برمجة المصفوفات

في علوم الحاسوب ، تشير برمجة المصفوفات إلى الحلول التي تسمح بتطبيق العمليات على مجموعة كاملة من القيم دفعة واحدة. وتُستخدم هذه الحلول بشكل شائع في المجالات العلمية والهندسية.

صُممت لغات البرمجة الحديثة التي تدعم برمجة المصفوفات (المعروفة أيضًا بلغات المتجهات أو اللغات متعددة الأبعاد ) خصيصًا لتعميم العمليات على القيم العددية وتطبيقها بسلاسة على المتجهات والمصفوفات والمصفوفات متعددة الأبعاد. تشمل هذه اللغات APL و J و Fortran و MATLAB و Analytica و Octave و PL /I و R و Cilk Plus و Julia و Perl Data Language (PDL) و Raku . في هذه اللغات، تُسمى العملية التي تُجرى على المصفوفات بأكملها عملية متجهة ، ^{[ 1 ]} بغض النظر عما إذا كانت تُنفذ على معالج متجهات ، الذي يُنفذ تعليمات المتجهات. تُعبر أساسيات برمجة المصفوفات بإيجاز عن أفكار واسعة حول معالجة البيانات. قد يكون مستوى الإيجاز مذهلاً في بعض الحالات: فليس من النادر العثور على أسطر برمجية واحدة في لغات برمجة المصفوفات تتطلب عدة صفحات من التعليمات البرمجية الموجهة للكائنات.

تعتمد فكرة برمجة المصفوفات الأساسية على تطبيق العمليات دفعة واحدة على مجموعة كاملة من القيم. وهذا ما يجعلها نموذج برمجة عالي المستوى ، إذ يسمح للمبرمج بالتفكير والعمل على مجموعات البيانات الكاملة، دون الحاجة إلى اللجوء إلى حلقات تكرار صريحة لعمليات عددية فردية.

وصف كينيث إي. إيفرسون الأساس المنطقي وراء برمجة المصفوفات (في إشارة إلى لغة APL) على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

معظم لغات البرمجة أدنى بكثير من الترميز الرياضي، ونادراً ما تُستخدم كأدوات للتفكير بطرق قد يعتبرها، على سبيل المثال، عالم رياضيات تطبيقي ذات أهمية.

تتلخص الفكرة في إمكانية الجمع بفعالية بين مزايا قابلية التنفيذ والشمولية الموجودة في لغات البرمجة، ضمن لغة واحدة متماسكة، مع المزايا التي توفرها الرموز الرياضية. من المهم التمييز بين صعوبة وصف وتعلم رمز رياضي وصعوبة إتقان دلالاته. على سبيل المثال، يُعدّ تعلم قواعد حساب حاصل ضرب المصفوفات أمرًا سهلاً، لكن إتقان دلالاته (مثل خاصية التجميع، وخاصية التوزيع على الجمع، وقدرته على تمثيل الدوال الخطية والعمليات الهندسية) أمر مختلف وأكثر صعوبة.

في الواقع، قد تجعل الإيحاءات الكامنة في التدوين عملية التعلم تبدو أكثر صعوبة بسبب الخصائص العديدة التي يوحي بها للاستكشافات.

[...]

غالبًا ما يهتم مستخدمو الحواسيب ولغات البرمجة بكفاءة تنفيذ الخوارزميات، ولذلك قد يتجاهلون العديد من الخوارزميات المعروضة هنا. لكن هذا التجاهل يُعدّ قصر نظر، إذ يمكن عادةً استخدام وصف واضح للخوارزمية كأساس لاستنباط خوارزمية أكثر كفاءة بسهولة.

يقوم أساس برمجة المصفوفات والتفكير فيها على إيجاد خصائص البيانات واستغلالها، حيث تتشابه العناصر الفردية أو تكون متجاورة. وعلى عكس البرمجة الكائنية التي تُحلل البيانات ضمنيًا إلى مكوناتها (أو كمياتها العددية )، فإن البرمجة المصفوفية تسعى إلى تجميع البيانات وتطبيق معالجة موحدة عليها.

يُعدّ ترتيب الدوال مفهومًا هامًا في لغات برمجة المصفوفات عمومًا، قياسًا على ترتيب الموترات في الرياضيات: إذ تُصنّف الدوال التي تُجري عمليات على البيانات بحسب عدد الأبعاد التي تُطبّقها. على سبيل المثال، تُعتبر عملية الضرب العادية دالة ذات ترتيب قياسي لأنها تُطبّق على بيانات أحادية البعد (أعداد فردية). أما عملية الضرب الاتجاهي فهي مثال على دالة ذات ترتيب متجهي لأنها تُطبّق على متجهات، لا على أعداد قياسية. بينما يُعدّ ضرب المصفوفات مثالًا على دالة ذات ترتيب ثنائي، لأنه يُطبّق على كائنات ثنائية الأبعاد (مصفوفات). تُقلّل عوامل الدمج أبعاد مصفوفة بيانات الإدخال بمقدار بُعد واحد أو أكثر. فعلى سبيل المثال، يُؤدي جمع العناصر إلى دمج مصفوفة الإدخال بمقدار بُعد واحد.

تُعدّ برمجة المصفوفات مناسبةً جدًا للتوازي الضمني ، وهو موضوعٌ يحظى باهتمامٍ بحثيٍّ واسعٍ في الوقت الراهن. علاوةً على ذلك، احتوت وحدات المعالجة المركزية من إنتل والوحدات المتوافقة معها، التي طُوّرت وأُنتجت بعد عام 1997، على العديد من امتدادات مجموعات التعليمات، بدءًا من MMX مرورًا بـ SSSE3 و 3DNow!، والتي تتضمن إمكانياتٍ بدائيةً لمصفوفات SIMD . وقد استمرّ هذا التطور في العقد الثالث من القرن الحادي والعشرين مع مجموعات تعليماتٍ مثل AVX-512 ، مما جعل وحدات المعالجة المركزية الحديثة معالجاتٍ متجهةً متطورة. تختلف معالجة المصفوفات عن المعالجة المتوازية في أن معالجًا واحدًا يُجري عملياتٍ على مجموعةٍ من العناصر في وقتٍ واحد، بينما تهدف المعالجة المتوازية إلى تقسيم مشكلةٍ كبيرةٍ إلى مشاكل أصغر ( MIMD ) ليتمّ حلّها تدريجيًا بواسطة العديد من المعالجات. أصبحت المعالجات متعددة النوى ووحدات معالجة الرسومات (GPUs) التي تحتوي على آلاف النوى الحاسوبية العامة شائعةً بحلول عام 2023.

من الأمثلة الكلاسيكية للغات برمجة المصفوفات: فورتران ، إيه بي إل ، وجي . ومن الأمثلة الأخرى: إيه بلس ، أناليتيكا ، تشابل ، آي دي إل ، جوليا ، كي ، كلونج، كيو ، ماتلاب ، جنو أوكتاف ، سايلاب ، فري مات ، لغة بيانات بيرل (PDL)، آر ، راكو ، إس-لانغ ، إس إيه سي ، نيال ، زد بي إل ، فوثارك ، وتي آي-بيسك .

for ( int i = 0 ; i < m ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) { a [ i ][ j ] += b [ i ][ j ]; } }

أ = أ + ب

a (:,:) = a (:,:) + b (:,:)

أ := أ + ب ؛

أ ← أ + ب

أ + ← ب

أ := أ + ب؛ 

DIM A ( 4 ), B ( 4 ), C ( 4 ) MAT A = 1 MAT B = 2 * A MAT C = A + B MAT PRINT A , B , C

. ماتا : A = ( 1 , 2 , 3 ) \( 4 , 5 , 6 ) أ 1 2 3 +-------------+ 1 | 1 2 3 | 2 | 4 5 6 | +-------------+ ب = ( 2 .. 4 ) \( 1 .. 3 ) ب 1 2 3 +-------------+ 1 | 2 3 4 | 2 | 1 2 3 | +-------------+ C = J ( 3 , 2 , 1 ) // مصفوفة من 3×2 عناصرها 1 ج 1 2 +---------+ 1 | 1 1 | 2 | 1 1 | 3 | 1 1 | +---------+ D = A + B :D 1 2 3 +-------------+ 1 | 3 5 7 | 2 | 5 7 9 | +-------------+ : E = A * C هـ 1 2 +-----------+ 1 | 6 6 | 2 | 15 15 | +-----------+ F = A: * B F 1 2 3 +----------------+ 1 | 2 6 12 | 2 | 4 10 18 | +----------------+ G = E : + 3 : ج 1 2 +-----------+ 1 | 9 9 | 2 | 18 18 | +-----------+ H = F[( 2 \ 1 ), ( 1 , 2 )] // الفهرسة السفلية للحصول على مصفوفة فرعية من F و : // تبديل الصفين 1 و 2 ح 1 2 +-----------+ 1 | 4 10 | 2 | 2 6 | +-----------+ I = invsym (F' * F) // المعكوس المعمم (F*F^(-1)F=F) لـ ): // مصفوفة متناظرة موجبة شبه محددة : أنا [متماثل] ١ ٢ ٣ +-------------------------------------------+ ١ | ٠ | ٢ | ٠ ٣ ٫٢٥ | ٣ | ٠ - ١٫٧٥ . ٩٤٤٤٤٤٤٤٤٤ | +-------------------------------------------+ : نهاية

أ = أ + ب ؛

أ += ب ؛

أ * ب؛

أ. * ب؛

A(:)' * B(:);

اختر A + B من A و B

> A <- matrix ( 1 : 6 , nrow = 2 ) # !!هذا يحتوي على nrow=2 ... وA يحتوي على صفين > A  [,1] [,2] [,3] [1,] 1 3 5 [2,] 2 4 6 > B <- t ( matrix ( 6 : 1 , nrow = 2 ) ) # t() هي عامل نقل !!هذا يحتوي على nrow=2 ... وB يحتوي على 3 صفوف --- تناقض واضح مع تعريف A > B  [,1] [,2] [1,] 6 5 [2,] 4 3 [3,] 2 1 > C <- A %*% B > C  [,1] [,2] [1,] 28 19 [2,] 40 28 > D <- C + 1 > D  [,1] [,2] [1,] 29 20 [2,] 41 29 > D + c ( 1 ، 1 ) # c() تُنشئ متجهًا  [,1] [,2] [1,] 30 21 [2,] 42 30

[ 0 ] > my @a = [[ 1 , 1 ],[ 2 , 2 ],[ 3 , 3 ]]; [[ 1 1 ] [ 2 2 ] [ 3 3 ]] [ 1 ] > my @b = [[ 4 , 4 ],[ 5 , 5 ],[ 6 , 6 ]]; [[ 4 4 ] [ 5 5 ] [ 6 6 ]] [ 2 ] > @a »+« @b ; [[ 5 5 ] [ 7 7 ] [ 9 9 ]] 

يُعبّر عامل القسمة اليسرى للمصفوفة بإيجاز عن بعض الخصائص الدلالية للمصفوفات. وكما هو الحال في المكافئ القياسي، إذا لم يكن مُحدِّد المعامل (المصفوفة) Aيساوي صفرًا، فمن الممكن حل المعادلة (المتجهة) A * x = bبضرب طرفي المعادلة من اليسار في معكوس المصفوفة :A ( في لغتي MATLAB وGNU Octave: ). وتتحقق العبارات الرياضية التالية عندما تكون المصفوفة مربعة كاملة الرتبة :A−1A^-1A

A^-1 *(A * x)==A^-1 * (b)

(A^-1 * A)* x ==A^-1 * b    ( خاصية التجميع في ضرب المصفوفات )

x = A^-1 * b

أين يوجد عامل المقارنة== التكافؤي ؟ العبارات السابقة هي أيضًا تعبيرات MATLAB صحيحة إذا تم تنفيذ العبارة الثالثة قبل العبارات الأخرى (قد تكون المقارنات العددية خاطئة بسبب أخطاء التقريب).

إذا كان النظام محددًا بشكل زائد - بحيث Aيحتوي على صفوف أكثر من الأعمدة - فيمكن للمعكوس الزائف (في لغات MATLAB و GNU Octave: ) أن يحل محل المعكوس ، على النحو التالي:A+pinv(A)A−1

pinv(A)*(A*x)==pinv(A)*(b)

(pinv(A)*A)*x==pinv(A)*b   (خاصية التجميع في ضرب المصفوفات)

x=pinv(A)*b

مع ذلك، لا تُعدّ هذه الحلول الأكثر إيجازًا (إذ لا تزال هناك حاجة إلى التمييز بين الأنظمة ذات التحديد الزائد باستخدام الرموز) ولا الأكثر كفاءة حسابيًا. ويسهل فهم النقطة الأخيرة عند النظر مجددًا إلى المكافئ القياسي ، حيث يتطلب a * x = bالحل عمليتين بدلًا من العملية الأكثر كفاءة . تكمن المشكلة في أن ضرب المصفوفات ليس تبادليًا بشكل عام ، إذ يتطلب تعميم الحل القياسي على حالة المصفوفة ما يلي:x = a^-1 * bx = b / a

(a * x)/ a ==b / a

(x * a)/ a ==b / a   (خاصية التبادلية لا تنطبق على المصفوفات!)

x * (a / a)==b / a   (ينطبق مبدأ التجميع أيضًا على المصفوفات)

x = b / a

تُقدّم لغة MATLAB عامل القسمة اليسرى \للحفاظ على الجزء الأساسي من التناظر مع الحالة العددية، وبالتالي تبسيط الاستدلال الرياضي والحفاظ على الإيجاز:

A \ (A * x)==A \ b

(A \ A)* x ==A \ b   (ينطبق التجميع أيضًا على المصفوفات، ولم يعد التبادل مطلوبًا)

x = A \ b

لا يُعد هذا مثالاً على برمجة المصفوفات المختصرة من وجهة نظر البرمجة فحسب، بل من منظور الكفاءة الحسابية أيضاً، والتي تستفيد في العديد من لغات برمجة المصفوفات من مكتبات الجبر الخطي الفعالة للغاية مثل ATLAS أو LAPACK . ^{[ 10 ]}

بالعودة إلى اقتباس إيفرسون السابق، ينبغي أن يكون الأساس المنطقي وراءه واضحاً الآن:

من المهم التمييز بين صعوبة وصف وتعلم رمز رياضي وصعوبة إتقان دلالاته. فعلى سبيل المثال، يُعدّ تعلم قواعد حساب حاصل ضرب المصفوفات أمرًا سهلاً، لكن إتقان دلالاته (مثل خاصية التجميع، وخاصية التوزيع على الجمع، وقدرته على تمثيل الدوال الخطية والعمليات الهندسية) أمر مختلف وأكثر صعوبة. بل إنّ دلالات الرمز نفسه قد تجعل تعلمه يبدو أصعب نظرًا لكثرة الخصائص التي يوحي بها لاستكشافه.

يُعدّ استخدام المكتبات المتخصصة والفعّالة لتوفير تجريدات أكثر اختصارًا أمرًا شائعًا في لغات البرمجة الأخرى أيضًا. ففي لغة C++، تستغلّ العديد من مكتبات الجبر الخطي قدرة اللغة على إعادة تعريف المعاملات . وفي بعض الحالات، يتأثر التجريد المختصر جدًا في تلك اللغات بشكلٍ صريح بنموذج برمجة المصفوفات، كما هو الحال في مكتبة NumPy الإضافية للغة Python ، ومكتبتي Armadillo و Blitz++ . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

• تقطيع المصفوفة
• قائمة لغات برمجة المصفوفات
• التحويل التلقائي إلى متجه

• برمجة "لا حلقات مفرغة"
• اكتشاف لغات المصفوفات
• برمجة "أنواع المصفوفات"