برهان تحليلي

في الرياضيات ، يُعرف البرهان التحليلي بأنه برهان لنظرية في التحليل الرياضي يعتمد فقط على أساليب التحليل، ولا يعتمد بشكل أساسي على الأساليب الجبرية أو الهندسية . وقد استخدم هذا المصطلح لأول مرة برنارد بولزانو ، الذي قدم برهانًا غير تحليلي لنظرية القيمة المتوسطة ، ثم بعد عدة سنوات قدم برهانًا آخر للنظرية خالٍ من أي مفاهيم بديهية تتعلق بتقاطع الخطوط عند نقطة معينة، ولذلك اعتبره بولزانو برهانًا تحليليًا (بولزانو، 1817).

شجعت أعمال بولزانو الفلسفية على قراءة أكثر تجريدًا لمفهوم البرهان التحليلي، حيث يكون البرهان تحليليًا إذا لم يتجاوز موضوعه (سيباستيك، 2007). في نظرية البرهان ، أصبح البرهان التحليلي يعني برهانًا يتميز ببساطة هيكله بطريقة خاصة، وذلك بفضل الشروط المفروضة على نوع الاستدلالات التي تضمن عدم تجاوز أي منها لما هو وارد في الافتراضات وما تم إثباته.

في نظرية البرهان، يُقدّم مفهوم البرهان التحليلي المفهوم الأساسي الذي يُبرز أوجه التشابه بين عدد من حسابات البرهان المتميزة جوهريًا ، وبالتالي يُعرّف فرعًا من نظرية البرهان البنيوية . لا يوجد تعريف عام مُتفق عليه للبرهان التحليلي، ولكن يوجد مفهوم مُعتمد لبعض حسابات البرهان. على سبيل المثال:

• في حساب الاستدلال الطبيعي لغيرهارد جينتزن ، تكون البراهين التحليلية هي تلك الموجودة في الشكل الطبيعي؛ أي أن عدم ظهور أي صيغة هو كل من المقدمة الرئيسية لقاعدة الحذف ونتيجة قاعدة الإدخال؛
• في حساب التفاضل والتكامل المتتالي لجينتزن، البراهين التحليلية هي تلك التي لا تستخدم قاعدة القطع .

مع ذلك، من الممكن توسيع قواعد الاستدلال لكلا الحسابين بحيث توجد براهين تحقق الشرط ولكنها ليست تحليلية. على سبيل المثال، من الأمثلة المعقدة على ذلك قاعدة القطع التحليلية ، المستخدمة على نطاق واسع في طريقة الجدول ، وهي حالة خاصة من قاعدة القطع حيث تكون صيغة القطع صيغة فرعية من الصيغ الجانبية لقاعدة القطع: البرهان الذي يحتوي على قطع تحليلي يكون، بحكم تلك القاعدة، غير تحليلي.

علاوة على ذلك، فإن حسابات البرهان التي لا تُشابه حسابات جنتزن لها مفاهيم أخرى للبرهان التحليلي. فعلى سبيل المثال، يُنظّم حساب البنى قواعد الاستدلال في أزواج، تُسمى الجزء العلوي والجزء السفلي، والبرهان التحليلي هو البرهان الذي يحتوي فقط على الجزء السفلي.

• الدلالات القائمة على نظرية البرهان

• برنارد بولزانو (1817). برهان تحليلي بحت لنظرية مفادها أنه بين أي قيمتين تعطيان نتائج بإشارتين متعاكستين، يوجد على الأقل جذر حقيقي واحد للمعادلة. في: Abhandlungen der koniglichen bohmischen Gesellschaft der Wissenschaften ، المجلد الخامس، الصفحات 225-248.
• فرانك بفينينغ (1984). البراهين التحليلية وغير التحليلية. في وقائع المؤتمر الدولي السابع حول الاستدلال الآلي .
• يان شيبستيك (2007). منطق بولزانو . مدخل في موسوعة ستانفورد للفلسفة .