التحليل الرياضي

تطور التحليل الرياضي رسميًا في القرن السابع عشر خلال الثورة العلمية ، ^{[ 1 ]} لكن يمكن تتبع العديد من أفكاره إلى علماء رياضيات سابقين. كانت النتائج المبكرة في التحليل حاضرة ضمنيًا في بدايات الرياضيات اليونانية القديمة . على سبيل المثال، يُعد المجموع الهندسي اللانهائي ضمنيًا في مفارقة زينون للثنائية . ^{[ 2 ]} (بالمعنى الدقيق، تكمن فكرة المفارقة في إنكار وجود المجموع اللانهائي). لاحقًا، استخدم علماء الرياضيات اليونانيون ، مثل إيدوكسوس وأرخميدس ، مفاهيم النهايات والتقارب بشكل أكثر وضوحًا، وإن كان غير رسمي، عندما استخدموا طريقة الاستنفاد لحساب مساحة وحجم المناطق والمجسمات. ^{[ 3 ]} يظهر الاستخدام الصريح للمتناهيات في الصغر في كتاب أرخميدس " طريقة النظريات الميكانيكية" ، وهو عمل أُعيد اكتشافه في القرن العشرين. ^{[ ٤ ]} في آسيا، استخدم عالم الرياضيات الصيني ليو هوي طريقة الاستنفاد في القرن الثالث الميلادي لإيجاد مساحة الدائرة. ^{[ ٥ ]} من الأدب الجيني، يبدو أن الهندوس كانوا يمتلكون صيغ مجموع المتسلسلات الحسابية والهندسية في وقت مبكر من القرن الرابع قبل الميلاد. ^{[ ٦ ]} استخدم أشاريا بهادراباهو مجموع متسلسلة هندسية في كتابه كالبا سوترا عام ٤٣٣ قبل الميلاد . ^{[ ٧ ]} 

خلال العصور الوسطى، طوّر علماء الرياضيات في العديد من المدارس الرياضية أساليبَ استبقت مواضيعَ لاحقةً في التحليل الرياضي، بما في ذلك التكامل العددي، والمتسلسلات اللانهائية، والاستدلال اللامتناهي، والتقريب، والدراسة الرياضية للحركة. في العالم الإسلامي، عمل ابن الهيثم على مجاميع القوى ومسائل المساحة، وعمّم إبراهيم بن سنان أساليب أرخميدس في التكامل العددي للقطع المكافئ. ^{[ 8 ] [ 9 ]} في أوروبا في العصور الوسطى، درس علماء أكسفورد الحركة المتسارعة بانتظام، وقدّمت نيكول أورسم برهانًا بيانيًا لنظرية السرعة المتوسطة ، ممثلةً الإزاحة بالمساحة تحت منحنى السرعة-الزمن. كما استخدمت أورسم المتسلسلات اللانهائية وأثبتت تباعد المتسلسلة التوافقية . ^{[ 10 ]} في الهند، استخدم بهاسكارا الثاني الاستدلال اللامتناهي وذكر نتائجَ تتعلق بما يُعرف الآن بنظرية رول ، وطوّرت مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات ، وخاصةً مادهافا ، متسلسلات لانهائية للدوال المثلثية. ^{[ 11 ]} لم تكن هذه التطورات تحليلًا رياضيًا بالمعنى الحديث، ولكنها كانت مقدمات مهمة للتفاضل والتكامل والتحليل.

كانت مسائل طبيعة المتصل ذات أهمية بالغة لفلاسفة أوروبا في العصور الوسطى. وعلى وجه الخصوص، ما إذا كان المتصل قابلاً للتقسيم إلى ما لا نهاية، وما إذا كان يتألف من نقاط. وقد خلصت مؤلفات أرسطو، التي لم تنتشر على نطاق واسع في أوروبا إلا في القرن الثالث عشر، إلى أن المتصل لا يتكون من نقاط؛ فلو كان كذلك، لكانت النقاط متجاورة، وهو ما يتعارض مع عدم قابلية المتصل للانفصال. وفي القرن الرابع عشر، وصف توماس برادوردين المتصل بأنه يتكون من مجموعة لا نهائية من المتناهيات في الصغر في كتابه "رسالة في المتصل" ، وليس من نقاط. وعلى النقيض من ذلك، رأى ويليام الأوكام أن المتصل يتكون من نقاط فعلية. كما كتب أرسطو عن طبيعة اللانهاية، مصنفًا نوعين مختلفين منها: اللانهاية الكامنة واللانهاية الفعلية . بالنسبة لفلاسفة أوروبا في العصور الوسطى، شكّلت طبيعة اللانهاية إشكالياتٍ لأفكار قابلية القسمة اللانهائية والمتناهيات في الصغر، لأنه إذا كان جزءٌ من متصلٍ ما متناهيًا في الصغر، فإن نسبته إلى المتصل ككل ستكون لانهائية، مما سيؤدي إلى مفارقاتٍ عديدة. كتب ريتشارد سوينزهيد في كتابه "ليبر كالكاونتم" أن هذه النسب يجب أن تُترك ببساطة دون تعريف، وأن النقاشات حول اللانهاية لا تُجرى كنقاشاتٍ حول الكميات المحدودة. هذه بعضٌ من أقدم البذور في التراث الأوروبي التي ظهرت فيها آراء لايبنتز حول المتصل بعد نحو ثلاثة قرون، مع إشارة لايبنتز صراحةً إلى سوينزهيد. ^{[ 12 ]}

في أوائل القرن السابع عشر، أصبحت الأساليب التي سبقت حساب التفاضل والتكامل أكثر منهجية. استخدم يوهانس كيبلر حجج التناقص في الصغر والجمع في مسائل المساحة والحجم، وربط غاليليو غاليلي الرياضيات بدراسة الحركة، وطوّر بونافنتورا كافالييري طريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة، ووسّع إيفانجيليستا توريتشيلي هذه الأساليب في الهندسة والميكانيكا. لم تُشكّل هذه الأعمال بعدُ التحليل الرياضي بالمعنى الحديث، لكنها ساعدت في تحويل هذا المجال من الإنشاءات الهندسية الكلاسيكية إلى أساليب عامة لمعالجة الكميات المتصلة، والمماسات، والمساحات، والأحجام، والحركة. وأصبح التطوير اللاحق لحساب التفاضل والتكامل على يد نيوتن وليبنيز نقطة انطلاق للكثير من التحليلات اللاحقة. ^{[ 13 ]}

تُشكّل الأعداد الحقيقية الإطار المعياري لكثير من التحليل الكلاسيكي. وتُشكّل كمالها، الذي يُعبّر عنه غالبًا بخاصية الحد الأعلى الأدنى ، أساسًا للنتائج الأساسية المتعلقة بالنهايات ، والاستمرارية ، والتفاضل ، والتكامل .

يلعب التقريب دورًا أساسيًا في العديد من فروع الرياضيات. ومن الأمثلة على ذلك نهاية متتالية الأعداد الحقيقية. متتالية الأعداد الحقيقية هي عائلة من${\displaystyle a_{1},a_{2}\ldots }$من الأعداد الحقيقية، كل منها مُفهرس بعدد طبيعي. يُقال إن المتتالية تتقارب إلى حدٍّ ما.${\displaystyle L}$إذا كانت جميع عناصر المتتالية تقريبًا قريبة بشكل تعسفي من${\displaystyle L}$وبشكل أدق، هذا يعني أنه لأي هامش خطأ مسموح به${\displaystyle \epsilon }$جميع عناصر التسلسل تقع ضمن${\displaystyle \epsilon }$ل${\displaystyle L}$باستثناء ربما عدد محدود من عناصر المتتالية. رسميًا، لأي خطأ${\displaystyle \epsilon >0}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle N}$بحيث $${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$$ حينما${\displaystyle n>N}$.

يوضح هذا المثال استخدام التقريب: العناصر${\displaystyle a_{n}}$قَرِّب العدد${\displaystyle L}$، ونسبة الخطأ المسموح بها هي${\displaystyle \epsilon }$ومع ذلك، فإن التقارب وحده لا يوفر معلومات حول مدى جودة التقريب، والعديد من النتائج في التحليل تتعلق بجودة التقريب.

مثال آخر يأتي من حساب التفاضل والتكامل. دالة حقيقية${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل عند نقطة${\displaystyle a}$إذا كانت هناك دالة خطية${\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(xa)}$وهذا يقارب الدالة جيدًا بالقرب من النقطة${\displaystyle x=a}$لكن كلمة "جيد" هنا تعني فقط أن خطأ التقريب $${\displaystyle |f(x)-L(x)|=o(xa)}$$ أين${\displaystyle o(xa)}$هي دالة تميل إلى الصفر أسرع من${\displaystyle xa}$مثل${\displaystyle x\to a}$توفر التقريبات الأفضل تقديرات أكثر اتساقًا وكمية لحجم حد الخطأ. على سبيل المثال، تنص نظرية تايلور على أنه بالنسبة لدالة قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر على فترة مغلقة تحتوي على${\displaystyle a}$$${\displaystyle |f(x)-L(x)|\leq M(xa)^{2}}$$ أين${\displaystyle M}$يمكن تقديرها بشكل صريح باستخدام المشتقة الثانية. وهذا يسمح بتحديد الخطأ في التقريب الخطي بدقة أكبر بكثير من قابلية التفاضل عند النقطة.

عدم المساواة${\displaystyle |f(x)-L(x)|\leq M(xa)^{2}}$يُعد هذا مثالاً لما يُسمى بالتقدير في التحليل. التقديرات عبارة عن متباينات تُستخدم لتحديد مقدار الخطأ في التقريب، وكذلك بشكل أعم للتعبير عن أن عملية معينة تخضع للتحكم (الحدود) بواسطة عملية أخرى.

يلعب الاتصال دورًا محوريًا في التحليل. في التحليل الابتدائي، يُعرَّف مفهوم الدالة المتصلة باستخدام تعريف إبسيلون-دلتا . باختصار، تكون الدالة متصلة عند نقطة ما إذا كانت التغيرات الصغيرة في المدخلات تُحدث تغيرات صغيرة في المخرجات. هذا يستبعد وجود "قفزات" في رسم الدالة، أو أي سلوك تذبذبي غير طبيعي.

يُعدّ الاتصال خاصيةً مهمةً في التحليل، إذ يسمح بالتحكم الموضعي في الدالة، ما يُفضي إلى استنتاجات شاملة عند دمجه مع فرضيات إضافية كالاتصال أو التراص. فعلى سبيل المثال، تتمتع الدوال الحقيقية المتصلة على فترات بخاصية القيمة المتوسطة ، كما تبلغ الدوال الحقيقية المتصلة على مجموعات متراصة قيمًا عظمى وصغرى . وتُعتبر الدوال المتصلة على فضاءات مترية متراصة متصلةً بانتظام ، أي أن الدالة تتذبذب على نطاق متقارب في جميع أنحاء المجال. تُشكّل هذه النتائج أدوات أساسية في حساب التفاضل والتكامل، والتحسين، والمعادلات التفاضلية، ونظرية التقريب.

تُعمَّم الدوال المتصلة بسهولة إلى الفضاءات المترية وغيرها من الفضاءات الطوبولوجية . وتُعدّ فضاءات الدوال المتصلة من بين أكثر الفضاءات دراسةً في التحليل الوظيفي ، حيث تُوفّر أدواتٍ هيكليةً مفيدةً لاستكشاف الفضاء. وفي المعادلات التفاضلية، تُعتبر الاتصالية أيضًا شرطًا أساسيًا للانتظام: ففي التحليلات المتقدمة، تُظهر نظريات الانتظام غالبًا أن الكائنات المُعرَّفة في البداية تعريفًا ضعيفًا، أو في كل مكان تقريبًا ، أو توزيعيًا، لها ممثلون متصلون في ظل فرضيات إضافية، وبالتالي يُمكن التعامل معها كدوال مستقلة بدلًا من كائنات أكثر عمومية.

الفضاء المتري هو مجموعة يتم فيها تعريف مفهوم المسافة (يسمى المقياس ) بين عناصر المجموعة.

يتم إجراء جزء كبير من التحليل في فضاء متري معين؛ وأكثرها استخدامًا هي خط الأعداد الحقيقية ، والمستوى المركب ، والفضاء الإقليدي ، وفضاءات المتجهات الأخرى ، والأعداد الصحيحة .

يهتم جزء كبير من التحليل الوظيفي بفضاءات الدوال ، التي يمكن إعطاؤها بنية فضاء متري، مثل فضاءات باناخ وفضاءات هيلبرت . في العديد من هذه الأمثلة، يُستمد المقياس من معيار . على سبيل المثال، فضاء الدوال الحقيقية المتصلة.${\displaystyle C([0,1])}$الفضاء على الفترة [0, 1] هو فضاء باناخ تحت معيار السوبريموم . أما الفضاءات ذات الأهمية الأساسية في نظرية القياس والتحليل التوافقي فهي فضاءات L ^p ، وهي فضاءات مترية تستمد مقاييسها بدورها من معيار، وهي كاملة ؛ أي أنها فضاءات باناخ.

تُعدّ الفضاءات المترية ملائمة للغاية في التحليل، إذ إنّ العديد من نتائج التقريب القوي التي تنطبق على الفضاء الإقليدي قابلة للتطبيق على الفضاءات المترية مع تغييرات طفيفة. على سبيل المثال، يُكافئ التراص في الفضاءات المترية التراص التسلسلي، لذا فإنّ استدلالات النهايات في الفضاءات المترية تُصبح أسهل نسبيًا مقارنةً بالفضاءات الأكثر عمومية في التحليل. وتكتسب الفضاءات المترية المتراصة والفضاءات المترية الكاملة أهمية خاصة في التحليل، حيث تتطلب العديد من الاستدلالات وجود النهايات.

تُعدّ الأعداد المركبة أداةً مهمةً أخرى للعديد من المعادلات التحليلية. تُسمى الدالة ذات القيم المركبة لمتغير مركب دالة تحليلية إذا كانت مشتقتها موجودةً كحدٍّ مركب عند كل نقطة من مجالها. الدوال التحليلية أكثر صلابةً من الدوال القابلة للتفاضل لمتغير حقيقي: فهي دوال تحليلية ، تُمثَّل محليًا بمتسلسلات قوى متقاربة.

تُعدّ التكاملات الكفافية أداةً مهمةً في المتغيرات المركبة ، حيث تُكامل الدوال على طول المنحنيات في المستوى المركب. تربط نظرية كوشي التكاملية ، وصيغة كوشي التكاملية ، ونظرية البواقي ، قيم الدوال التحليلية أو الميرومورفية بسلوكها على المنحنيات وبالقرب من النقاط الشاذة. تسمح هذه النتائج بتغيير الكفافات عند تكامل دالة تحليلية، شريطة ألا يتقاطع تشوه الكفاف مع نقطة شاذة. يُفيد هذا في حساب العديد من التكاملات الحقيقية، وفي دراسة الدوال من خلال نقاطها الشاذة.

في نظرية المؤثرات ونظرية الأطياف ، يُشفّر مُحلِّل المؤثر معلوماتٍ حول طيفه ، وغالبًا ما يسمح بتعريف دوال المؤثرات عن طريق التكامل المركب. وهكذا، تظهر المتغيرات المركبة في سياق المعادلات التفاضلية والتكاملية، ومسائل القيم الذاتية، ونظرية المؤثرات الخطية.

تُقدّم نظرية القياس طريقةً منهجيةً لتحديد أحجام المجموعات الجزئية في الفضاء، بطريقةٍ تُعمّم مفاهيم الطول والمساحة والحجم في الفضاء الإقليدي. بشكلٍ مجرد، تبدأ نظرية القياس بتحديد فئة من المجموعات القابلة للقياس ، أي المجموعات التي لها قياس. تُشكّل المجموعات القابلة للقياس جبر سيجما ، ما يعني إمكانية حساب الاتحادات والتقاطعات القابلة للعد، بالإضافة إلى مُكمّلات المجموعات. ثم تُعرّف القياسات بطريقةٍ تتوافق مع عمليات المجموعات على المجموعات القابلة للقياس.

في نظرية القياس، يمكن استبدال التقارب النقطي للدوال بمفهوم التقارب شبه الكامل ، أي التقارب عند كل نقطة باستثناء مجموعة قياسها صفر. يُعدّ التقارب شبه الكامل أكثر ملاءمة في نظرية القياس: فغالبًا ما تعجز أنواع التقارب المتوسط ​​المختلفة عن تحديد مجموعة دقيقة يفشل عندها التقارب النقطي، ولكنها تضمن أن يكون قياس هذه المجموعة صفرًا. غالبًا ما تُعرَّف الدوال إذا كانت متطابقة تقريبًا في كل مكان، أي خارج مجموعة قياسها صفر. لذا، غالبًا ما تُتجاهل مجموعات القياس الصفري عمليًا.

يُعدّ تكامل لوبيغ امتدادًا لتكامل ريمان ، وهو أكثر ملاءمةً لعمليات التحليل الحدية. وتتلخص فكرة تكامل لوبيغ، بالنسبة للدوال غير السالبة، في${\displaystyle f}$من الممكن إعادة ترتيب قيم الدالة لتكوين دالة متناقصة، باستخدام مقياس مجموعاتها العليا لتحديد هذا الترتيب. تتميز الدوال المتناقصة بخصائص حدية أفضل عند التكامل، ويمكن نقل هذا السلوك الجيد إلى تكامل لوبيغ. توجد نظريات مثل التقارب الرتيب ، ومبرهنة فاتو ، ومبرهنة التقارب المسيطر ، التي تُبسط العديد من حجج النهايات.

تُوفّر نظرية القياس أيضاً الأسس الرياضية لنظرية الاحتمالات . فضاء الاحتمال هو فضاء قياس يكون قياسه الكلي واحداً، والقيم المتوقعة هي تكاملات بالنسبة إلى قياس الاحتمال هذا.

تُعرَّف العديد من فضاءات الدوال في التحليل باستخدام المقاييس. تتكون فضاءات L ^p من دوال قابلة للتكامل من حيث القوى، وتُعرَّف الدوال بأنها تلك التي تتطابق تقريبًا في كل مكان. تُعد هذه الفضاءات مهمة في جميع فروع التحليل، كما هو الحال في التحليل التوافقي والمعادلات التفاضلية الجزئية .

من المواضيع الأخرى في التحليل تفكيك الدوال إلى أجزاء أبسط، بناءً على التناظر أو المقياس أو التذبذب. والمثال النموذجي على ذلك هو متسلسلة فورييه ، التي تحلل دالة دورية إلى دوال جيبية أساسية . وتأخذ متسلسلة فورييه شكل متسلسلة مثلثية.$${\displaystyle \sum _{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{in\theta }}$$ أين${\displaystyle c_{n}}$هي أعداد مركبة و${\displaystyle \theta }$هو المتغير المستقل.

تُعدّ متسلسلة فورييه مثالاً على توسيع الدوال الذاتية ، مع الدوال الأسية.${\displaystyle e^{in\theta }}$هي الدوال الذاتية لمجموعة الدوران المؤثرة على الدائرة. تتميز هذه الدوال بخاصية التوسع المتعامد: أي دالتين ذاتيتين تكونان متعامدتين في فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي على الدائرة. تظهر توسعات الدوال الذاتية في العديد من مجالات التحليل الرياضي، وخاصة في تطبيقاته العلمية حيث يكون التناظر ذا أهمية بالغة. مثال على نوع مختلف من توسعات الدوال الذاتية هو تحليل دالة على الكرة إلى توافقيات كروية . مرة أخرى، هذا توسع متعامد، وتؤدي خاصية التعامد إلى عزل كل فضاء بشكل قابل للمعالجة.

يمكن استخدام المتسلسلات لدراسة التقارب والتقريب، والسلاسة والتذبذب، والتضاؤل، وحلول المعادلات التفاضلية. على سبيل المثال، تربط فضاءات سوبوليف سلاسة الدوال بتضاؤل ​​معاملات فورييه الخاصة بها. ويمكن لهذه التمثيلات أن تُظهر معلومات هيكلية قد يصعب استخلاصها من الشكل الأصلي للدالة.

تحليل فورييه هو دراسة مثل هذه التفكيكات، ويركز بشكل أساسي على تحويل فورييه وبعض تعميماته.

تتعلق العديد من مسائل التحليل بكيفية تغير الكميات بمرور الوقت أو عند تطبيق قاعدة ما بشكل متكرر. ويؤدي هذا إلى المعادلات التفاضلية العادية والمعادلات التفاضلية الجزئية ، حيث تُدرس الدوال التي تحقق مشتقاتها علاقات محددة. أما عند تطبيق قاعدة ما بشكل متكرر، فتُدرس تكرارات دالة أو تحويل، مما يُنتج أنظمة ديناميكية منفصلة .

تشمل المسائل التحليلية في الديناميكا وجود الحلول وتفردها، والاستقرار ، وتقريب المسارات، والسلوك على المدى الطويل، والاعتماد على الشروط الابتدائية . على سبيل المثال، قد تحدد معادلة تفاضلية تدفقًا في فضاء ما، بينما ينتج عن تكرار دالة ما مدارًا. تُستخدم الأدوات التحليلية لتحديد ما إذا كانت هذه المدارات تتقارب، أو تبقى محدودة، أو تصبح دورية، أو تُظهر سلوكًا أكثر تعقيدًا.

تُعدّ الديناميكا تطبيقًا هامًا للأساليب التحليلية، وتُفضي إلى أفكار وتقنيات ضمن التحليل نفسه. في نظرية الإرجودية ، تتمثل العناصر الأساسية في التحويلات التي تحافظ على القياس، ويُطرح التساؤل حول كيفية ارتباط المتوسطات الزمنية على طول المدارات بالمتوسطات المكانية على مستوى النظام بأكمله. تتناول النظرية الأساسية ما إذا كانت المتوسطات الزمنية للدوال تُساوي متوسطاتها المكانية تحت مدار النظام، ومدى سرعة حدوث هذا التقريب. في التحليل الوظيفي، غالبًا ما تُدرس مسائل التطور باستخدام عائلات من المؤثرات ذات مُعامل واحد، مثل أنصاف زمر المؤثرات ، التي تُعمم الدالة الأسية من الأعداد أو المصفوفات إلى الفضاءات اللانهائية الأبعاد.

تدرس العديد من مجالات التحليل المؤثرات، مثل المؤثرات التفاضلية والتكاملية والتحويلات الخطية على فضاء الدوال أو أي فضاء متجهي طوبولوجي آخر . يمكن للمؤثرات أن تُشفّر معلومات مثل تطور نظام ما، أو معادلة تفاضلية أو تكاملية ، أو حالة كمومية أو كمية قابلة للرصد . تسمح النظرية الطيفية للمؤثرات بتقسيمها إلى أجزاء وتمثيلها، مما يُعمّم جوانب تحليل القيم الذاتية من الجبر الخطي إلى أبعاد لا نهائية. وكما هو الحال في الجبر الخطي، غالبًا ما يكون من الممكن فهم المؤثر بشكل أعمق من خلال تحليله الطيفي.

التفاضل والتكامل فرع من فروع التحليل الرياضي يُعنى أساسًا بالحسابات والتطبيقات. ^{[ 17 ] [ 18 ]} وينقسم التفاضل والتكامل إلى فرعين رئيسيين: التفاضل والتكامل التكاملي ، الذي يُعنى بدراسة المتوسطات والتراكم والمساحة؛ والتفاضل والتكامل التفاضلي ، الذي يُعنى بدراسة معدلات التغير والتقريب الخطي والمشتقة . ومن أمثلة تطبيقات التفاضل والتكامل: كيفية التعامل مع التقريبات مثل تقريب تايلور ومتسلسلة تايلور ، والتكامل في أبسط صوره ، والتقريبات العددية للتكامل، والتحسين الأساسي .

التحليل المتجهي، والذي يسمى أيضًا حساب المتجهات، هو جزء من حساب التفاضل والتكامل الذي يتعامل مع الدوال ذات القيم المتجهة . ^{[ 19 ]}

التحليل الحقيقي (ويُعرف تقليديًا باسم "نظرية الدوال لمتغير حقيقي") هو فرع من التحليل الرياضي يُعنى بالأعداد الحقيقية والدوال الحقيقية لمتغير حقيقي. ^{[ 20 ] [ 21 ]} ويتناول على وجه الخصوص خصائص الدوال والمتتابعات الحقيقية ، بما في ذلك تقارب ونهايات متتابعات الأعداد الحقيقية، مما يوفر أسسًا متينة لحساب التفاضل والتكامل ، بالإضافة إلى خصائص الاستمرارية والسلاسة وغيرها من الخصائص ذات الصلة للدوال الحقيقية.

التحليل المركب (المعروف تقليديًا باسم "نظرية الدوال للمتغير المركب") هو فرع من التحليل الرياضي الذي يدرس دوال الأعداد المركبة . [ ^{22 ] [ 23 ] [ 24 ] وهو} مفيد في العديد من فروع الرياضيات، بما في ذلك الهندسة الجبرية ، ونظرية الأعداد ، والرياضيات التطبيقية ؛ وكذلك في الفيزياء ، بما في ذلك الديناميكا المائية ، والديناميكا الحرارية ، والهندسة الميكانيكية ، والهندسة الكهربائية ، وخاصة نظرية الحقل الكمومي .

يهتم التحليل المركب بشكل خاص بالدوال التحليلية للمتغيرات المركبة (أو، بشكل أعم، الدوال الميرومورفية ). ولأن الأجزاء الحقيقية والخيالية المنفصلة لأي دالة تحليلية يجب أن تحقق معادلة لابلاس ، فإن التحليل المركب قابل للتطبيق على نطاق واسع في المسائل ثنائية الأبعاد في الفيزياء .

التحليل الوظيفي فرع من فروع التحليل الرياضي، ويتمثل جوهره في دراسة الفضاءات المتجهة المزودة ببنية محددة مرتبطة بالنهايات (مثل الضرب الداخلي ، والمعيار ، والطوبولوجيا ، وما إلى ذلك)، والمؤثرات الخطية التي تعمل على هذه الفضاءات وتراعي هذه البنى بشكل مناسب. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} وتكمن الجذور التاريخية للتحليل الوظيفي في دراسة فضاءات الدوال وصياغة خصائص تحويلات الدوال، مثل تحويل فورييه، باعتبارها تحويلات تُعرّف مؤثرات متصلة ووحدوية ، وما إلى ذلك، بين فضاءات الدوال. وقد أثبتت هذه النظرة فائدتها الكبيرة في دراسة المعادلات التفاضلية والتكاملية .

يُعدّ تحليل فورييه فرعًا من التحليل الرياضي يهتم بتمثيل الدوال والإشارات على أنها تراكب لموجات أساسية . ^{[ 29 ] [ 30} ] ويشمل ذلك دراسة مفاهيم متسلسلات فورييه وتحويلات فورييه ^، وتعميماتها. كما يشمل تحليل فورييه دراسة المؤثرات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة وتعميماتها إلى المؤثرات التفاضلية الزائفة .

التحليل الميكرولوكالي هو فرع من فروع تحليل فورييه يهتم بكيفية تحديد مواقع التفردات في الدوال، وكيفية انتشارها تحت تأثير المؤثرات التفاضلية وشبه التفاضلية.

التحليل التوافقي فرع من فروع الرياضيات، نشأ من دراسة الدوال التوافقية ، ولا سيما قيمها الحدية. تقود نظرية الدوال التوافقية بشكل طبيعي إلى دراسة فضاءات الدوال، مثل فضاءات هاردي ، وتحديدًا معايير الانتماء إلى هذه الفضاءات وتقديرات المؤثرات. يشمل هذا التحليل العديد من طرق تحليل فورييه، بالإضافة إلى طرق تفكيك أخرى، مثل تفكيك كالديرون-زيغموند ، الذي يقسم الدوال إلى أجزاء يمكن معالجتها بطرق فورييه وأجزاء أخرى يمكن معالجتها بالطرق المحلية. ^{[ 31 ]}

يُعد التحليل التوافقي المجرد تقليدًا ذا صلة، وهو يعمم طرق فورييه على مجموعات أخرى غير تلك التي تنطبق عليها طرق فورييه الكلاسيكية.

المعادلة التفاضلية هي معادلة رياضية لدالة مجهولة لمتغير واحد أو عدة متغيرات ، تربط قيم الدالة نفسها بمشتقاتها من مختلف الرتب . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} تلعب المعادلات التفاضلية دورًا بارزًا في الهندسة والفيزياء والاقتصاد وعلم الأحياء وغيرها من التخصصات .

تظهر المعادلات التفاضلية في العديد من مجالات العلوم والتكنولوجيا، وتحديدًا عندما تكون العلاقة الحتمية التي تتضمن كميات متغيرة باستمرار (ممثلة بدوال) ومعدلات تغيرها في المكان أو الزمان (معبرًا عنها بالمشتقات) معروفة أو مفترضة. ويتضح ذلك في الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث تُوصف حركة الجسم بموقعه وسرعته مع تغير الزمن. تسمح قوانين نيوتن (بمعرفة الموقع والسرعة والتسارع والقوى المختلفة المؤثرة على الجسم) بالتعبير عن هذه المتغيرات ديناميكيًا كمعادلة تفاضلية للموقع المجهول للجسم كدالة للزمن. في بعض الحالات، يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية (المسماة معادلة الحركة ) بشكل صريح.

القياس على مجموعة ما هو طريقة منهجية لتخصيص رقم لكل مجموعة جزئية مناسبة من تلك المجموعة، ويُفسَّر هذا الرقم بديهيًا على أنه حجمها. ^{[ 36 ] [ 37 ]} وبهذا المعنى، يُعد القياس تعميمًا لمفاهيم الطول والمساحة والحجم. ومن الأمثلة المهمة بشكل خاص قياس ليبيغ على الفضاء الإقليدي ، الذي يُخصِّص الطول والمساحة والحجم التقليديين للهندسة الإقليدية للمجموعات الجزئية المناسبة من الفضاء الإقليدي .${\displaystyle n}$فضاء إقليدي ذو أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$على سبيل المثال، مقياس ليبيغ للفترة${\displaystyle \left[0,1\right]}$أما في الأعداد الحقيقية، فيكون طولها بالمعنى اليومي للكلمة - وتحديداً، 1.

من الناحية الفنية، المقياس هو دالة تُسند عددًا حقيقيًا غير سالب أو +∞ إلى مجموعات جزئية (محددة) من مجموعة ما.${\displaystyle X}$يجب أن تُسند القيمة 0 للمجموعة الفارغة وأن تكون جمعية ( قابلة للعد ): مقياس مجموعة جزئية "كبيرة" يمكن تقسيمها إلى عدد محدود (أو قابل للعد) من مجموعات جزئية "أصغر" منفصلة، ​​هو مجموع مقاييس المجموعات الجزئية "الأصغر". بشكل عام، إذا أراد المرء ربط حجم ثابت بكل مجموعة جزئية من مجموعة معينة مع استيفاء البديهيات الأخرى للمقياس، فإنه لا يجد سوى أمثلة بديهية مثل مقياس العد . تم حل هذه المشكلة بتعريف المقياس فقط على مجموعة فرعية من جميع المجموعات الجزئية؛ ما يسمى بالمجموعات الجزئية القابلة للقياس ، والتي يُشترط أن تُشكل${\displaystyle \sigma }$الجبر - يعني أن المجموعة الفارغة، والاتحادات القابلة للعد ، والتقاطعات القابلة للعد، ومكملات المجموعات الجزئية القابلة للقياس هي مجموعات قابلة للقياس. أما المجموعات غير القابلة للقياس في الفضاء الإقليدي، والتي لا يمكن تعريف مقياس ليبيغ عليها بشكل متسق، فهي بالضرورة معقدة بمعنى أنها مختلطة بشكل سيئ مع مكملاتها. في الواقع، يُعد وجودها نتيجة غير بديهية لبديهية الاختيار .

التحليل العددي هو دراسة الخوارزميات التي تستخدم التقريب العددي (بدلاً من التلاعبات الرمزية العامة ) لحل مشاكل التحليل الرياضي (على عكس الرياضيات المتقطعة ). ^{[ 38 ]}

لا يسعى التحليل العددي الحديث إلى إيجاد إجابات دقيقة، لأن الحصول على إجابات دقيقة غالباً ما يكون مستحيلاً عملياً. بدلاً من ذلك، يهتم جزء كبير من التحليل العددي بالحصول على حلول تقريبية مع الحفاظ على حدود معقولة للأخطاء.

يجد التحليل العددي تطبيقاته في جميع مجالات الهندسة والعلوم الفيزيائية، ولكن في  القرن الحادي والعشرين، تبنت علوم الحياة وحتى الفنون عناصر من الحسابات العلمية. تظهر المعادلات التفاضلية العادية في علم الميكانيكا السماوية (الكواكب والنجوم والمجرات)؛ ويُعد الجبر الخطي العددي مهمًا لتحليل البيانات ؛ كما أن المعادلات التفاضلية العشوائية وسلاسل ماركوف ضرورية في محاكاة الخلايا الحية في الطب وعلم الأحياء.

التحليل الهندسي هو فرع من فروع التحليل يهتم بدراسة المتشعبات ، وخاصة المتشعبات الريمانية . وتُدرس فيه مسائل شاملة في الهندسة الريمانية. ^{[ 39 ]} ومن الأمثلة على ذلك الهندسة الطيفية لمؤثر لابلاس -بيلترامي ، الذي يُعمم مسألة سماع شكل الطبل ، على سبيل المثال. وتشمل المسائل الشاملة الأخرى في التحليل الهندسي المعادلات التفاضلية الجزئية على المتشعبات الريمانية، مثل معادلة يامابي وتدفق ريتشي . وقد أدى الأخير إلى إثبات حدسية بوانكاريه .

التحليل المحدب هو فرع من فروع التحليل يهتم بالدوال المحدبة والمجموعات المحدبة وتطبيقاتها في التحسين والبرمجة الخطية . تتميز الدوال المحدبة عمومًا بتوفر طرق أكثر فعالية لضمان وجود القيم الصغرى وتفردها، خاصةً عند دمجها مع شبه الاستمرارية السفلية . توجد العديد من الثنائيات في التحسين المحدب، والتي غالبًا ما تُعبَّر عنها بدلالة المرافق المحدب ، مما يسمح بربط مسألة التحسين بمسألة ثنائية ، وهو ما يوفر معيارًا مفيدًا للتحقق من أمثلية الحل المفترض أو تحديد مقدار التفاوت في الحل العددي.

حساب التفاضل والتكامل التغيري ^{[ 40 ]} هو دراسة إيجاد الحلول المثلى لمسائل التصغير في فضاءات لا نهائية الأبعاد. ومن الأمثلة الأساسية على ذلك إيجاد مسار جيوديسي على سطح ما : حيث تُعطى نقطتا النهاية، ويجب إيجاد مسار ضمن الفضاء اللانهائي الأبعاد لجميع المسارات الممكنة، بحيث يُقلل طول القوس. تسمح العديد من مسائل المعادلات التفاضلية الجزئية بتوصيف تغيري أكثر طبيعية، وهذا قد يؤدي إلى مفاهيم الحلول الضعيفة ، والتي غالبًا ما تكون أكثر ملاءمة للطرق التحليلية والعمليات العددية. تُصاغ الطرق المباشرة في حساب التفاضل والتكامل التغيري مسائل التغير كمسائل تحسين محدبة.

يُعدّ النقل الأمثل فرعًا من حساب التفاضل والتكامل يهتم بصياغة وحلّ مشكلة نقل البضائع من مكان إلى آخر مع مراعاة قيود التكلفة. ويشترك هذا الفرع في العديد من الأفكار مع التحليل المحدب، بما في ذلك نظريات الازدواجية مثل ازدواجية كانتوروفيتش ، وهي شكل من أشكال ازدواجية ليجندر . وتتمتع مفاهيم النقل الأمثل بتطبيقات واسعة وغير متوقعة، مثل مقياس واسرشتين وتطبيقاته في مجال التعلّم الآلي .

ترتبط نظرية الاحتمالات ارتباطًا وثيقًا بالتحليل الرياضي من خلال نظرية القياس . ^{[ 41 ]} في الصياغة البديهية الحديثة، يُعرَّف فضاء الاحتمالات بأنه فضاء قياس ذو قياس كلي يساوي واحدًا، والمتغيرات العشوائية هي دوال قابلة للقياس، والقيم المتوقعة هي تكاملات بالنسبة إلى مقياس احتمالي . وتُعدّ الأساليب التحليلية أساسية في دراسة تقارب المتغيرات العشوائية، والمارتينجالات ، والعمليات العشوائية ، والحركة البراونية ، والمعادلات التفاضلية العشوائية ، ونظرية الإرجودية .

تُعدّ نظرية الاحتمالات فرعاً مستقلاً من فروع الرياضيات، إلا أن العديد من أسسها وأساليبها الحديثة تنتمي إلى التحليل. يدرس التحليل العشوائي المسائل التحليلية المتعلقة بالعمليات العشوائية، بما في ذلك التكامل العشوائي ، والمعادلات التفاضلية العشوائية، والصلات بالمعادلات التفاضلية الجزئية والتحليل الوظيفي.

تعتمد الغالبية العظمى من الميكانيكا الكلاسيكية والنسبية وميكانيكا الكم على التحليل التطبيقي، ولا سيما المعادلات التفاضلية . ومن أمثلة المعادلات التفاضلية المهمة قانون نيوتن الثاني ، ومعادلة شرودنغر ، ومعادلات أينشتاين للمجال .

يُعد التحليل الوظيفي أيضًا عاملاً رئيسيًا في ميكانيكا الكم .

عند معالجة الإشارات، مثل الصوت ، وموجات الراديو ، وموجات الضوء، والموجات الزلزالية ، وحتى الصور، يُمكن لتحليل فورييه عزل المكونات الفردية للموجة المركبة، وتركيزها لتسهيل اكتشافها أو إزالتها. تتألف مجموعة كبيرة من تقنيات معالجة الإشارات من تحويل فورييه للإشارة، ومعالجة البيانات المُحوّلة بطريقة بسيطة، وعكس التحويل. ^{[ 42 ]}

تُستخدم تقنيات التحليل في العديد من مجالات الرياضيات، بما في ذلك:

• نظرية الأعداد التحليلية
• التوافقية التحليلية
• الاحتمال المستمر
• الإنتروبيا التفاضلية في نظرية المعلومات
• الألعاب التفاضلية
• الهندسة التفاضلية ، وهي تطبيق حساب التفاضل والتكامل على فضاءات رياضية محددة تُعرف باسم المتشعبات التي تمتلك بنية داخلية معقدة ولكنها تتصرف بطريقة بسيطة محليًا.
• المشعبات التفاضلية
• الطوبولوجيا التفاضلية
• المعادلات التفاضلية الجزئية