دوال بيكلي-نايلور

في الفيزياء والهندسة والرياضيات التطبيقية ، تُعدّ دوال بيكلي-نايلور سلسلة من الدوال الخاصة التي تظهر في صيغ شدة الإشعاع الحراري في الحجرات الساخنة. غالبًا ما تكون الحلول معقدة للغاية ما لم تكن المسألة أحادية البعد أساسًا ^{[ 1 ]} (مثل مجال الإشعاع في طبقة رقيقة من الغاز بين لوحين مستطيلين متوازيين). لهذه الدوال تطبيقات عملية في العديد من المسائل الهندسية المتعلقة بانتقال الإشعاع الحراري ^{[ 2 ] [ 3 ]} أو النيوتروني ^{[ 4 ] [ 5 ]} في الأنظمة ذات التناظرات الخاصة (مثل التناظر الكروي أو المحوري). كان دبليو جي بيكلي عالم رياضيات بريطانيًا وُلد عام 1893. ^{[ 6 ]}

دالة بيكلي-نايلور رقم n${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\pi /2}e^{-x/\cos \theta }\cos ^{n-1}\theta \,d\theta .}$

وهي مصنفة كإحدى الدوال التكاملية الأسية المعممة.

جميع الوظائف${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)}$بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n، تكون الدوال متناقصة بشكل رتيب، لأن${\displaystyle e^{-x}}$هي دالة متناقصة و${\displaystyle \sin x}$هي دالة موجبة متزايدة لـ${\displaystyle x\in (0,\pi /2)}$.

التكامل الذي يحدد الدالة${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)}$لا يمكن تقييمها تحليليًا بشكل عام، ولكن يمكن تقريبها إلى الدقة المطلوبة باستخدام مجاميع ريمان أو طرق أخرى، مع أخذ النهاية عندما a  →  0 في فترة التكامل،  [ a , π /2]. 

طرق بديلة لتعريف الوظيفة${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)}$يتضمن التكامل، ^{[ 7 ]} يشكل التكامل دالة بيكلي-نايلور :

${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\pi /2}e^{-x/\cos \theta }\cos ^{n-1}\theta \,d\theta .}$

${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x\cosh t}}{\cosh ^{n}t}}\,dt.}$

${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}dt}{t^{n}{\sqrt {t^{2}-1}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{x}^{\infty }(tx)^{n-1}K_{0}(t)dt.}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Ki} _{n}(x)}{x^{n}}}={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{1}^{\infty }(t-1)^{n-1}K_{0}(xt)dt.}$

أين${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(x)}$هي دالة بيسل المعدلة من الرتبة الصفرية. كما لدينا، بحسب التعريف،${\displaystyle \operatorname {Ki} _{0}(x)=\operatorname {K} _{0}(x)}$.

تُعطى متسلسلات دالات بيكلي من الرتبة الأولى والثانية كما يلي:

${\displaystyle \operatorname {Ki} _{1}(x)={\frac {\pi }{2}}+x\left(\gamma +\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{(k!)^{2}(2k+1)}}-x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{(k!)^{2}(2k+1)^{2}}}-x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}H_{k}}{(k!)^{2}(2k+1)}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ki} _{2}(x)=1-{\frac {\pi }{2}}x-{\frac {x^{2}}{2}}\left(\gamma +\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{k!(k+1)!(2k+1)}}+{\frac {x^{2}}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(x^{2}/4)^{k}}{k!(k+1)!(2k+1)^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}H_{k}}{k!(k+1)!(2k+1)}}}$

حيث γ هو ثابت أويلر و

${\displaystyle H_{k}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{k}}}$

هو${\displaystyle k}$الرقم التوافقي رقم 1 .

كما أن دوال بيكلي تحقق علاقة التكرار التالية: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle n\operatorname {Ki} _{n+1}(x)=(n-1)\operatorname {Ki} _{n-1}(x)-x\operatorname {Ki} _{n}(x)+x\operatorname {Ki} _{n-2}(x),~~~~~n\geq 2}$

أين${\displaystyle \operatorname {Ki} _{0}(x)=\operatorname {K} _{0}(x)}$.

يتم إعطاء التوسعات التقاربية لدوال بيكلي على النحو التالي ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n}(x)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}\left(1-{\frac {(1+4n)}{8x}}+{\frac {3(3+24n+16n^{2})}{128x^{2}}}+\ldots \right)}$

ل${\displaystyle x\gg 1}$.

التمايز${\displaystyle \operatorname {Ki} _{n+1}(x)}$بالنسبة إلى x يعطي

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {Ki} _{n+1}(x)=-\operatorname {Ki} _{n}(x)}$

ينتج عن التفاضل المتتالي

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\operatorname {Ki} _{n}(x)=(-1)^{n}\operatorname {K} _{0}(x)}$

كانت قيم هذه الدوال، عند قيم مختلفة للمتغير x، تُدرج عادةً في جداول الدوال الخاصة في العصر الذي كانت فيه الحسابات العددية للتكاملات بطيئة. يُعرض أدناه جدولٌ يُبين بعض القيم التقريبية للدوال الثلاث الأولى Ki _{n .}

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Ki} _{1}(x)}$	${\displaystyle \operatorname {Ki} _{2}(x)}$	${\displaystyle \operatorname {Ki} _{3}(x)}$
0	1.570796327	1.000000000	0.785398162
0.1	1.22863188	0.862521290	0.692543328
0.2	1.023679877	0.750458533	0.612064472
0.3	0.868832269	0.656147929	0.541862953
0.4	0.745203394	0.575660412	0.480375442
0.5	0.643693806	0.506373657	0.426358257
0.6	0.558890473	0.446366680	0.378791860
0.7	0.487198347	0.394159632	0.336825253
0.8	0.426061805	0.348575863	0.299739399
0.9	0.373578804	0.308659297	0.266921357
1.0	0.328286478	0.273620752	0.237845082
1.2	0.254888907	0.21564418	0.189162878
1.4	0.199050709	0.17049927	0.150734408
1.6	0.156156459	0.135163924	0.120310892
1.8	0.122960838	0.107392071	0.096165816
2.0	0.097120592	0.085490579	0.076963590
2.5	0.054422478	0.048670845	0.044307124
3.0	0.030848237	0.027924583	0.025646500
3.5	0.017634408	0.016117448	0.014909740
4.0	0.010146756	0.009346971	0.008698789
4.5	0.005868829	0.005441695	0.005090280
5.0	0.003408936	0.003178387	0.002986247
6.0	0.001161774	0.001092877	0.001034238
7.0	0.000400052	0.000378912	0.000360620
8.0	0.000138841	0.000132222	0.000126417
9.0	0.000048484	0.000046377	0.000044509
10	0.000017015	0.000016336	0.000015728

تم توفير شفرة الحاسوب بلغة فورتران بواسطة آموس. ^{[ 10 ]}

• التكامل الأسي