }}P=P_{p}\oplus P_{s}

وعلى النقيض من ذلك، فإن تحليل الحالة الجمعي يحقق

n=n_{p}=n_{s}{\text{ و }}P=P_{p}+P_{s}

في نظام تحكم ديناميكي

لنفترض نظامًا "أصليًا" على النحو التالي:

{\dot {x}}=f(t,x,u),x(0)=x_{0}

1

أين $x\in \mathbb {R} ^{n}$ .

أولاً، يتم إدخال نظام "أساسي" له نفس أبعاد النظام الأصلي:

{\dot {x}}_{p}=f_{p}(t,x_{p},u_{p}),

x_{p}(0)=x_{p,0}

2

أين $x_{p}\in \mathbb {R} ^{n}.$

من النظام الأصلي والنظام الأساسي، يتم اشتقاق النظام "الثانوي" التالي:

{\dot {x}}-{\dot {x}}_{p}=f(t,x,u)-f_{p}(t,x_{p},u_{p}),x(0)=x_{0}

متغيرات جديدة $x_{s}\in \mathbb {R} ^{n}$ يتم تعريفها على النحو التالي:

x_{s}=x-x_{p},

u_{s}=u-u_{p}.

3

ويمكن بعد ذلك كتابة النظام الثانوي على النحو التالي:

{\dot {x}}_{s}=f(t,x_{p}+x_{s},u_{p}+u_{s})

-f_{p}(t,x_{p},u_{p}),x_{s}(0)=x_{0}-x_{p,0},

4

يستنتج من التعريف ( 3 )

x(t)=x_{p}(t)+x_{s}(t),

t\geq 0.

توضح هذه الصورة العملية:

أمثلة

المثال 1

في الواقع، ذُكرت فكرة تحليل الحالة الجمعية ضمنيًا في الأدبيات الموجودة. ومن الأمثلة الموجودة تصميم وحدة التحكم في التتبع، والتي غالبًا ما تتطلب نظامًا مرجعيًا لاستنتاج ديناميكيات الخطأ. يُفترض أن النظام المرجعي (النظام الأساسي) مُعطى على النحو التالي:

{\dot {x}}_{r}=f(t,x_{r},u_{r}),

x_{r}(0)=x_{r,0}

استنادًا إلى النظام المرجعي، يتم اشتقاق ديناميكيات الخطأ (النظام الثانوي) على النحو التالي:

{\dot {x}}_{e}=f(t,x_{e}+x_{r},u)-f(t,x_{r},u_{r}),

x_{e}(0)=x_{0}-x_{r,0}

أين $x_{e}=x-x_{r}$

هذه خطوة شائعة الاستخدام لتحويل مشكلة التتبع إلى مشكلة استقرار عند استخدام التحكم التكيفي .

المثال 2

لنفترض فئة من الأنظمة على النحو التالي:

{\dot {x}}(t)=\left(A+\Delta A(t)\right)x(t)+A_{d}x(tT)+Br(t)

$e(t)=-\left(C+\Delta C(t)\right)x(t)+r(t)$

x(\theta )=\phi (\theta ),\theta \in [-T,0]

5

اختر ( 5 ) كنظام أصلي وصمم النظام الأساسي على النحو التالي:

{\dot {x}}_{p}(t)=Ax_{p}(t)+A_{d}x_{p}(tT)+Br(t)

$e_{p}(t)=-Cx_{p}(t)+r(t)$

x_{p}(\theta )=\phi (\theta ),\theta \in [-T,0]

6

ثم يتم تحديد النظام الثانوي بواسطة القاعدة ( 4 ):

{\dot {x}}_{s}(t)=\left(A+\Delta A(t)\right)x_{s}(t)+A_{d}x_{s}(tT)+\Delta A(t)x_{p}(t)

$e_{s}(t)=-\left(C+\Delta C(t)\right)x_{s}(t)-\Delta C(t)x_{p}(t)$

x_{s}(\theta )=0,\theta \in [-T,0]

7

عن طريق تفكيك الحالة الجمعية

e(t)=e_{p}(t)+e_{s}(t)

منذ

\displaystyle \|e(t)\|\leq \|e_{p}(t)\|+\|e_{s}(t)\|}

يمكن تحليل خطأ التتبع $e (t) باستخدام$ $e p (t)$ و $e s (t)$ بشكل منفصل. إذا كانت $e p (t)$ و $e s (t)$ محدودتين وصغيرتين، فإن $e (t)$ كذلك . لحسن الحظ، تجدر الإشارة إلى أن المعادلة ( 6 ) نظام خطي ثابت مع الزمن ومستقل عن النظام الثانوي ( 7 )، والذي تتوفر له العديد من الأدوات لتحليله، مثل دالة التحويل. في المقابل، لا يمكن تطبيق دالة التحويل مباشرةً على النظام الأصلي ( 5 ) لأنه متغير مع الزمن.

المثال 3

لنفترض فئة من الأنظمة غير الخطية على النحو التالي:

{\dot {x}}=Ax+bu+\phi (y)+d,x(0)=x_{0}

y=c^{T}x

8

حيث يُمثل $x و y و u$ الحالة والمخرجات والمدخلات على التوالي؛ والدالة $φ (•)$ غير خطية. الهدف هو تصميم $u$ بحيث $y - r \to 0$ عندما $t \to \infty$ . اختر ( 8 ) كنظام أصلي وصمم النظام الأساسي كما يلي:

{\dot {x}}_{p}=Ax_{p}+bu_{p}+\phi (r)+d,x_{p}(0)=x_{0}

y_{p}=c^{T}x_{p}

9

ثم يتم تحديد النظام الثانوي بواسطة القاعدة ( 4 ):

{\dot {x}}_{s}=Ax_{s}+bu_{s}+\phi \left(c^{T}x_{p}+c^{T}x_{s}\right)-\phi (r),x_{s}(0)=0

y_{s}=c^{T}x_{s}

10

حيث $u s = u p$ . إذن $x = x p + x s$ و $y = y p + y s$ . هنا، تُسند المهمة $y p \to 0 إلى النظام الخطي الثابت زمنيًا ($ 9 ) (حيث أن النظام الخطي الثابت زمنيًا أبسط من النظام غير الخطي). من ناحية أخرى، تُسند المهمة $x s \to 0 إلى$ النظام غير الخطي ( 10 ) (حيث أن مسألة التحكم المُثبِّت أبسط من مسألة التتبع). إذا أُنجزت المهمتان، فإن $y = y p + y s \to 0.$ الفكرة الأساسية هي تقسيم النظام الأصلي إلى نظامين فرعيين مسؤولين عن مهام فرعية أبسط. ثم يتم تصميم وحدات تحكم لكل مهمة فرعية، وأخيرًا يتم دمجهما لتحقيق مهمة التحكم الأصلية. يوضح الشكل التالي هذه العملية:

مقارنة بمبدأ التراكب

من الأمثلة المعروفة التي تستخدم ضمنيًا تحليل الحالة الجمعي مبدأ التراكب، وهو مبدأ شائع الاستخدام في الفيزياء والهندسة. ينص مبدأ التراكب على ما يلي: بالنسبة لجميع الأنظمة الخطية، فإن الاستجابة الكلية في مكان وزمان محددين والناتجة عن منبهين أو أكثر هي مجموع الاستجابات التي كان من الممكن أن يُحدثها كل منبه على حدة. بالنسبة لنظام خطي بسيط:

{\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})

،

x(0)=0

يعني بيان مبدأ التراكب $x = x p + x s$ ، حيث

{\dot {x}}_{p}=Ax_{p}+Bu_{1},x_{p}(0)=0

{\dot {x}}_{s}=Ax_{s}+Bu_{2},x_{s}(0)=0

من الواضح أن هذه النتيجة يمكن استخلاصها أيضًا من تحليل الحالة الجمعي. علاوة على ذلك، توجد علاقة بين مبدأ التراكب وتحليل الحالة الجمعي. من الجدول 1، يتضح أن تحليل الحالة الجمعي قابل للتطبيق ليس فقط على الأنظمة الخطية، بل أيضًا على الأنظمة غير الخطية.

	الأنظمة المناسبة	توكيد
مبدأ التراكب	خطي	تراكب
تفكيك الحالة الجمعية	خطي/غير خطي	التحلل

التطبيقات

يُستخدم تحليل الحالة الجمعي في التحكم المستقر، ^{[ 4 ]} ويمكن توسيعه ليشمل تحليل المخرجات الجمعي. ^{[ 5 ]}

مراجع

↑ أولوف ستافانز (24 فبراير 2005). الأنظمة الخطية جيدة التحديد . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 13 وما يليها. ISBN 978-0-521-82584-9.
↑ تقديم جودة الخدمة في بيئات غير متجانسة . إلسيفير. ص 626–. ISBN 978-0-444-51455-4.
↑ ديفيد آيزنبد (1 يوليو 1999). الجبر التبادلي، والهندسة الجبرية، والأساليب الحسابية . سبرينغر سنغافورة. ص 67 وما بعدها. ISBN 978-981-4021-50-0.
↑ كوان كوان، غوانغشون دو، كاي-يوان كاي. "التحكم الديناميكي المُستقر بالانعكاس باستخدام تحليل الحالة المضافة لفئة من أنظمة MIMO غير المؤكدة"، https://arxiv.org/abs/1211.6821
↑ كوان كوان، كاي يوان كاي. "التحكم في التتبع العكسي الديناميكي القائم على تحليل المخرجات المضافة لفئة من الأنظمة الخطية غير المؤكدة الثابتة زمنياً"، المؤتمر الحادي والخمسون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول القرار والتحكم، 2012، ماوي، هاواي، الولايات المتحدة الأمريكية، 2866-2871.

للمزيد من القراءة

كوان، كوان وكاي-يوان كاي (2009). "التحليل التجميعي وتطبيقاته في التتبع القائم على النموذج الداخلي". المؤتمر المشترك الثامن والأربعون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول التحكم واتخاذ القرارات والمؤتمر الصيني الثامن والعشرون للتحكم ، شنغهاي، الصين. 817-822.
كوان كوان، هاي لين، كاي يوان كاي (2014). "التحكم في تتبع التغذية الراجعة للمخرجات عن طريق تحليل الحالة الجمعي لفئة من الأنظمة غير المؤكدة"، المجلة الدولية لعلوم الأنظمة 45 (9): 1799-1813.
كوان كوان، كاي يوان كاي، هاي لين (2015). "إطار تحكم تتبعي قائم على تحليل الحالة المضافة لفئة من أنظمة الطور غير الأدنى ذات اللاخطية القابلة للقياس والاضطرابات غير المعروفة"، المجلة الدولية للتحكم القوي وغير الخطي 25 (2): 163-178
كوان كوان، لو جيانغ، كاي يوان كاي. "التحكم التكراري القوي ذو التغذية الراجعة للمخرجات في الزمن المتقطع لفئة من الأنظمة غير الخطية عن طريق تحليل الحالة الجمعية"

[Staffans2005-1] أولوف ستافانز (24 فبراير 2005). الأنظمة الخطية جيدة التحديد . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 13 وما يليها. ISBN 978-0-521-82584-9.

[2] تقديم جودة الخدمة في بيئات غير متجانسة . إلسيفير. ص 626–. ISBN 978-0-444-51455-4.

[Eisenbud1999-3] ديفيد آيزنبد (1 يوليو 1999). الجبر التبادلي، والهندسة الجبرية، والأساليب الحسابية . سبرينغر سنغافورة. ص 67 وما بعدها. ISBN 978-981-4021-50-0.

[4] كوان كوان، غوانغشون دو، كاي-يوان كاي. "التحكم الديناميكي المُستقر بالانعكاس باستخدام تحليل الحالة المضافة لفئة من أنظمة MIMO غير المؤكدة"، https://arxiv.org/abs/1211.6821

[5] كوان كوان، كاي يوان كاي. "التحكم في التتبع العكسي الديناميكي القائم على تحليل المخرجات المضافة لفئة من الأنظمة الخطية غير المؤكدة الثابتة زمنياً"، المؤتمر الحادي والخمسون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول القرار والتحكم، 2012، ماوي، هاواي، الولايات المتحدة الأمريكية، 2866-2871.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	8 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗