الأبعاد

بُعد الفضاء المتجهي هو عدد المتجهات في أي أساس لهذا الفضاء، أي عدد الإحداثيات اللازمة لتحديد أي متجه. يُشار إلى هذا المفهوم للبُعد ( عدد عناصر الأساس) غالبًا باسم بُعد هامل أو البُعد الجبري لتمييزه عن مفاهيم البُعد الأخرى.

بالنسبة للحالة غير الحرة ، فإن هذا يعمم إلى مفهوم طول الوحدة النمطية .

يمكن حساب البُعد المُحدد بشكل فريد لكل مشعب طوبولوجي متصل . المشعب الطوبولوجي المتصل متماثل محليًا مع الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، حيث يمثل العدد n بُعد المشعب.

بالنسبة للمشعبات التفاضلية المتصلة ، يكون البعد هو أيضًا بعد فضاء المتجهات المماسية عند أي نقطة.

في الطوبولوجيا الهندسية ، تتميز نظرية المتشعبات بسهولة التعامل مع الأبعاد 1 و2، بينما تُبسط الحالات ذات الأبعاد العالية (n > 4) بفضل وجود مساحة إضافية للعمل فيها؛ أما الحالتان n = 3 و 4 فتُعتبران من أصعب الحالات. وقد تجلى هذا الأمر بوضوح في مختلف حالات حدسية بوانكاريه ، حيث طُبقت أربع طرق إثبات مختلفة.

البعد المعقد

يعتمد بُعد المتشعب على الحقل الأساسي الذي يُعرَّف الفضاء الإقليدي بالنسبة إليه. وبينما يفترض التحليل عادةً أن المتشعب يقع على الأعداد الحقيقية ، فإنه من المفيد أحيانًا في دراسة المتشعبات المركبة والأصناف الجبرية العمل على الأعداد المركبة بدلاً من ذلك. العدد المركب (${\displaystyle x+iy}$) له جزء حقيقي${\displaystyle x}$وجزء خيالي${\displaystyle y}$، حيث${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$كلاهما أعداد حقيقية؛ وبالتالي، فإن البعد المركب هو نصف البعد الحقيقي.

في المقابل، في السياقات غير المقيدة جبريًا، يمكن تطبيق نظام إحداثيات عقدي واحد على جسم ذي بعدين حقيقيين. على سبيل المثال، يصبح سطح كروي ثنائي الأبعاد عادي ، عند إعطائه مقياسًا عقديًا، كرة ريمان ذات بُعد عقدي واحد. ^{[ 3 ]}

يمكن تعريف بُعد المتنوع الجبري بعدة طرق متكافئة. ولعلّ أكثرها بديهية هو بُعد الفضاء المماسي عند أي نقطة منتظمة في المتنوع الجبري . وهناك طريقة بديهية أخرى تتمثل في تعريف البُعد بأنه عدد المستويات الفائقة اللازمة لحدوث تقاطع مع المتنوع يُختزل إلى عدد محدود من النقاط (بُعد يساوي صفرًا). ويستند هذا التعريف إلى حقيقة أن تقاطع المتنوع مع مستوى فائق يُقلل البُعد بمقدار واحد، إلا إذا كان المستوى الفائق يحتوي على المتنوع.

بما أن المجموعة الجبرية هي اتحاد منتهٍ لمتنوعات جبرية، فإن بُعدها هو أكبر أبعاد مكوناتها. وهو يساوي أقصى طول للسلاسل.${\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{d}}$من الأنواع الفرعية للمجموعة الجبرية المعطاة (طول هذه السلسلة هو عدد "${\displaystyle \subsetneq }$").

يمكن اعتبار كل نوع من الأنواع بمثابة رزمة جبرية ، ويتطابق بُعده كنوع مع بُعده كرزمة. ومع ذلك، توجد العديد من الرزم التي لا تتوافق مع الأنواع، وبعضها له بُعد سالب. على وجه التحديد، إذا${\displaystyle V}$وهو نوع من الأبعاد${\displaystyle m}$و${\displaystyle G}$هي مجموعة جبرية ذات بُعد${\displaystyle n}$عند تطبيق ذلك على V ، يتم إنشاء مكدس القسمة${\displaystyle [V/G]}$له أبعاد${\displaystyle mn}$[ ^{4 ]​}

بُعد كرول لحلقة تبديلية هو أقصى طول لسلاسل المُثُل الأولية فيها، حيث تكون السلسلة ذات الطول n عبارة عن متتالية${\displaystyle {\mathcal {P}} _ {0}\subsetneq {\mathcal {P}} _ {1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathcal {P}}_ {n}}$من المُثُل الأولية المرتبطة بالتضمين. وهي ترتبط ارتباطًا وثيقًا ببعد التنوع الجبري، نظرًا للتوافق الطبيعي بين التنوعات الفرعية والمُثُل الأولية لحلقة كثيرات الحدود على التنوع.

بالنسبة للجبر على حقل ما ، يكون البعد كفضاء متجه محدودًا إذا وفقط إذا كان بعد كرول الخاص به يساوي 0.

لأي فضاء طوبولوجي عادي X ، يُعرَّف بُعد تغطية ليبيغ لـ X بأنه أصغر عدد صحيح n يحقق الشرط التالي: أي غطاء مفتوح له تنقيح مفتوح (غطاء مفتوح ثانٍ يكون كل عنصر فيه مجموعة جزئية من عنصر في الغطاء الأول) بحيث لا تحتوي أي نقطة على أكثر من n + 1 عنصر. في هذه الحالة، يكون بُعد X = n . بالنسبة لـ X متعدد الشعب، يتطابق هذا مع البُعد المذكور أعلاه. إذا لم يوجد عدد صحيح n يحقق هذا الشرط ، يُقال إن بُعد X لانهائي، ويُكتب dim X = ∞ . علاوة على ذلك، يكون بُعد X هو -1، أي dim X = -1 إذا وفقط إذا كان X فارغًا. يمكن تعميم هذا التعريف لبُعد التغطية من فئة الفضاءات العادية إلى جميع فضاءات تيكونوڤ بمجرد استبدال مصطلح "مفتوح" في التعريف بمصطلح " مفتوح وظيفيًا ".

يمكن تعريف البُعد الاستقرائي استقرائيًا كما يلي: لنفترض أن مجموعة منفصلة من النقاط (مثل مجموعة منتهية من النقاط) ذات بُعد صفري. بسحب جسم ذي بُعد صفري في اتجاه ما، نحصل على جسم ذي بُعد أحادي. بسحب جسم ذي بُعد أحادي في اتجاه جديد ، نحصل على جسم ذي بُعد ثنائي. عمومًا، نحصل على جسم ذي بُعد ( n + 1 ) بسحب جسم ذي بُعد n في اتجاه جديد . قد يُشير البُعد الاستقرائي للفضاء الطوبولوجي إلى البُعد الاستقرائي الصغير أو البُعد الاستقرائي الكبير ، وهو قائم على القياس القائل بأنه في حالة الفضاءات المترية، فإن الكرات ذات البُعد ( n + 1 ) لها حدود ذات بُعد n ، مما يسمح بتعريف استقرائي قائم على بُعد حدود المجموعات المفتوحة. علاوة على ذلك، فإن حدود مجموعة منفصلة من النقاط هي المجموعة الفارغة، وبالتالي يمكن اعتبار بُعد المجموعة الفارغة -1. ^{[ 5 ]}

وبالمثل، بالنسبة لفئة مركبات CW ، فإن بُعد الكائن هو أكبر قيمة n يكون عندها الهيكل العظمي ذو n بُعدًا غير تافه. ويمكن وصف ذلك بشكل بديهي كما يلي: إذا كان بالإمكان تشويه الفضاء الأصلي بشكل مستمر إلى مجموعة من المثلثات ذات الأبعاد الأعلى المتصلة عند أوجهها بسطح معقد، فإن بُعد الكائن هو بُعد تلك المثلثات. ^{[ 6 ]}

يُعدّ بُعد هاوسدورف مفيدًا لدراسة المجموعات ذات البنية المعقدة، وخاصةً الفراكتلات . يُعرَّف بُعد هاوسدورف لجميع الفضاءات المترية ، وعلى عكس الأبعاد المذكورة سابقًا، يمكن أن يأخذ قيمًا حقيقية غير صحيحة. ^{[ 7 ]} يُعدّ بُعد الصندوق أو بُعد مينكوفسكي صيغةً أخرى للفكرة نفسها. عمومًا، توجد تعريفات أخرى لأبعاد الفراكتلات تُناسب المجموعات غير المنتظمة للغاية وتُعطي قيمًا حقيقية موجبة غير صحيحة.

كل فضاء هيلبرت يقبل أساسًا متعامدًا ، وأي أساسين من هذا القبيل لفضاء معين لهما نفس العدد . يُسمى هذا العدد بُعد فضاء هيلبرت. يكون هذا البُعد منتهيًا إذا وفقط إذا كان بُعد هاميل للفضاء منتهيًا، وفي هذه الحالة يتطابق البُعدان.

تصف نظريات الفيزياء الكلاسيكية ثلاثة أبعاد فيزيائية : انطلاقًا من نقطة معينة في الفضاء ، تكون الاتجاهات الأساسية التي يمكننا التحرك فيها هي: أعلى/أسفل، يمين/يسار، وأمام/خلف. ويمكن التعبير عن الحركة في أي اتجاه آخر بدلالة هذه الاتجاهات الثلاثة فقط. فالتحرك لأسفل يُعادل التحرك لأعلى مسافة سالبة. أما التحرك قطريًا لأعلى وللأمام فهو كما يوحي اسمه ، أي التحرك في مسار خطي يجمع بين الأعلى والأمام. في أبسط صورها: يصف الخط بُعدًا واحدًا، ويصف المستوى بُعدين، ويصف المكعب ثلاثة أبعاد. (انظر: الفضاء ونظام الإحداثيات الديكارتية ).

عدد الأبعاد	أنظمة الإحداثيات مثال
1	خط الأرقام زاوية
2	الإحداثيات الديكارتية (ثنائية الأبعاد)  بولار خطوط العرض والطول
3	الإحداثيات الديكارتية (ثلاثية الأبعاد)  أسطواني كروي

البُعد الزمني ، أو بُعد الزمن ، هو بُعدٌ من أبعاد الزمن. يُشار إلى الزمن غالبًا باسم " البُعد الرابع " لهذا السبب، ولكن هذا لا يعني أنه بُعد مكاني. ^{[ 8 ]} يُعد البُعد الزمني إحدى طرق قياس التغير الفيزيائي. ويُدرك بشكل مختلف عن الأبعاد المكانية الثلاثة، إذ أنه بُعد واحد فقط، ولا يمكننا التحرك بحرية في الزمن، بل نتحرك بشكل ذاتي في اتجاه واحد .

لا تتعامل المعادلات المستخدمة في الفيزياء لنمذجة الواقع مع الزمن بالطريقة التي يدركها البشر عادةً. فمعادلات الميكانيكا الكلاسيكية متناظرة بالنسبة للزمن ، ومعادلات ميكانيكا الكم متناظرة عادةً إذا عُكس كل من الزمن والكميات الأخرى (مثل الشحنة والتكافؤ ). في هذه النماذج، يُعدّ إدراك تدفق الزمن في اتجاه واحد نتاجًا لقوانين الديناميكا الحرارية ( إذ نُدرك الزمن على أنه يتدفق في اتجاه تزايد الإنتروبيا ).

أشهر معالجة للزمن كبعد مكاني هي نظرية النسبية الخاصة لبوانكاريه وأينشتاين ( والتي امتدت لاحقًا إلى النسبية العامة )، والتي تُعامل المكان والزمان المُدرَكين كمكونات لمتشعب رباعي الأبعاد ، يُعرف باسم الزمكان ، وفي الحالة الخاصة المسطحة يُعرف باسم فضاء مينكوفسكي . يختلف الزمن عن الأبعاد المكانية الأخرى ، إذ يعمل في جميع الأبعاد المكانية. فهو يعمل في الأبعاد المكانية الأول والثاني والثالث، بالإضافة إلى الأبعاد المكانية النظرية كالبعد المكاني الرابع . مع ذلك، لا يوجد الزمن في نقطة واحدة ذات تفرد مطلق لانهائي كما هو مُعرَّف كنقطة هندسية ، لأن النقطة المتناهية الصغر لا يمكن أن تتغير، وبالتالي لا يوجد لها زمن. وكما يتحرك الجسم عبر مواقع في الفضاء، فإنه يتحرك أيضًا عبر مواقع في الزمن. وبهذا المعنى، فإن القوة التي تُحرك أي جسم للتغيير هي الزمن . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

في الفيزياء، يُعتبر ثلاثة أبعاد للمكان وبُعد واحد للزمان هو المعيار المقبول. مع ذلك، توجد نظريات تسعى لتوحيد القوى الأساسية الأربع بإدخال أبعاد إضافية / فضاء فائق . ومن أبرزها نظرية الأوتار الفائقة التي تتطلب عشرة أبعاد للزمكان، وهي مُنبثقة من نظرية أكثر جوهرية ذات أحد عشر بُعدًا تُسمى مبدئيًا نظرية إم، والتي تشمل خمس نظريات أوتار فائقة كانت مُنفصلة سابقًا. كما تُروج نظرية الجاذبية الفائقة لفكرة أن الزمكان ذو أحد عشر بُعدًا = فضاء فائق ذو سبعة أبعاد + أربعة أبعاد مشتركة. حتى الآن، لا يوجد دليل تجريبي أو رصدي مباشر يدعم وجود هذه الأبعاد الإضافية. إذا كان الفضاء الفائق موجودًا، فلا بد أنه مخفي عنا بواسطة آلية فيزيائية ما. أحد الاحتمالات التي دُرست جيدًا هو أن الأبعاد الإضافية قد تكون "مُلتفة" ( مُضغوطة ) على مقاييس متناهية الصغر بحيث تكون غير مرئية فعليًا للتجارب الحالية.

في عام ١٩٢١، قدمت نظرية كالوزا-كلاين بُعدًا خماسي الأبعاد، بما في ذلك بُعد إضافي للفضاء. على مستوى نظرية الحقل الكمومي ، توحد هذه النظرية الجاذبية مع تفاعلات القياس ، انطلاقًا من إدراك أن الجاذبية المنتشرة في أبعاد إضافية صغيرة ومضغوطة تُكافئ تفاعلات القياس على مسافات طويلة. وعندما تكون هندسة الأبعاد الإضافية بسيطة، فإنها تُحاكي الكهرومغناطيسية . مع ذلك، عند الطاقات العالية أو المسافات القصيرة، لا يزال هذا النموذج يعاني من نفس المشكلات التي تُعيق المحاولات المباشرة لوصف الجاذبية الكمومية . لذا، لا تزال هذه النماذج بحاجة إلى إكمال فوق بنفسجي ، من النوع الذي تهدف نظرية الأوتار إلى توفيره. فعلى وجه الخصوص، تتطلب نظرية الأوتار الفائقة ستة أبعاد مضغوطة (فضاء فائق سداسي الأبعاد) تُشكل مشعب كالابي-ياو . وبالتالي، يُمكن اعتبار نظرية كالوزا-كلاين إما وصفًا غير مكتمل بحد ذاته، أو جزءًا من بناء نموذج نظرية الأوتار.

إضافةً إلى الأبعاد الإضافية الصغيرة والملتوية، قد توجد أبعاد إضافية أخرى غير ظاهرة لأن المادة المرتبطة بكوننا المرئي متمركزة في فضاء فرعي ذي (3+1) أبعاد . وبالتالي، لا يشترط أن تكون الأبعاد الإضافية صغيرة ومضغوطة، بل قد تكون كبيرة . تُعدّ أغشية D أجسامًا ديناميكية ممتدة ذات أبعاد مختلفة، تنبأت بها نظرية الأوتار، ويمكن أن تؤدي هذا الدور. تتميز هذه الأغشية بأن إثارات الأوتار المفتوحة، المرتبطة بتفاعلات القياس، محصورة داخل الغشاء عند نقاط نهايتها، بينما الأوتار المغلقة التي تتوسط التفاعل الجاذبي حرة في الانتشار في كامل الزمكان، أو "الكتلة". قد يرتبط هذا بتفسير سبب كون الجاذبية أضعف أُسّيًا من القوى الأخرى، إذ أنها تُخفف نفسها فعليًا عند انتشارها في حجم ذي أبعاد أعلى.

طُبقت بعض جوانب فيزياء الأغشية على علم الكونيات . فعلى سبيل المثال، يحاول علم الكونيات الغازي الغشائي ^{[ 12 ] [ 13 ]} تفسير وجود ثلاثة أبعاد للفضاء باستخدام اعتبارات طوبولوجية وديناميكية حرارية. ووفقًا لهذه الفكرة، فإن ثلاثة أبعاد هي أكبر عدد من الأبعاد المكانية التي يمكن أن تتقاطع فيها الأوتار بشكل عام. إذا كانت هناك في البداية العديد من لفات الأوتار حول أبعاد مضغوطة، فلن يتوسع الفضاء إلى أحجام ماكروسكوبية إلا بعد إزالة هذه اللفات، الأمر الذي يتطلب أن تجد الأوتار الملتفة في اتجاهين متعاكسين بعضها البعض وتفني. ولكن لا يمكن للأوتار أن تجد بعضها البعض لتفني إلا بمعدل معقول في ثلاثة أبعاد، لذا يترتب على ذلك أنه لا يُسمح إلا لثلاثة أبعاد من الفضاء بالنمو بشكل كبير في ظل هذا النوع من التكوين الأولي. ويُقال إن الأبعاد الإضافية عالمية إذا كانت جميع الحقول حرة بالتساوي في الانتشار داخلها.