التكامل الأسي

بالنسبة للحجج الحقيقية أو المركبة خارج المحور الحقيقي السالب،${\displaystyle E_{1}(z)}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي ^{[ 5 ]}$${\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi )}$$ أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني . يتقارب المجموع لجميع الأعداد المركبة .${\displaystyle z}$ونأخذ القيمة المعتادة للوغاريتم المركب الذي يحتوي على فرع مقطوع على طول المحور الحقيقي السالب.

يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب${\displaystyle E_{1}(x)}$مع عمليات الفاصلة العائمة للأرقام الحقيقية${\displaystyle x}$بين​${\displaystyle 0}$و​​${\displaystyle 2.5}$. لـ​${\displaystyle x>2.5}$، النتيجة غير دقيقة بسبب الإلغاء .

وقد وجد رامانوجان سلسلة متقاربة أسرع : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$$

يكون تقارب المتسلسلة أعلاه بطيئًا بالنسبة للقيم المطلقة الكبيرة. على سبيل المثال، يلزم أكثر من 40 حدًا للحصول على إجابة صحيحة بثلاثة أرقام معنوية لـ ⁠${\displaystyle E_{1}(10)}$[ ^{7 ]} ومع ذلك ، ^{بالنسبة} للقيم الموجبة لـ${\displaystyle x}$، هناك تقريب متسلسلة متباعدة يمكن الحصول عليه عن طريق التكامل${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)}$بالأجزاء: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {\exp(-x)}{x}}\left(\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-x)^{n}}}+O(N!x^{-N})\right)}$$ يُظهر الشكل الموجود على اليمين الخطأ النسبي للتقريب أعلاه لقيم مختلفة من ⁠${\displaystyle N}$عدد الحدود في المجموع المقتطع (${\displaystyle N=1}$باللون الأحمر ،${\displaystyle N=5}$باللون الوردي).

سلوك تقاربي يتجاوز جميع الرتب

باستخدام التكامل بالتجزئة ، يمكننا الحصول على صيغة صريحة ^{[ 9 ]}$$\begin{aligned}\operatorname {Ei} (z)&={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\\e_{n}(z)&\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt.\end{aligned}}}$$ لأي ثابت${\displaystyle z}$، القيمة المطلقة لحد الخطأ${\displaystyle |e_{n}(z)|}$ينخفض، ثم يرتفع. ويحدث الحد الأدنى عند ⁠${\displaystyle n\sim \vert z\vert }$، وعند هذه النقطة${\displaystyle \textstyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}$. ويقال إن هذا الحد هو "التقاربي الذي يتجاوز جميع الرتب".

يستنتج مما سبق من السلسلتين المقترحتين في الأقسام الفرعية السابقة ما يلي:${\displaystyle E_{1}}$يتصرف كدالة أسية سالبة للقيم الكبيرة للمتغير، وكدالة لوغاريتمية للقيم الصغيرة. أما بالنسبة للقيم الحقيقية الموجبة للمتغير،${\displaystyle E_{1}}$يمكن وضعها بين قوسين بواسطة الدوال الأولية على النحو التالي: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}$$

يُظهر الرسم البياني على اليسار الجانب الأيسر من هذه المتباينة باللون الأزرق؛ الجزء المركزي${\displaystyle E_{1}(x)}$يظهر باللون الأسود ويظهر الجانب الأيمن باللون الأحمر.

كلاهما${\displaystyle \operatorname {Ei} }$و${\displaystyle E_{1}}$يمكن كتابتها بشكل أبسط باستخدام الدالة بأكملها${\displaystyle \operatorname {Ein} }$[ ^{11 ]} مُعرَّف على النحو ^التالي$${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}}$$ (لاحظ أن هذه مجرد سلسلة متناوبة في التعريف أعلاه لـ ⁠${\displaystyle E_{1}}$ثم لدينا $${\displaystyle {\begin{align}E_{1}(z)&=-\gamma -\ln z+\operatorname {Ein} (z)،&&\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi$$ ;\\\اسم المشغل {Ei} (x)&={\hphantom {-}}\gamma +\ln {x}-\mathrm {Ein} (-x)،&&x\neq 0.\end{محاذاة}}} الوظيفة${\displaystyle \operatorname {Ein} }$يرتبط ذلك بالدالة المولدة الأسية للأعداد التوافقية : $${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=e^{-z}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}}$$

معادلة كومر $${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0}$$ يتم حلها عادةً باستخدام الدوال الهندسية الفائقة المتقاربة${\displaystyle M(a,b,z)}$و​${\displaystyle U(a,b,z)}$لكن عندما${\displaystyle a=0}$و​${\displaystyle b=1}$أي​ $${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0}$$ لدينا $${\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1}$$ للجميع​${\displaystyle z}$ثم يُعطى الحل الثاني بواسطة${\displaystyle E_{1}(-z)}$في الواقع ،$${\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<\operatorname {Arg} (z)<2\pi }$$ مع تقييم المشتق عند ⁠${\displaystyle a=0}$ثمة صلة أخرى بالدوال الهندسية الفائقة المتقاربة وهي أن${\displaystyle E_{1}}$هو دالة أسية مضروبة في الدالة${\displaystyle U(1,1,z)}$⁠ : $${\displaystyle E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)}$$

يرتبط التكامل الأسي ارتباطًا وثيقًا بدالة التكامل اللوغاريتمي .${\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})}$بالصيغة​ $${\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)}$$ للقيم الحقيقية غير الصفرية لـ${\displaystyle x}$⁠ .

يؤدي توسيع متسلسلة التكامل الأسي مباشرةً إلى تعبير بدلالة الدالة الهندسية الفائقة المعممة .${\displaystyle {}_{2}\!F_{2}}$⁠ : $${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=x{\,}_{2}\!F_{2}(1,1;2,2;x)+\ln x+\gamma .}$$

يمكن أيضًا تعميم التكامل الأسي إلى $${\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,}$$ والتي يمكن كتابتها كحالة خاصة من دالة جاما غير الكاملة العليا : ^{[ 12 ]}$${\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}$$

يُطلق على الشكل المعمم أحيانًا اسم دالة ميسرا${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$، [ ^{أ ] [ ب ]} معرفة على النحو ^التالي$${\displaystyle \varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).}$$

يؤدي تضمين اللوغاريتم إلى تعريف الدالة التكاملية الأسية المعممة ^{[ 13 ]}$${\displaystyle E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }\left(\log t\right)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.}$$

مشتقات الدوال المعممة${\displaystyle E_{n}}$يمكن حسابها باستخدام الصيغة ^{[ 14 ]}$${\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$$ لاحظ أن الدالة${\displaystyle E_{0}}$يسهل تقييمها (مما يجعل هذا التكرار مفيدًا)، لأنها ببساطة${\displaystyle \textstyle {\frac {e^{-z}}{z}}}$[ ¹⁵ ]^​​

لو${\displaystyle z}$بما أنه عدد تخيلي، فإنه يحتوي على جزء حقيقي غير سالب، لذلك يمكننا استخدام الصيغة $${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt}$$ للحصول على علاقة مع التكاملات المثلثية${\displaystyle \operatorname {Si} }$و​${\displaystyle \operatorname {Ci} }$⁠ : $${\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}$$ الأجزاء الحقيقية والخيالية من${\displaystyle E_{1}(ix)}$تم رسمها في الشكل الموجود على اليمين بمنحنيات سوداء وحمراء.

ظهرت عدة تقريبات لدالة التكامل الأسي، منها:

• تقريب سوامي وأوهيجا ^{[ 16 ]}$${\displaystyle E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},}$$أين$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}$$
• تقريب ألين وهاستينغز ^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{\mathsf {T}}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{\mathsf {T}}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{\mathsf {T}}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}}$$أين$${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{\mathsf {T}}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{\mathsf {T}}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{\mathsf {T}}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$$
• التوسع المستمر للكسور ^{[ 17 ]}$${\displaystyle E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$
• التقريب الذي قدمه باري وآخرون ^{[ 18 ]}$${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}$$أين:$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}}$$مع${\displaystyle \gamma }$حيث أن ثابت أويلر-ماسكيروني .