كثيرات حدود أسكي ويلسون

في الرياضيات، تُعدّ كثيرات حدود أسكي-ويلسون (أو كثيرات حدود ويلسون- q ) عائلةً من كثيرات الحدود المتعامدة، قدّمها ريتشارد أسكي وجيمس أ. ويلسون كنظائر- q لكثيرات حدود ويلسون . [ ^{1 ] وهي} تشمل العديد من كثيرات الحدود المتعامدة الأخرى في متغير واحد كحالات خاصة أو حدّية ، موصوفة في مخطط أسكي . تُعتبر كثيرات حدود أسكي-ويلسون حالةً خاصةً من كثيرات حدود ماكدونالد (أو كثيرات حدود كورنويندر ) لنظام الجذور الأفيني غير المختزل من النوع ( C ^∨ ₁ , C ₁ )، وتتوافق معاييرها الأربعة a و b و c و d مع مدارات جذور هذا النظام.

يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle p_{n}(x)=p_{n}(x;a,b,c,d\mid q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]}$

حيث φ دالة هندسية فائقة أساسية ، و x = cos θ ، و (,,,) _n هو رمز بوخامر q . دوال أسكي-ويلسون هي تعميم للقيم غير الصحيحة لـ n .

يمكن إثبات هذه النتيجة لأنه من المعروف أن

${\displaystyle p_{n}(\cos {\theta })=p_{n}(\cos {\theta };a,b,c,d\mid q)}$

وباستخدام تعريف رمز بوخامر q

${\displaystyle p_{n}(\cos {\theta })=a^{-n}\sum _{\ell =0}^{n}q^{\ell }\left(abq^{\ell },acq^{\ell },adq^{\ell };q\right)_{n-\ell }\times {\frac {\left(q^{-n},abcdq^{n-1};q\right)_{\ell }}{(q;q)_{\ell }}}\prod _{j=0}^{\ell -1}\left(1-2aq^{j}\cos {\theta }+a^{2}q^{2j}\right)}$

مما يؤدي إلى استنتاج أنه يساوي

${\displaystyle a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]}$

• مخطط أسكي

• أسكي، ريتشارد ؛ ويلسون، جيمس (1985)، "بعض كثيرات الحدود المتعامدة فوق الهندسية الأساسية التي تعمم كثيرات حدود جاكوبي" ، مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد  54، الصفحات  iv+55، doi : 10.1090/memo/0319 ، ISBN 978-0-8218-2321-7ISSN 0065-9266 ، MR 0783216​  
• جاسبر، جورج؛ رحمن، ميزان (2004)، المتسلسلات الهندسية الفائقة الأساسية ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد  96 (الطبعة الثانية  )، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-83357-8MR 2128719​ 
• كورنويندر، توم هـ.؛ وونغ، رودريك إس سي؛ كوكوك، رويلوف؛ سوارتو، رينيه إف. (2010)، "فئة أسكي-ويلسون" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم.؛ بوافير، رونالد إف.؛ كلارك، تشارلز دبليو. (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
• كورنويندر، توم هـ. (2012)، "متعددة حدود أسكي-ويلسون"، سكولاربيديا ، 7 (7): 7761، رمز Bibcode : 2012SchpJ...7.7761K ، doi : 10.4249/scholarpedia.7761