مشغل التأخير

في تحليل السلاسل الزمنية ، يعمل عامل التأخير (L) أو عامل الإزاحة الخلفية (B) على عنصر من عناصر السلسلة الزمنية لإنتاج العنصر السابق له. على سبيل المثال، بالنظر إلى سلسلة زمنية معينة

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

ثم

${\displaystyle LX_{t}=X_{t-1}}$للجميع${\displaystyle t>1}$

أو على نحو مماثل فيما يتعلق بمشغل الإزاحة الخلفية B :${\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}}$للجميع${\displaystyle t>1}$. وبصورة مكافئة، يمكن تمثيل هذا التعريف على النحو التالي

${\displaystyle X_{t}=LX_{t+1}}$للجميع${\displaystyle t\geq 1}$

يمكن رفع عامل التأخير (وكذلك عامل الإزاحة العكسية) إلى قوى عددية صحيحة عشوائية بحيث

${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$

و

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{tk}.}$

يمكن استخدام كثيرات الحدود لمؤثر التأخير، وهذا ترميز شائع لنماذج ARMA (المتوسط ​​المتحرك التلقائي). على سبيل المثال،

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}}$

يحدد نموذج AR( p ).

تُسمى متعددة الحدود لمؤثرات التأخير متعددة حدود التأخير ، بحيث يمكن، على سبيل المثال، تحديد نموذج ARMA بإيجاز على النحو التالي:

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}$

أين${\displaystyle \varphi (L)}$و${\displaystyle \theta (L)}$تمثل على التوالي كثيرات الحدود المتأخرة

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}$

و

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

تخضع كثيرات حدود عوامل التأخير لقواعد ضرب وقسمة مماثلة لتلك التي تخضع لها الأعداد وكثيرات حدود المتغيرات. على سبيل المثال،

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

يعني نفس الشيء

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}$

كما هو الحال مع كثيرات الحدود ذات المتغيرات، يمكن قسمة كثيرة حدود في عامل التأخير على أخرى باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود . وبشكل عام، ينتج عن قسمة كثيرة حدود من هذا النوع على أخرى، عندما تكون لكل منهما رتبة محدودة (أعلى أس)، كثيرة حدود من رتبة غير محدودة.

عامل الإفناء ، ويرمز له بـ${\displaystyle [\ ]_{+}}$، يزيل مدخلات متعددة الحدود ذات الأس السالب (القيم المستقبلية).

لاحظ أن${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$ يرمز إلى مجموع المعاملات:

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

في تحليل السلاسل الزمنية، عامل الفرق الأول  :${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}}$

وبالمثل، يعمل عامل الفرق الثاني على النحو التالي:

$\displaystyle \begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

يمكن تعميم النهج المذكور أعلاه ليشمل عامل الفرق رقم i${\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

من الشائع في العمليات العشوائية الاهتمام بالقيمة المتوقعة لمتغير ما بالنظر إلى مجموعة معلومات سابقة. لنفترض${\displaystyle \Omega _{t}}$إذا كانت جميع المعلومات التي تُعتبر معرفة عامة في الوقت t (غالبًا ما يتم وضع رمز سفلي أسفل عامل التوقع)؛ فإن القيمة المتوقعة لتحقيق X ، j خطوة زمنية في المستقبل، يمكن كتابتها بشكل مكافئ على النحو التالي:

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].}$

مع هذه التوقعات الشرطية المعتمدة على الوقت، هناك حاجة للتمييز بين عامل الإزاحة الخلفية ( B ) الذي يقوم فقط بتعديل تاريخ المتغير المتوقع وعامل التأخير ( L ) الذي يقوم بتعديل تاريخ المتغير المتوقع ومجموعة المعلومات بالتساوي:

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{tn}[X_{t+jn}],}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].}$

• نموذج الانحدار الذاتي
• نموذج المتوسط ​​المتحرك التلقائي
• نموذج المتوسط ​​المتحرك
• مشغل وردية
• تحويل Z

• هاميلتون، جيمس دوغلاس (1994). تحليل السلاسل الزمنية . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-04289-6.
• فيربيك، مارنو (2008). دليل الاقتصاد القياسي الحديث . جون وايلي وأولاده. ISBN 0-470-51769-7.
• وايسشتاين، إريك. "عالم وولفرام الرياضي" . عالم وولفرام الرياضي: عامل الفرق . أبحاث وولفرام . تم الاسترجاع في 10 نوفمبر 2017 .
• بوكس، جورج إي بي؛ جينكينز، جويليم إم؛ رينسل، جريجوري سي؛ ليونج، جريتا إم (2016). تحليل السلاسل الزمنية: التنبؤ والتحكم (الطبعة الخامسة  ). نيوجيرسي: وايلي. ISBN 978-1-118-67502-1.