الضرب الاتجاهي

يعتمد اتجاه المتجه n على اتجاه الفضاء المُختار. يُحدد اتجاهه عادةً بقاعدة اليد اليمنى، حيث يُشير السبابة في اليد اليمنى باتجاه a والوسطى باتجاه b . عندئذٍ، يخرج المتجه n من الإبهام (انظر الصورة المجاورة). تُشير هذه القاعدة إلى أن الضرب الاتجاهي عكسي التبديل ؛ أي أن b × a = −( a × b ) . بتوجيه السبابة نحو b أولًا، ثم توجيه الوسطى نحو a ، يُجبر الإبهام على التحرك في الاتجاه المعاكس، مما يعكس إشارة متجه الضرب.

بما أن عامل الضرب الاتجاهي يعتمد على اتجاه الفضاء، فإن الضرب الاتجاهي لمتجهين بشكل عام ليس متجهًا "حقيقيًا"، بل متجه زائف .

لو${\displaystyle (\mathbf {\color {blue}{i}} ,\mathbf {\color {red}{j}} ,\mathbf {\color {green}{k}} )}$إذا كانت قاعدة متعامدة ذات اتجاه إيجابي ، فإن متجهات القاعدة تحقق المتساويات التالية ^{[ 1 ]}$$\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$$ يمكن تذكّر هذه الصيغ من خلال أنها تُستنتج من أي صيغة أخرى بتبديل دوري لمتجهات الأساس. وينطبق هذا التذكّر أيضاً على العديد من الصيغ الواردة في هذه المقالة.

يشير عدم تبادلية الضرب التقاطعي إلى أن $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$$

كما أن خاصية عدم التبادلية في الضرب الاتجاهي (والافتقار الواضح للاستقلال الخطي) تشير أيضاً إلى أن $${\displaystyle \mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0} }$$( المتجه الصفري ).

تكفي هذه المتساويات، بالإضافة إلى خاصيتي التوزيع والخطية للضرب الاتجاهي (مع أن أياً منهما لا يُستنتج بسهولة من التعريف المذكور أعلاه)، لتحديد الضرب الاتجاهي لأي متجهين a و b . ويمكن تعريف كل متجه على أنه مجموع ثلاثة مركبات متعامدة موازية لمتجهات الأساس القياسية. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}}$$

يمكن توسيع حاصل ضربهما الاتجاهي a × b باستخدام خاصية التوزيع:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\[1ex]={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}}$$

يمكن تفسير ذلك على أنه تحليل للمتجه a × b إلى مجموع تسعة جداءات اتجاهية أبسط تتضمن متجهات متوازية مع i أو j أو k . كل جداء اتجاهي من هذه الجداءات التسعة يعمل على متجهين يسهل التعامل معهما لأنهما إما متوازيان أو متعامدان. من هذا التحليل، وباستخدام المعادلات المذكورة أعلاه وجمع الحدود المتشابهة، نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\[1ex]={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \end{aligned}}}$$

وهذا يعني أن المكونات العددية الثلاثة للمتجه الناتج s = s ₁ i + s ₂ j + s ₃ k = a × b هي $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}}$$

باستخدام متجهات الأعمدة ، يمكننا تمثيل النتيجة نفسها على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}}}$$

يمكن أيضًا التعبير عن الضرب الاتجاهي على أنه المحدد الرسمي : ^{[ ملاحظة 1 ] [ 1 ]}

$${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

يمكن حساب هذا المحدد باستخدام قاعدة ساروس أو توسيع المرافقات . باستخدام قاعدة ساروس، يتوسع إلى $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}}$$

مما يعطي مكونات المتجه الناتج بشكل مباشر.

• بأي حال من الأحوال، فإن الناتج المتقاطع${\displaystyle a\times b}$يُعطى بواسطة الصيغة الموترية${\displaystyle E_{ijk}a^{i}b^{j}}$أين${\displaystyle E_{ijk}}$هو موتر ليفي-سيفيتا المتغير (نلاحظ موضع المؤشرات). وهذا يتوافق مع الصيغة الجوهرية المذكورة هنا .
• في أساس متعامد له نفس اتجاه الفضاء ،${\displaystyle a\times b}$يُعطى بواسطة الصيغة شبه الموترية${\displaystyle \varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$أين${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$هو رمز ليفي-تشيفيتا (وهو شبه موتر). هذه هي الصيغة المستخدمة في الفيزياء اليومية، لكنها لا تعمل إلا مع هذا النوع الخاص من الأساس.
• في أي أساس متعامد،${\displaystyle a\times b}$يُعطى بواسطة الصيغة شبه الموترية${\displaystyle (-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$أين${\displaystyle (-1)^{B}=\pm 1}$يشير إلى ما إذا كان للقاعدة نفس اتجاه الفراغ أم لا.

تتجنب الصيغة الأخيرة الحاجة إلى تغيير اتجاه الفضاء عند عكس أساس متعامد.

يمكن تفسير مقدار الضرب الاتجاهي على أنه المساحة الموجبة لمتوازي الأضلاع الذي له أ و ب كأضلاع (انظر الشكل 1): ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|.}$$

في الواقع، يمكن أيضًا حساب حجم V لمتوازي المستطيلات الذي يحتوي على a و b و c كأضلاع باستخدام مزيج من الضرب الاتجاهي والضرب القياسي، والذي يسمى الضرب الثلاثي القياسي (انظر الشكل 2):

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

بما أن نتيجة الضرب الثلاثي القياسي قد تكون سالبة، فإن حجم متوازي المستطيلات يُعطى بقيمته المطلقة:

$${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}$$

بما أن مقدار الضرب الاتجاهي يتناسب مع جيب الزاوية بين متجهيه، يمكن اعتبار الضرب الاتجاهي مقياسًا للتعامد ، تمامًا كما يُعدّ الضرب القياسي مقياسًا للتوازي . فعند وجود متجهين وحدة ، يكون مقدار الضرب الاتجاهي لهما 1 إذا كانا متعامدين، و0 إذا كانا متوازيين . أما الضرب القياسي لمتجهي وحدة فيكون عكس ذلك تمامًا: فهو يساوي صفرًا عندما يكون المتجهان متعامدين، ويساوي 1 إذا كانا متوازيين.

تُتيح متجهات الوحدة متطابقتين مفيدتين: حاصل الضرب القياسي لمتجهي وحدة يُعطي جيب تمام الزاوية بينهما (والذي قد يكون موجبًا أو سالبًا). أما مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهي الوحدة فيُعطي جيب الزاوية (والذي يكون دائمًا موجبًا).

إذا كان حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين هو المتجه الصفري (أي a × b = 0 )، فإن أحد المدخلين أو كليهما يكون المتجه الصفري ( a = 0 أو b = 0 )، وإلا فإنهما متوازيان أو متعاكسان ( a ∥ b ) بحيث يكون جيب الزاوية بينهما صفرًا ( θ = 0° أو θ = 180° و sin θ = 0  ).

حاصل الضرب الاتجاهي الذاتي لمتجه ما هو المتجه الصفري: $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .}$$ الضرب الاتجاهي مضاد للتبديل ، $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),}$$التوزيع على الجمع، $${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),}$$ ومتوافق مع الضرب القياسي بحيث $${\displaystyle (r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

إنها ليست ترابطية ، ولكنها تحقق متطابقة جاكوبي : $${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}$$ تُظهر خاصية التوزيع، والخطية، ومتطابقة جاكوبي أن ^فضاء المتجهات R³ مع جمع المتجهات والضرب الاتجاهي يُشكل جبر لي ، وهو جبر لي للمجموعة المتعامدة الحقيقية في ثلاثة أبعاد، SO(3) . لا يخضع الضرب الاتجاهي لقانون الإلغاء ؛ أي أن a × b = a × c حيث a ≠ 0 لا يعني b = c ، بل يعني فقط: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\end{aligned}}}$$

قد يكون هذا هو الحال عندما يلغي b و c بعضهما البعض، ولكن بالإضافة إلى ذلك عندما يكون a و b − c متوازيين؛ أي أنهما مرتبطان بعامل قياس t ، مما يؤدي إلى: $${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,}$$ بالنسبة لبعض القيم العددية t .

إذا كان، بالإضافة إلى a × b = a × c و a ≠ 0 كما سبق، يكون a ⋅ b = a ⋅ c، فإن $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}}$$ بما أن b − c لا يمكن أن يكون موازياً في نفس الوقت (لكي يكون حاصل الضرب الاتجاهي 0 ) وعمودياً (لكي يكون حاصل الضرب القياسي 0) على a ، فيجب أن يكون b و c يلغي بعضهما البعض: b = c .

من التعريف الهندسي، يكون الضرب الاتجاهي ثابتًا تحت الدوران المناسب حول المحور المحدد بواسطة a × b . في الصيغ: $${\displaystyle (R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$$أين${\displaystyle R}$هي مصفوفة دوران مع${\displaystyle \det(R)=1}$.

وبشكل عام، فإن الضرب الاتجاهي يخضع للهوية التالية في ظل تحويلات المصفوفات : $${\displaystyle (M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$$ أين${\displaystyle M}$هي مصفوفة 3×3 و${\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$هي منقولة المعكوس و​${\displaystyle \operatorname {cof} }$هي مصفوفة العوامل المرافقة. ويمكن ملاحظة بسهولة كيف تُختزل هذه الصيغة إلى الصيغة السابقة إذا${\displaystyle M}$هي مصفوفة دوران. إذا${\displaystyle M}$هي مصفوفة متناظرة 3×3 مطبقة على ضرب اتجاهي عام${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$، العلاقة التالية صحيحة: $${\displaystyle M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {Tr} (M)(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-\mathbf {a} \times M\mathbf {b} +\mathbf {b} \times M\mathbf {a} }$$ يقع حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في الفضاء الصفري للمصفوفة 2 × 3 التي تمثل المتجهات صفوفها: $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).}$$ بالنسبة لمجموع حاصل ضرب اتجاهين، تتحقق المتطابقة التالية: $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .}$$

تنطبق قاعدة الضرب في حساب التفاضل والتكامل على أي عملية ثنائية الخطية، وبالتالي تنطبق أيضًا على الضرب الاتجاهي: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},}$$

حيث أن a و b متجهان يعتمدان على المتغير الحقيقي t .

يُستخدم الضرب الاتجاهي في كلا شكلي الضرب الثلاثي. ويُعرَّف الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$$

هو الحجم الموجه لمتوازي السطوح ذي الأضلاع a و b و c ، وبالتالي يمكن استخدام المتجهات بأي ترتيب يكون تبديلاً زوجياً للترتيب المذكور أعلاه. وعليه، فإن ما يلي متساوٍ:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$$

الضرب الثلاثي المتجهي هو الضرب الاتجاهي لمتجه مع ناتج ضرب اتجاهي آخر، ويرتبط بالضرب القياسي بالصيغة التالية

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$$

يُستخدم الاختصار "BAC ناقص CAB " لتذكر ترتيب المتجهات في الطرف الأيمن. تُستخدم هذه الصيغة في الفيزياء لتبسيط حسابات المتجهات. وهناك حالة خاصة، تتعلق بالتدرجات ومفيدة في حساب المتجهات ، وهي $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}}$$

حيث ∇ ² هو عامل لابلاس المتجهي .

تربط متطابقات أخرى الضرب الاتجاهي بالضرب الثلاثي القياسي: $${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$$

حيث I هي مصفوفة الوحدة .

يرتبط الضرب الاتجاهي والضرب القياسي بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$$

الطرف الأيمن هو محدد غرام للمتجهين a و b ، وهو مربع مساحة متوازي الأضلاع المحدد بهذين المتجهين. يحدد هذا الشرط مقدار الضرب الاتجاهي. وبما أن الضرب القياسي يُعرَّف بدلالة الزاوية θ بين المتجهين، فإنه:

$${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

يمكن إعادة كتابة العلاقة المذكورة أعلاه على النحو التالي:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).}$$

باستخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية، نحصل على: $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,}$$

وهو مقدار الضرب الاتجاهي المعبر عنه بدلالة θ ، والذي يساوي مساحة متوازي الأضلاع المحدد بواسطة a و b (انظر التعريف أعلاه).

إن الجمع بين هذا الشرط وخاصية أن يكون الضرب الاتجاهي متعامدًا مع مكوناته a و b يوفر تعريفًا بديلًا للضرب الاتجاهي. ^{[ 13 ]}

بفرض وجود متجهين a و c حيث a ≠ 0 ، فإن المعادلة a × b = c تقبل حلولًا لـ b إذا وفقط إذا كان a متعامدًا مع c (أي إذا كان a ⋅ c = 0 ). في هذه الحالة، توجد عائلة لانهائية من الحلول لـ b ، وهي: $${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+t\mathbf {a} ,}$$ حيث t ثابت اختياري.

يمكن اشتقاق ذلك باستخدام توسيع الضرب الثلاثي: $${\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} }$$ أعد ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة b، وستحصل على: $${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}\mathbf {a} }$$ يمكن تبسيط معامل الحد الأخير إلى الثابت الاختياري t فقط للحصول على النتيجة الموضحة أعلاه.

يمكن أيضًا التعبير عن الضرب الاتجاهي للمتجهات على أنه ناتج ضرب مصفوفة متماثلة معكوسة ومتجه: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ حيث يشير الرمز العلوي ^T إلى عملية النقل ، و[ a ] _× مُعرَّف بواسطة $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}$$

يمكن أيضًا الحصول على أعمدة المصفوفة المتناظرة المعكوسة [ a ] _{× i} للمتجه a عن طريق حساب الضرب الاتجاهي مع متجهات الوحدة . أي، $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}}$$ أو $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,}$$ أين${\displaystyle \otimes }$هو عامل المنتج الخارجي .

أيضًا، إذا تم التعبير عن a نفسه كحاصل ضرب اتجاهي: $${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }$$ ثم $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}$$

يمكن تعميم هذه النتيجة على أبعاد أعلى باستخدام الجبر الهندسي . على وجه الخصوص، في أي بُعد، يمكن تعريف المتجهات الثنائية بالمصفوفات المتناظرة عكسيًا، لذا فإن حاصل ضرب مصفوفة متناظرة عكسيًا في متجه يُكافئ الجزء من الدرجة الأولى من حاصل ضرب متجه ثنائي في متجه. ^{[ 18 ]} في ثلاثة أبعاد، تُعد المتجهات الثنائية ثنائية للمتجهات، لذا فإن حاصل الضرب يُكافئ الضرب الاتجاهي، مع المتجه الثنائي بدلًا من ثنائيته المتجهة. في الأبعاد الأعلى، لا يزال من الممكن حساب حاصل الضرب، لكن المتجهات الثنائية تتمتع بدرجات حرية أكبر ولا تُكافئ المتجهات. ^{[ 18 ]}

كما أن هذه الصيغة غالباً ما تكون أسهل بكثير في التعامل معها، على سبيل المثال، في الهندسة الإبيبولارية .

من الخصائص العامة للضرب الاتجاهي يتبين مباشرة أن$${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }$$ و $${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }$$ وبما أن [ أ ] _× متناظر عكسيًا، فإنه يترتب على ذلك أن $${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}$$

يمكن إثبات توسيع الضرب الثلاثي المذكور أعلاه (قاعدة bac–cab) بسهولة باستخدام هذه الرموز.

كما ذُكر سابقًا، فإن جبر لي R³ مع الضرب الاتجاهي متماثل مع جبر لي so(3) ، الذي يمكن تحديد عناصره بمصفوفات متناظرة معكوسة من الرتبة 3×3. يوفر التطبيق ^a → [ a ] _× تماثلًا بين R³ و so(3) . وبموجب هذا التطبيق، يقابل الضرب الاتجاهي للمتجهات الثلاثية مبدل المصفوفات المتناظرة معكوسة من الرتبة 3×3 ^.

تحويل المصفوفة للضرب الاتجاهي مع متجهات الأساس المتعارف عليها

يشير إلى${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\in \mathbf {R} ^{3\times 1}}$ال${\displaystyle i}$المتجه الأساسي المتعارف عليه رقم -، وهو حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه عام${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbf {R} ^{3\times 1}}$مع${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$يُعطى بواسطة:${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {e} _{i}=\mathbf {C} _{i}\mathbf {v} }$، أين $${\displaystyle \mathbf {C} _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{2}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{3}={\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$ تشترك هذه المصفوفات في الخصائص التالية: ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=-\mathbf {C} _{i}}$(متناظر معكوس)؛ كل من الأثر والمحدد يساويان صفرًا؛ ${\displaystyle {\text{rank}}(\mathbf {C} _{i})=2}$؛ ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}\mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=\mathbf {P} _{\mathbf {e} _{i}}^{^{\perp }}}$(انظر أدناه)؛ مصفوفة الإسقاط المتعامد لمتجه${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$يُعطى بواسطة${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {v} }=\mathbf {v} \left(\mathbf {v} ^{\textrm {T}}\mathbf {v} \right)^{-1}\mathbf {v} ^{T}}$تُعطى مصفوفة الإسقاط على المتمم المتعامد بالصيغة التالية:${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {v} }^{^{\perp }}=\mathbf {I} -\mathbf {P} _{\mathbf {v} }}$، أين${\displaystyle \mathbf {I} }$هي مصفوفة الوحدة. في الحالة الخاصة لـ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{i}}$، ويمكن التحقق من ذلك $${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{1}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{2}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{3}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$ للاطلاع على خصائص أخرى لمصفوفات الإسقاط المتعامد، انظر الإسقاط (الجبر الخطي) .

يمكن تعريف الضرب الاتجاهي بدلاً من ذلك بدلالة موتر ليفي-سيفيتا E _ijk والضرب النقطي η ^mi ، وهما مفيدان في تحويل تدوين المتجهات لتطبيقات الموترات:

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$$

حيث المؤشرات${\displaystyle i,j,k}$تُقابل هذه المكونات المتجهة. وغالبًا ما يُعبَّر عن هذا التوصيف للضرب الاتجاهي بشكل أكثر إيجازًا باستخدام اصطلاح جمع أينشتاين كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$$

حيث يتم جمع المؤشرات المتكررة على القيم من 1 إلى 3.

في أساس متعامد ذي اتجاه إيجابي، η ^mi = δ ^mi ( دالة كرونكر دلتا ) و${\displaystyle E_{ijk}=\varepsilon _{ijk}}$( رمز ليفي-تشيفيتا ). في هذه الحالة، يمثل هذا التمثيل شكلاً آخر من أشكال التمثيل المتناظر العكسي للضرب الاتجاهي:

$${\displaystyle [\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.}$$

في الميكانيكا الكلاسيكية : يمكن لتمثيل الضرب الاتجاهي باستخدام رمز ليفي-سيفيتا أن يجعل التناظرات الميكانيكية واضحة عندما تكون الأنظمة الفيزيائية متناحية الخواص . (مثال: لنفترض جسيمًا في جهد قانون هوك في الفضاء ثلاثي الأبعاد، حرًا في التذبذب في ثلاثة أبعاد؛ لا يوجد أي من هذه الأبعاد "خاص" بأي شكل من الأشكال، لذا تكمن التناظرات في الزخم الزاوي المُمثَّل بالضرب الاتجاهي، والذي يتضح من خلال تمثيل ليفي-سيفيتا المذكور أعلاه).

يمكن استخدام كلمة "xyzzy" لتذكر تعريف الضرب الاتجاهي.

لو

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$$

أين:

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}}$$

ثم:

$${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}}$$$${\displaystyle a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}}$$$${\displaystyle a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.}$$

يمكن الحصول على المعادلتين الثانية والثالثة من الأولى ببساطة عن طريق تدوير الرموز السفلية عموديًا، x → y → z → x . تكمن المشكلة، بالطبع، في كيفية تذكر المعادلة الأولى، وهناك خياران متاحان لهذا الغرض: إما تذكر القطرين ذوي الصلة في مخطط ساروس (الذي يحتوي على i )، أو تذكر متتالية xyzzy.

بما أن القطر الأول في مخطط ساروس هو القطر الرئيسي للمصفوفة 3×3 المذكورة أعلاه ، فإنه يمكن تذكر الأحرف الثلاثة الأولى من كلمة xyzzy بسهولة بالغة.

على غرار أسلوب التذكر المذكور أعلاه، يمكن تصور علامة "X" بين المتجهين في المعادلة. قد يكون هذا مفيدًا لتذكر صيغة الضرب الاتجاهي الصحيحة.

لو

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$$

ثم:

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$$

إذا أردنا الحصول على صيغة لـ${\displaystyle a_{x}}$ببساطة نتخلى عن${\displaystyle b_{x}}$و${\displaystyle c_{x}}$من الصيغة، ثم خذ المكونين التاليين إلى الأسفل:

$${\displaystyle a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$$

عند القيام بذلك من أجل${\displaystyle a_{y}}$يجب أن يلتف العنصران التاليان حول المصفوفة بحيث يأتي العنصر x بعد العنصر z. وللتوضيح، عند إجراء هذه العملية لـ${\displaystyle a_{y}}$يجب أن يكون المكونان التاليان هما z و x (بهذا الترتيب). أما بالنسبة لـ${\displaystyle a_{z}}$يجب اعتبار المكونين التاليين x و y.

$${\displaystyle a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}}$$

ل${\displaystyle a_{x}}$ثم، إذا تخيلنا عامل الضرب (×) كإشارة من عنصر على اليسار إلى عنصر على اليمين، فيمكننا أخذ العنصر الأول على اليسار وضربه ببساطة في العنصر الذي يشير إليه عامل الضرب في المصفوفة اليمنى. ثم نطرح العنصر التالي لأسفل على اليسار، مضروبًا في العنصر الذي يشير إليه عامل الضرب هنا أيضًا. ينتج عن هذا${\displaystyle a_{x}}$الصيغة –

$${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.}$$

يمكننا فعل ذلك بنفس الطريقة لـ${\displaystyle a_{y}}$و${\displaystyle a_{z}}$لبناء الصيغ المرتبطة بها.

يظهر الضرب الاتجاهي في حساب المسافة بين خطين متخالفين (خطين ليسا في نفس المستوى) في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يمكن استخدام الضرب الاتجاهي لحساب العمودي على المثلث أو المضلع، وهي عملية شائعة في رسومات الحاسوب . على سبيل المثال، يمكن حساب التفاف المضلع (مع عقارب الساعة أو عكسها) حول نقطة داخله عن طريق تقسيم المضلع إلى مثلثات (كما في تصميم عجلة ذات أضلاع) وجمع الزوايا (بين الأضلاع) باستخدام الضرب الاتجاهي لتحديد إشارة كل زاوية.

في الهندسة الحسابية للمستوى ، يُستخدم الضرب الاتجاهي لتحديد إشارة الزاوية الحادة المحددة بثلاث نقاط${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})}$و${\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})}$يتوافق ذلك مع اتجاه (أعلى أو أسفل) الضرب الاتجاهي للمتجهين المستويين المحددين بواسطة زوجي النقاط${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$و${\displaystyle (p_{1},p_{3})}$إشارة الزاوية الحادة هي إشارة التعبير $${\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),}$$ وهو طول المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي للمتجهين. لاستخدام الضرب الاتجاهي، ما عليك سوى تمديد المتجهين ثنائيي الأبعاد.${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$إلى متجهات ثلاثية الأبعاد متحدة المستوى عن طريق التعيين${\displaystyle z_{k}=0}$لكل واحد منهم.

في نظام الإحداثيات "اليميني"، إذا كانت النتيجة صفرًا، فإن النقاط تقع على خط مستقيم واحد ؛ وإذا كانت موجبة، فإن النقاط الثلاث تشكل زاوية دوران موجبة حول محور معين.${\displaystyle p_{1}}$من${\displaystyle p_{2}}$ل${\displaystyle p_{3}}$وإلا فهي زاوية سالبة. من وجهة نظر أخرى، إشارة${\displaystyle P}$يوضح ما إذا كان${\displaystyle p_{3}}$يقع على يسار أو يمين الخط${\displaystyle p_{1},p_{2}.}$

يُستخدم الضرب الاتجاهي في حساب حجم متعدد السطوح مثل رباعي الأوجه أو متوازي المستطيلات .

يُعرَّف الزخم الزاوي L لجسيم حول نقطة أصل معينة على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$$

حيث r هو متجه موضع الجسيم بالنسبة إلى نقطة الأصل، و p هو الزخم الخطي للجسيم.

وبالمثل، فإن عزم القوة M المؤثرة عند النقطة _B حول النقطة A يُعطى على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,}$$

في علم الميكانيكا، يُطلق على عزم القوة أيضًا اسم عزم الدوران ، ويُكتب على النحو التالي:${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

بما أن الموضع r والزخم الخطي p والقوة F كلها متجهات حقيقية ، فإن كل من الزخم الزاوي L وعزم القوة M هما متجهات زائفة أو متجهات محورية .

يظهر الضرب الاتجاهي بشكل متكرر في وصف الحركات الصلبة. يمكن ربط نقطتين P و Q على جسم صلب بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}$$

أين${\displaystyle \mathbf {r} }$هو موقع النقطة،${\displaystyle \mathbf {v} }$سرعته و${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$هي السرعة الزاوية للجسم .

منذ الموقع${\displaystyle \mathbf {r} }$والسرعة${\displaystyle \mathbf {v} }$هي متجهات حقيقية ، السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$هو متجه زائف أو متجه محوري .

يُستخدم الضرب الاتجاهي لوصف قوة لورنتز التي تتعرض لها شحنة كهربائية متحركة q _e :$${\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$

بما أن السرعة v والقوة F والمجال الكهربائي E كلها متجهات حقيقية ، فإن المجال المغناطيسي B هو متجه زائف .

في حساب المتجهات ، يتم استخدام الضرب الاتجاهي لتعريف صيغة عامل الدوران للمتجه .

تظهر حيلة إعادة كتابة الضرب الاتجاهي بدلالة ضرب المصفوفات بشكل متكرر في الهندسة الإبيبولارية والهندسة متعددة المناظر، وخاصة عند اشتقاق قيود المطابقة.

يمكن اعتبار الضرب الاتجاهي أحد أبسط أنواع ضرب لي، وبالتالي يُعمم بواسطة جبر لي ، الذي يُصاغ على أنه ضرب ثنائي يحقق بديهيات التعددية الخطية، والتناظر المائل، ومتطابقة جاكوبي. توجد العديد من أنواع جبر لي، ودراستها مجال رئيسي في الرياضيات يُسمى نظرية لي .

فعلى سبيل المثال، تُعطي جبر هايزنبرغ بنية جبر لي أخرى على${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}.}$في الأساس${\displaystyle \{x,y,z\},}$المنتج هو${\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.}$

_يمكن وصف الضرب الاتجاهي أيضًا باستخدام الكواترنيونات . عمومًا، إذا مُثِّل المتجه [ a1 , _a2 , a3 ] _على هيئة الكواترنيون a1i ₊ a2j + a3k _، يُمكن الحصول على الضرب الاتجاهي لمتجهين بأخذ حاصل ضربهما ككواترنيونات وحذف الجزء الحقيقي من الناتج. سيكون الجزء الحقيقي هو معكوس _حاصل الضرب القياسي للمتجهين.

يمكن الحصول على الضرب الاتجاهي للمتجهات ذات الأبعاد السبعة بنفس الطريقة باستخدام الأوكتونيونات بدلاً من الكواترنيونات. ويرتبط عدم وجود الضرب الاتجاهي غير التافه ذي القيم المتجهة لمتجهين في أبعاد أخرى بنتيجة نظرية هورويتز التي تنص على أن جبر القسمة المعياري الوحيد هو ذلك الذي له الأبعاد 1 و2 و4 و8.

في الفضاءات ذات الأبعاد العامة، لا يوجد نظير مباشر للضرب الاتجاهي الثنائي ينتج عنه متجهٌ تحديدًا. مع ذلك، يوجد الضرب الخارجي، الذي يتمتع بخصائص مشابهة، باستثناء أن الضرب الخارجي لمتجهين ينتج عنه متجه ثنائي الأبعاد بدلًا من متجه عادي. كما ذُكر سابقًا، يمكن تفسير الضرب الاتجاهي على أنه الضرب الخارجي في ثلاثة أبعاد باستخدام مؤثر هودج النجمي لتحويل المتجهات ثنائية الأبعاد إلى متجهات. ينتج عن نظير هودج للضرب الخارجي متجهًا من الرتبة ( ن - ٢) ، وهو تعميم طبيعي للضرب الاتجاهي في أي عدد من الأبعاد.

يمكن دمج الضرب الخارجي والضرب النقطي (من خلال الجمع) لتشكيل الضرب الهندسي في الجبر الهندسي.

كما ذُكر سابقًا، يمكن تفسير الضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد على أنه ثنائي هودج للضرب الخارجي. في أي عدد محدود n من الأبعاد، يكون ثنائي هودج للضرب الخارجي لـ n − 1 متجهًا متجهًا. لذا، بدلًا من كونه عملية ثنائية، في أي عدد محدود من الأبعاد، يُعمم الضرب الاتجاهي على أنه ثنائي هودج للضرب الخارجي لبعض n − 1 متجهًا مُعطى. يُسمى هذا التعميم بالضرب الخارجي . ^{[ 20 ]}

تفسير الفضاء المتجهي ثلاثي الأبعاد للجبر على أنه الجبر الفرعي ثنائي المتجهات (وليس أحادي المتجهات) للجبر الهندسي ثلاثي الأبعاد، حيث${\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} }$،${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} }$، و${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} }$يتطابق الضرب الاتجاهي تمامًا مع الضرب التبادلي في الجبر الهندسي، وكلاهما يستخدم نفس الرمز.${\displaystyle \times }$يُعرَّف حاصل الضرب التبادلي للمتجهات ثنائية الأبعاد.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$في الجبر الهندسي كما يلي:

$${\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA),}$$

أين${\displaystyle AB}$هو الناتج الهندسي. ^{[ 21 ]}

يمكن تعميم الضرب التبادلي ليشمل أي متجهات متعددة في ثلاثة أبعاد، مما ينتج عنه متجه متعدد يتكون فقط من عناصر من الفئتين 1 (المتجهات من الرتبة 1/ المتجهات الحقيقية ) و2 (المتجهات من الرتبة 2/المتجهات الزائفة). في حين أن الضرب التبادلي لمتجهين من الرتبة 1 هو نفسه الضرب الخارجي وينتج عنه متجه من الرتبة 2، فإن الضرب التبادلي لمتجه من الرتبة 1 ومتجه من الرتبة 2 ينتج عنه متجه حقيقي، وهو ما يتوافق مع الانكماشين الأيسر والأيمن في الجبر الهندسي. لا يوجد ضرب تبادلي مكافئ لمتجهين من الرتبة 2، ولهذا السبب تم تعريف الضرب التبادلي في المقام الأول للمتجهات من الرتبة 2. علاوة على ذلك، فإن الضرب التبادلي الثلاثي لثلاثة متجهات من الرتبة 2 هو نفسه الضرب الثلاثي للمتجهات الزائفة الثلاثة نفسها في الجبر المتجهي. ومع ذلك، فإن الضرب الثلاثي التبادلي لثلاثة متجهات من الرتبة 1 في الجبر الهندسي هو في الواقع عكس الضرب الثلاثي المتجهي لنفس المتجهات الثلاثة الحقيقية في الجبر المتجهي.

يُمكن تعميم هذه العملية إلى أبعاد أعلى باستخدام نفس الضرب التبادلي للمتجهات الثنائية في الجبر الهندسي ذي الأبعاد الأعلى، ولكن هذه المتجهات الثنائية لم تعد متجهات زائفة. وكما أن الضرب التبادلي/الضرب الاتجاهي للمتجهات الثنائية في ثلاثة أبعاد يُقابل أبسط جبر لي ، فإن الجبر الجزئي للمتجهات الثنائية في الجبر الهندسي ذي الأبعاد الأعلى، والمُجهز بالضرب التبادلي، يُقابل أيضًا جبر لي. ^{[ 22 ]} وكما هو الحال في ثلاثة أبعاد، يُمكن تعميم الضرب التبادلي ليشمل أي متجهات متعددة.

في سياق الجبر متعدد الخطوط ، يمكن اعتبار الضرب الاتجاهي بمثابة موتر (1،2) ( موتر مختلط ، وتحديداً خريطة ثنائية الخطية ) تم الحصول عليه من شكل الحجم ثلاثي الأبعاد ، ^{[ ملاحظة 2 ]} موتر (0،3)، عن طريق رفع دليل .

بتفصيل أكثر، يحدد شكل الحجم ثلاثي الأبعاد منتجًا${\displaystyle V\times V\times V\to \mathbf {R} ,}$بأخذ محدد المصفوفة المعطاة بهذه المتجهات الثلاثة. وبحسب الازدواجية ، فإن هذا يكافئ دالة.${\displaystyle V\times V\to V^{*},}$(تثبيت أي مدخلين يعطي دالة)${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$بتقييم المدخل الثالث) وفي وجود جداء داخلي (مثل الجداء النقطي؛ وبشكل أعم، شكل ثنائي خطي غير منحل )، يكون لدينا تماثل${\displaystyle V\to V^{*},}$وبالتالي ينتج عن ذلك خريطة${\displaystyle V\times V\to V,}$وهو الضرب الاتجاهي: تم تحويل موتر (0,3) (3 مدخلات متجهة، مخرج قياسي) إلى موتر (1,2) (2 مدخلات متجهة، مخرج متجه واحد) عن طريق "رفع مؤشر".

بترجمة الجبر أعلاه إلى الهندسة، فإن دالة "حجم متوازي المستطيلات" تُعرَّف بواسطة${\displaystyle (a,b,-)}$(حيث يكون المتجهان الأولان ثابتين والأخير هو مُدخل)، والذي يُعرّف دالة${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$يمكن تمثيلها بشكل فريد كحاصل ضرب نقطي مع متجه: هذا المتجه هو حاصل الضرب الاتجاهي${\displaystyle a\times b.}$من هذا المنظور، يُعرَّف الضرب الاتجاهي بالضرب الثلاثي القياسي .${\displaystyle \mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.}$

وبالمثل، في الأبعاد الأعلى، يمكن تعريف الضرب التقاطعي المعمم برفع مؤشرات شكل الحجم ذي الأبعاد n ، وهو${\displaystyle (0,n)}$الموتر. إن أكثر التعميمات المباشرة للضرب الاتجاهي هي تعريف أحد الخيارين التاليين:

• أ${\displaystyle (1,n-1)}$-tensor، الذي يأخذ كمدخل${\displaystyle n-1}$المتجهات، ويعطي كناتج متجه واحد -${\displaystyle (n-1)}$الضرب المتجهي ذو القيم من الرتبة n، أو
• أ${\displaystyle (n-2,2)}$-tensor، الذي يأخذ كمدخل متجهين ويخرج كمخرج موترًا متماثلًا معكوسًا من الرتبة n − 2 – وهو ناتج ثنائي بقيم موتر من الرتبة n − 2. ويمكن أيضًا تعريف${\displaystyle (k,n-k)}$-الموترات لـ k الأخرى .

جميع هذه المنتجات متعددة الخطية ومتناظرة بشكل معكوس، ويمكن تعريفها من حيث المحدد والزوجية .

ال${\displaystyle (n-1)}$يمكن وصف الضرب من الرتبة -ary كما يلي: معطى${\displaystyle n-1}$المتجهات${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n-1}}$في${\displaystyle \mathbf {R} ^{n},}$عرّف الضرب التقاطعي المعمم الخاص بهم${\displaystyle v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}}$مثل:

• عمودي على المستوى الفائق المحدد بواسطة${\displaystyle v_{i},}$
• الحجم هو حجم متوازي السطوح المحدد بواسطة${\displaystyle v_{i},}$والذي يمكن حسابه كمحدد غرام لـ${\displaystyle v_{i},}$
• موجهة بحيث${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$هو ذو توجه إيجابي.

هذا هو المنتج الخطي المتعدد الفريد والمتناوب الذي يُقيّم إلى${\displaystyle e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}}$،${\displaystyle e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},}$وهكذا بالنسبة للتباديل الدورية للمؤشرات.

في الإحداثيات، يمكن للمرء أن يعطي صيغة لهذا.${\displaystyle (n-1)}$النظير -ary للضرب التقاطعي في R ⁿ بواسطة:

$${\displaystyle \bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.}$$

تتطابق هذه الصيغة في بنيتها مع صيغة المحدد للجداء الاتجاهي العادي في الفضاء ثلاثي الأبعاد R³ ^، باستثناء أن صف متجهات الأساس هو الصف الأخير في المحدد وليس الأول. والسبب في ذلك هو ضمان أن تكون المتجهات المرتبة ( _{v₁ ,} ... _{, vₙ₋₁, Λₙ₋₁ᵢ=₀ vᵢ) ذات اتجاه موجب بالنسبة إلى (e₁, ..., eₙ} ) . إذا ^كان _n فرديًا ، فإن هذا التعديل لا _يُغير القيمة _، وبالتالي _يتوافق هذا الاصطلاح مع التعريف العادي للجداء الثنائي . ^أما في حالة كون n زوجيًا، فيجب الحفاظ على هذا التمييز.${\displaystyle (n-1)}$تتمتع الصيغة السالبة بالعديد من الخصائص نفسها التي يتمتع بها الضرب الاتجاهي للمتجهات: فهي متناوبة وخطية في وسائطها، وعمودية على كل وسيط، ويعطي مقدارها الحجم الفائق للمنطقة المحصورة بين الوسائط. ومثل الضرب الاتجاهي للمتجهات، يمكن تعريفها بطريقة مستقلة عن الإحداثيات على أنها ثنائية هودج للضرب الخارجي للوسائط. علاوة على ذلك، فإن الضرب${\displaystyle [v_{1},\ldots ,v_{n}]:=\bigwedge _{i=0}^{n}v_{i}}$يلبي هوية فيليبوف، $${\displaystyle [[x_{1},\ldots ,x_{n}],y_{2},\ldots ,y_{n}]]=\sum _{i=1}^{n}[x_{1},\ldots ,x_{i-1},[x_{i},y_{2},\ldots ,y_{n}],x_{i+1},\ldots ,x_{n}],}$$ وبالتالي فإنه يمنح R ⁿ⁺¹ بنية جبر n-Lie (انظر الاقتراح 1 من ^{[ 23 ]} ).