نموذج المتوسط ​​المتحرك

في تحليل السلاسل الزمنية ، يُعد نموذج المتوسط ​​المتحرك ( نموذج MA )، والذي يُسمى أيضًا عملية المتوسط ​​المتحرك ، منهجًا قياسيًا لنمذجة السلاسل الزمنية أحادية المتغير . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يعبّر نموذج المتوسط ​​المتحرك عن القيمة الحالية لسلسلة زمنية كدالة خطية للصدمات العشوائية الحالية والسابقة (حدود الخطأ) مع طول تأخير محدود. وعلى عكس نموذج الانحدار الذاتي ، الذي يعتمد على قيم المتغير السابقة، يعتمد نموذج المتوسط ​​المتحرك كليًا على بنية التبعية لحدود الخطأ.

إلى جانب نموذج الانحدار الذاتي (AR) ، يُعدّ نموذج المتوسط ​​المتحرك حالة خاصة ومكونًا أساسيًا لنموذجي ARMA و ARIMA الأكثر عمومية للسلاسل الزمنية ، ^{[ 3 ]} واللذين يتميزان ببنية عشوائية أكثر تعقيدًا. وعلى عكس نموذج الانحدار الذاتي، فإن نموذج المتوسط ​​المتحرك المحدود يكون دائمًا مستقرًا .

لا ينبغي الخلط بين نموذج المتوسط ​​المتحرك والمتوسط ​​المتحرك ، فهما مفهومان مختلفان على الرغم من بعض أوجه التشابه. ^{[ 4 ]}

يشير الرمز MA( q ) إلى نموذج المتوسط ​​المتحرك من الرتبة q :

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{tq}=\mu +\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}+\varepsilon _{t},}$

أين${\displaystyle \mu }$هو متوسط ​​السلسلة،${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$هي معاملات النموذج و${\displaystyle \varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1},...,\varepsilon _{tq}}$تمثل هذه الحدود حدود الخطأ. تُسمى قيمة q رتبة نموذج المتوسط ​​المتحرك. ويمكن كتابة ذلك بشكل مكافئ بدلالة عامل الإزاحة العكسية B كما يلي ^{[ 5 ]}

${\displaystyle X_{t}=\mu +(1+\theta _{1}B+\cdots +\theta _{q}B^{q})\varepsilon _{t}.}$

وبالتالي، فإن نموذج المتوسط ​​المتحرك هو من الناحية النظرية انحدار خطي للقيمة الحالية للسلسلة مقابل حدود الخطأ الحالية والسابقة (المرصودة) للضوضاء البيضاء أو الصدمات العشوائية. ويُفترض أن الصدمات العشوائية عند كل نقطة مستقلة عن بعضها البعض وأنها تنتمي إلى نفس التوزيع، وعادةً ما يكون توزيعًا طبيعيًا ، مع موقع عند الصفر ومقياس ثابت.

يُعدّ نموذج المتوسط ​​المتحرك في جوهره مرشح استجابة نبضية محدودة يُطبّق على الضوضاء البيضاء، مع إضافة بعض التفسيرات إليه. ويختلف دور الصدمات العشوائية في نموذج المتوسط ​​المتحرك عن دورها في نموذج الانحدار الذاتي (AR) من ناحيتين. أولاً، تنتقل هذه الصدمات مباشرةً إلى القيم المستقبلية للسلسلة الزمنية: على سبيل المثال،${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$يظهر مباشرة على الجانب الأيمن من المعادلة لـ${\displaystyle X_{t}}$على النقيض من ذلك، في نموذج الواقع المعزز${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$لا يظهر على الجانب الأيمن من${\displaystyle X_{t}}$لكنها تظهر على الجانب الأيمن من المعادلة.${\displaystyle X_{t-1}}$معادلة، و${\displaystyle X_{t-1}}$يظهر على الجانب الأيمن من${\displaystyle X_{t}}$المعادلة، مما يعطي تأثيرًا غير مباشر فقط لـ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$على${\displaystyle X_{t}}$ثانيًا، في نموذج المتوسط ​​المتحرك، تؤثر الصدمة${\displaystyle X}$القيم فقط للفترة الحالية وعدد q من الفترات المستقبلية؛ في المقابل، في نموذج الانحدار الذاتي، تؤثر الصدمة${\displaystyle X}$قيمٌ تمتد إلى ما لا نهاية في المستقبل، لأن${\displaystyle \varepsilon _{t}}$يؤثر${\displaystyle X_{t}}$مما يؤثر${\displaystyle X_{t+1}}$مما يؤثر${\displaystyle X_{t+2}}$وهكذا إلى ما لا نهاية (انظر استجابة النبضة ).

يُعدّ تركيب نموذج المتوسط ​​المتحرك أكثر تعقيدًا بشكل عام من تركيب نموذج الانحدار الذاتي . ^{[ 6 ]} ويعود ذلك إلى عدم إمكانية رصد حدود الخطأ المتأخرة. وهذا يعني ضرورة استخدام إجراءات تركيب غير خطية تكرارية بدلًا من طريقة المربعات الصغرى الخطية. نماذج المتوسط ​​المتحرك هي توليفات خطية لحدود الضوضاء البيضاء السابقة، بينما نماذج الانحدار الذاتي هي توليفات خطية لقيم السلاسل الزمنية السابقة. ^{[ 7 ]} وتُعدّ نماذج ARMA أكثر تعقيدًا من نماذج AR وMA البحتة، لأنها تجمع بين مكونات الانحدار الذاتي والمتوسط ​​المتحرك. ^{[ 6 ]}

تكون دالة الارتباط الذاتي (ACF) لعملية MA( q ) صفرًا عند التأخير q + 1 وما فوق. لذلك، نحدد أقصى تأخير مناسب للتقدير من خلال فحص دالة الارتباط الذاتي للعينة لمعرفة متى تصبح غير ذات دلالة إحصائية من الصفر لجميع التأخيرات التي تتجاوز تأخيرًا معينًا، والذي يُشار إليه بأقصى تأخير q .

في بعض الأحيان، تشير دالة الارتباط الذاتي (ACF) ودالة الارتباط الذاتي الجزئي (PACF) إلى أن نموذج MA سيكون خيارًا أفضل، وفي بعض الأحيان يجب استخدام مصطلحي AR وMA في نفس النموذج (انظر طريقة Box-Jenkins ).

تُعد نماذج المتوسط ​​المتحرك المتكامل التلقائي (ARIMA) بديلاً للانحدار المجزأ، ويمكن استخدامها أيضًا لتركيب نموذج المتوسط ​​المتحرك. ^{[ 8 ]}

• نموذج الانحدار الذاتي - المتوسط ​​المتحرك
• المتوسط ​​المتحرك المتكامل التراجعي الذاتي
• نموذج الانحدار الذاتي
• استجابة النبضة المحدودة
• استجابة نبضية لا نهائية

• إندرز، والتر (2004). "نماذج السلاسل الزمنية الثابتة". السلاسل الزمنية الاقتصادية القياسية التطبيقية (  الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. ص 48-107 . ISBN  0-471-45173-8.

• الأساليب الشائعة لسلاسل الزمن أحادية المتغير

 تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا