كثيرات الحدود المتعامدة

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المتتالية متعددة الحدود المتعامدة هي عائلة من كثيرات الحدود بحيث يكون أي كثيري حدود مختلفين في المتتالية متعامدين مع بعضهما البعض تحت بعض الضرب الداخلي .

تُعدّ كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية ، التي تتألف من كثيرات حدود هيرميت ، وكثيرات حدود لاغير، وكثيرات حدود جاكوبي، من أكثر كثيرات الحدود المتعامدة استخدامًا . وتشكل كثيرات حدود غيغنباور أهم فئة من كثيرات حدود جاكوبي، وتشمل كثيرات حدود تشيبيشيف وكثيرات حدود ليجندر كحالات خاصة. وغالبًا ما تُعطى هذه كثيرات الحدود بصيغة رودريغز .

نشأ مجال كثيرات الحدود المتعامدة في أواخر القرن التاسع عشر انطلاقًا من دراسة الكسور المستمرة التي أجراها ب . ل. تشيبيشيف ، وتابعها أ. أ. ماركوف وت . ج. ستيلتجس . وتظهر هذه كثيرات الحدود في مجالات متنوعة، منها: التحليل العددي ( قواعد التربيع )، ونظرية الاحتمالات ، ونظرية التمثيل ( لمجموعات لي ، والمجموعات الكمومية ، والأجسام ذات الصلة)، والتوافقية العددية ، والتوافقية الجبرية ، والفيزياء الرياضية (نظرية المصفوفات العشوائية ، والأنظمة التكاملية ، وغيرها)، ونظرية الأعداد . ومن أبرز علماء الرياضيات الذين عملوا على كثيرات الحدود المتعامدة: غابور سيغو ، وسيرجي بيرنشتاين ، ونعوم أخيزر ، وآرثر إرديلي ، وياكوف جيرونيموس ، وولفغانغ هان ، وثيودور سيو تشيهارا ، ومراد إسماعيل ، ووليد السلام ، وريتشارد أسكي ، ورهويل لوباتو .

تعريف حالة المتغير الواحد لمقياس حقيقي

بفرض أي دالة غير متناقصة α على الأعداد الحقيقية، يمكننا تعريف تكامل ليبيغ-ستيلتيس∫و(x)دα(x){\displaystyle \int f(x)\,d\alpha (x)} للدالة f . إذا كان هذا التكامل محدودًا لجميع كثيرات الحدود f ، فيمكننا تعريف جداء داخلي على أزواج كثيرات الحدود f و g كما يلي: ⟨و،ز⟩=∫و(x)ز(x)دα(x).{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).}

تُعدّ هذه العملية جداءً داخليًا شبه موجب على الفضاء المتجهي لجميع كثيرات الحدود، وتكون موجبة تمامًا إذا كانت للدالة α عدد لا نهائي من نقاط النمو. وهي تُولّد مفهوم التعامد بالطريقة المعتادة، أي أن كثيرتي حدود تكونان متعامدتين إذا كان جداءهما الداخلي يساوي صفرًا.

ثم يتم تعريف متتالية كثيرات الحدود المتعامدة ( P n ) ∞ n =0 بالعلاقات درجة⁡Pن=ن ،⟨Pم،Pن⟩=0لم≠ن .{\displaystyle \deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.}

بمعنى آخر، يتم الحصول على المتتالية من متتالية أحاديات الحدود 1، x ، x 2 ، ... بواسطة عملية غرام-شميدت فيما يتعلق بهذا المنتج الداخلي.

عادةً ما يُشترط أن يكون التسلسل متعامدًا ، أي ⟨Pن،Pن⟩=1،{\displaystyle \langle P_{n},P_{n}\rangle =1,} ومع ذلك، يتم استخدام طرق تسوية أخرى في بعض الأحيان.

حالة مستمرة تمامًا

أحيانًا يكون لدينا دα(x)=دبليو(x)دx{\displaystyle d\alpha (x)=W(x)\,dx} أين دبليو:[x1،x2]→R{\displaystyle W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} } هي دالة غير سالبة ذات تعريف على فترة ما [ x1 , x2 ] في خط الأعداد الحقيقية (حيث يُسمح بـ x1 = −∞ و x2 = ∞) . تُسمى هذه الدالة   W دالة وزن . [ 1 ] عندئذٍ يُعطى الجداء الداخلي بالعلاقة التالية :⟨و،ز⟩=∫x1x2و(x)ز(x)دبليو(x)دx.{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.} ومع ذلك، هناك العديد من الأمثلة على كثيرات الحدود المتعامدة حيث يكون للمقياس dα ( x ) نقاط ذات قياس غير صفري حيث تكون الدالة α غير متصلة، وبالتالي لا يمكن إعطاؤها بواسطة دالة وزن W كما هو مذكور أعلاه.

أمثلة على كثيرات الحدود المتعامدة

تُعدّ كثيرات الحدود المتعامدة الأكثر استخدامًا هي تلك التي يكون فيها نطاق القياس ضمن فترة حقيقية. ويشمل ذلك:

كثيرات الحدود المتعامدة المنفصلة متعامدة بالنسبة إلى مقياس منفصل . أحيانًا يكون للمقياس مجال محدود، وفي هذه الحالة تكون عائلة كثيرات الحدود المتعامدة محدودة، وليست متتالية لانهائية. تُعد كثيرات حدود راكا أمثلة على كثيرات الحدود المتعامدة المنفصلة، ​​وتشمل كحالات خاصة كثيرات حدود هان وكثيرات حدود هان المزدوجة ، والتي بدورها تشمل كحالات خاصة كثيرات حدود ميكسنر ، وكثيرات حدود كراوتشوك ، وكثيرات حدود شارلييه .

صنّف ميكسنر جميع متواليات شيفر المتعامدة : وهي هيرميت، ولاغير، وشارلييه، وميكسنر، وميكسنر-بولاتشيك. ويمكن القول إن متوالية كراوتشوك يجب أن تكون ضمن هذه القائمة أيضًا، لكنها متوالية منتهية. تُقابل هذه العائلات الست دوال NEF-QVF ، وهي كثيرات حدود مارتينجال لبعض عمليات ليفي .

تحتوي كثيرات الحدود المتعامدة المنخولة ، مثل كثيرات الحدود الكروية الفائقة المنخولة ، وكثيرات حدود جاكوبي المنخولة ، وكثيرات حدود بولاتشيك المنخولة ، على علاقات تكرار معدلة .

يمكن أيضًا دراسة كثيرات الحدود المتعامدة لمنحنى ما في المستوى المركب . وأهم حالة (بخلاف الفترات الحقيقية) هي عندما يكون المنحنى دائرة الوحدة، مما ينتج عنه كثيرات حدود متعامدة على دائرة الوحدة ، مثل كثيرات حدود روجرز-سيجو .

توجد بعض عائلات كثيرات الحدود المتعامدة التي تكون متعامدة على مناطق مستوية كالمثلثات والأقراص. ويمكن أحيانًا كتابتها بدلالة كثيرات حدود جاكوبي. على سبيل المثال، كثيرات حدود زيرنيكه متعامدة على قرص الوحدة .

تُطبَّق ميزة التعامد بين رتب مختلفة من كثيرات حدود هيرميت على بنية تعدد الإرسال بتقسيم التردد المعمم (GFDM). ويمكن نقل أكثر من رمز واحد في كل شبكة من شبكات الزمن والتردد. [ 2 ]

ملكيات

تتمتع كثيرات الحدود المتعامدة لمتغير واحد، المعرفة بواسطة مقياس غير سالب على خط الأعداد الحقيقية، بالخصائص التالية.

العلاقة باللحظات

يمكن التعبير عن كثيرات الحدود المتعامدة P n بدلالة العزوم

من=∫xندα(x){\displaystyle m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)}

على النحو التالي:

Pن(x)=جنالمحقق[م0م1م2⋯منم1م2م3⋯من+1⋮⋮⋮⋱⋮من-1منمن+1⋯م2ن-11xx2⋯xن] ،{\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,}

حيث أن الثوابت c n اختيارية (تعتمد على تطبيع P n ).

ينتج هذا مباشرةً عن تطبيق عملية غرام-شميدت على أحاديات الحدود، وفرض أن تكون كل متعددة حدود متعامدة مع سابقاتها. على سبيل المثال، التعامد معP0{\displaystyle P_{0}}ينص على ذلكP1{\displaystyle P_{1}}يجب أن يكون النموذجP1(x)=ج1(x-⟨P0،x⟩P0⟨P0،P0⟩)=ج1(x-م1)،{\displaystyle P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),}والذي يمكن اعتباره متسقًا مع التعبير المعطى سابقًا مع المحدد.

علاقة التكرار

تحقق كثيرات الحدود P n علاقة تكرارية ثلاثية الحدود على النحو التالي

Pن(x)=(أنx+بن)Pن-1(x)+جنPن-2(x){\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)}

حيث لا يساوي A n صفرًا. والعكس صحيح أيضًا؛ انظر نظرية فافارد . تُعدّ علاقات التكرار هذه أساسية لاستنتاج خصائص كثيرات الحدود المتعامدة.

صيغة كريستوفيل-داربو

أصفار

إذا كانت الدالة dα مدعومة على الفترة [ a , b ]، فإن جميع أصفار Pn تقع في [ a , b ]. علاوة على ذلك، تتمتع الأصفار بخاصية التداخل التالية: إذا كان m < n ، فسيكون هناك صفر لـ Pn بين أي صفرين لـ Pm .     

التفسير التوافقي

منذ ثمانينيات القرن العشرين، وبفضل أعمال إكس جي فيينو، وجيه لابيل، وي-إن يه، ودي فواتا، وآخرين، تم التوصل إلى تفسيرات توافقية لجميع كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية. [ 3 ]

أنواع أخرى من كثيرات الحدود المتعامدة

كثيرات الحدود المتعامدة متعددة المتغيرات

تُعدّ كثيرات حدود ماكدونالد كثيرات حدود متعامدة في عدة متغيرات، وذلك تبعًا لاختيار نظام جذري تآلفي . وتشمل هذه الكثير من عائلات أخرى من كثيرات الحدود المتعامدة متعددة المتغيرات كحالات خاصة، بما في ذلك كثيرات حدود جاك ، وكثيرات حدود هول-ليتلوود ، وكثيرات حدود هيكمان-أوبدام ، وكثيرات حدود كورنويندر . أما كثيرات حدود أسكي-ويلسون فهي حالة خاصة من كثيرات حدود ماكدونالد لنظام جذري غير مُختزل من الرتبة 1.

كثيرات الحدود المتعامدة المتعددة

كثيرات الحدود المتعامدة المتعددة هي كثيرات حدود في متغير واحد متعامدة بالنسبة لمجموعة محدودة من المقاييس.

كثيرات حدود سوبوليف المتعامدة

هذه كثيرات حدود متعامدة بالنسبة لجداء سوبوليف الداخلي، أي جداء داخلي مع مشتقات. إن تضمين المشتقات له آثار كبيرة على كثيرات الحدود، فهي عموماً لم تعد تتمتع ببعض الخصائص المميزة لكثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية.

كثيرات الحدود المتعامدة مع المصفوفات

كثيرات الحدود المتعامدة ذات المصفوفات إما أن تكون معاملاتها عبارة عن مصفوفات أو أن يكون المتغير غير المحدد عبارة عن مصفوفة.

هناك مثالان شائعان: إما المعاملات{أأنا}{\displaystyle \{a_{i}\}}المصفوفات أوx{\displaystyle x}:

  • الخيار 1:P(x)=أنxن+أن-1xن-1+⋯+أ1x+أ0{\displaystyle P(x)=A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots +A_{1}x+A_{0}}، أين{أأنا}{\displaystyle \{A_{i}\}}نكونص×ص{\displaystyle p\times p}المصفوفات.
  • الخيار الثاني:P(X)=أنXن+أن-1Xن-1+⋯+أ1X+أ0أناص{\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}I_{p}}أينX{\displaystyle X}هوص×ص{\displaystyle p\times p}-المصفوفة وأناص{\displaystyle I_{p}}هي مصفوفة الوحدة .

كثيرات الحدود الكمومية

كثيرات الحدود الكمومية أو كثيرات الحدود q هي نظائر q لكثيرات الحدود المتعامدة.

كثيرات الحدود المتعامدة المائلة

يمكن تعريف كثيرات الحدود المتعامدة على أنها مجموعة أساس متجهةP0،P1،P2،...{\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2},\dots }من شكل ثنائي الخطية متناظرب{\displaystyle B}على كثيرات الحدود. في أساس كثيرات الحدود المتعامدة، يصبح الشكل الثنائي الخطي قطريًا كما يلي:ب(Pأنا،Pج)=ب(Pأنا،Pأنا)دلتاأناج{\displaystyle B(P_{i},P_{j})=B(P_{i},P_{i})\delta _{ij}}وبالمثل، إذا أُعطي شكل ثنائي خطي غير منحل ومتناظر عكسيًا على كثيرات الحدود، فيمكننا إيجاد زوج من مجموعات الأساس المتجهة.P0،P1،P2،...{\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2},\dots }وسؤال0،سؤال1،سؤال2،...{\displaystyle Q_{0},Q_{1},Q_{2},\dots }بحيث يصبح الشكل الثنائي الخطي قطريًا منحرفًا كما يلي:ب(Pأنا،سؤالج)=ب(Pأنا،سؤالأنا)دلتاأناج{\displaystyle B(P_{i},Q_{j})=B(P_{i},Q_{i})\delta _{ij}}.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ عرض توضيحي لكثيرات الحدود المتعامدة التي تم الحصول عليها لدوال وزن مختلفة
  2. ↑ كاتاك، إي.؛ دوراك-أتا، ل. (2017). "تصميم جهاز إرسال واستقبال فعال للأشكال الموجية المتراكبة مع كثيرات الحدود المتعامدة". مؤتمر IEEE الدولي للبحر الأسود للاتصالات والشبكات (BlackSeaCom) لعام 2017. الصفحات 1-5 . doi : 10.1109/BlackSeaCom.2017.8277657 . ISBN  978-1-5090-5049-9. S2CID 22592277 . 
  3. ↑ فيينو، كزافييه (2017). "فن التوافقية التقابلية، الجزء الرابع، النظرية التوافقية لكثيرات الحدود المتعامدة والكسور المستمرة" . تشيناي: معهد العلوم الطبية.